nmin→∞xn =x) nếu và chỉ nếu với mọi ε >0, tồn tại số nguyờn dương K sao cho kxn−xk ≤ε với nmax ≥K
(tương ứng, nmin ≥K).
1.1.12 Bổ đề. (Định lý tỏch Hahn-Banach, xem [20, tr. 41]) Giả sử A, B là cỏc tập con lồi, khỏc rỗng, rời nhau (A∩B = ∅) của một khụng gian định chuẩn Y
và Y∗ là khụng gian đối ngẫu của Y. Khi đú ta cú thể tỏch A, B theo hai trường hợp sau:
(a) Nếu A là tập mở thỡ tồn tại x∗ ∈Y∗ và một số thực α sao cho
hx∗, ai< α≤ hx∗, bi,
với mọi a∈A và mọi b ∈B.
(b) Nếu A là tập compact và B là tập đúng, thỡ tồn tại x∗∈Y∗ và hai số thực
α, β sao cho
hx∗, ai< α < β <hx∗, bi,
với mọi a∈A và mọi b ∈B.
Dựa trờn định nghĩa họ cỏc biến ngẫu nhiờn khả tớch đều (xem [72]), ta cú định nghĩa sau.
1.1.13 Định nghĩa. Họ cỏc phần tử ngẫu nhiờn {fi :i∈I} được gọi là khả tớch đều nếu sup
i∈I E kfikI(kfik>a)→0 khi a→ ∞.
1.1.14 Định lý. Họ cỏc phần tử ngẫu nhiờn {fi :i∈I} là khả tớch đều khi và chỉ khi hai điều kiện sau thỏa món:
(i) sup
(ii) với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho với mọi A ∈ A, P(A) ≤ δ thỡ
sup
i∈I E(kfikIA)≤ε.
1.1.15 Định nghĩa. Mảng cỏc phần tử ngẫu nhiờn{fn:n∈Nd} được gọi làhội tụ theo trung bỡnh cấp r (r > 0) tới phần tử ngẫu nhiờn f khi nmax → ∞ (tương ứng, nmin → ∞) và được ký hiệu fn → f trong Lr khi nmax → ∞ (tương ứng,
nmin → ∞), nếu
Ekfn−fkr →0 khi nmax → ∞(tương ứng, nmin → ∞).
Bằng lập luận tương tự như chứng minh của [32, Định lý 5.2, tr. 218], ta thu được hai khẳng định sau đõy.
1.1.16 Định lý. Cho trước số thực dươngr. Giả sử mảng cỏc phần tử ngẫu nhiờn
{fn :n ∈Nd} hội tụ h.c.c. tới phần tử ngẫu nhiờn f khi nmax→ ∞. Khi đú, mảng
{kfnkr : n ∈ Nd} là khả tớch đều khi và chỉ khi f ∈ Lr và fn → f trong Lr khi
nmax → ∞.
1.1.17 Định lý. Cho trước số thực dươngr. Giả sử mảng cỏc phần tử ngẫu nhiờn
{fn :n ∈Nd} hội tụ h.c.c. tới phần tử ngẫu nhiờn f khi nmin → ∞. Khi đú, mảng
{kfnkr :n∈Nd}là khả tớch đều kộo theof ∈Lr và fn →f trong Lr khi nmin → ∞.
1.2. Một số tớnh chất về hội tụ Mosco và hội tụ Wijsman đối vớimảng cỏc tập con đúng của khụng gian Banach mảng cỏc tập con đúng của khụng gian Banach
Đầu tiờn, chỳng tụi giới thiệu một số loại hội tụ quan trọng trờn khụng gian cỏc tập con đúng, khỏc rỗng của khụng gian Banach. Giả sử d∈N và {An :n ∈Nd}
là một mảng trờn c(X). Để thuận tiện, cỏc tụpụ svà w trờnXđược ký hiệu chung là t. Ký hiệu t- lim inf nmax→∞An ={x∈X:x=t- lim nmax→∞xn, vớixn ∈An}, t- lim sup nmax→∞ An ={x∈X:x=t- lim kmax→∞xk, vớixk ∈An(k)},
trong đú {An(k) : k ∈ Nd} là một mảng con của mảng {An : n ∈ Nd}
(ở đõy, mảng con được hiểu theo nghĩa là dóy con theo từng tọa độ). Cỏc tập
t- lim inf