An, tồn tại mảng con {An(k) : k ∈ Nd}
của mảng {An : n ∈ Nd} và tồn tại cỏc phần tử an(k) ∈ An(k) sao cho
d(y, an(k)) → 0 khi kmax → ∞, và do đú d(y, An(k)) → 0 khi kmax → ∞. Theo (1.2.8), y ∈A nhờ vào d(y, A) = 0. Vỡ vậy, ta thu được s-lim sup
nmax→∞
An ⊂A.
1.3. Một số tớnh chất của hội tụ Mosco và hội tụ Wijsman đốivới mảng cỏc biến ngẫu nhiờn đa trị với mảng cỏc biến ngẫu nhiờn đa trị
Trong Định nghĩa 1.2.1, nếu ta thay An bởi Fn(ω) và A bởi F(ω) với ω thuộc vào một tập cú xỏc suất 1, trong đú F, Fn, n ∈Nd là cỏc biến ngẫu nhiờn đa trị, thỡ ta cú khỏi niệm hội tụ hầu chắc chắn cho cỏc biến ngẫu nhiờn đa trị.
Kết quả sau đõy được chỳng tụi sử dụng để chứng minh phần “lim inf” của hội tụ Mosco khi thiết lập luật số lớn đối với mảng cỏc biến ngẫu nhiờn đa trị.
1.3.1 Định lý. Giả sử {Fn:n∈Nd} là một mảng cỏc biến ngẫu nhiờn đa trị và
A ⊂ X. Nếu với mọi x∈ A và mọi ε > 0, tồn tại xε ∈ X sao cho kx−xεk < ε và
xε ∈s- lim inf
nmax→∞Fn(ω) h.c.c., thỡ
A⊂s- lim inf
nmax→∞Fn(ω) h.c.c.
Chứng minh. Do Xlà khụng gian khả ly nờn tồn tại dóy {xj :j ≥1}trự mật trờn
A. Với mỗi j ≥1và mỗi ε= 1
k (k ≥1), tồn tạixjk (chỉ phụ thuộc vào xj và k) sao cho kxjk−xjk< 1
k (k ≥1), tồn tạixjk (chỉ phụ thuộc vào xj và k) sao cho kxjk−xjk< 1
khi k → ∞, ta suy ra xj ∈s- lim inf
nmax→∞Fn(ω) h.c.c. với mọi j ≥1. Điều này kộo theo
{xj : j ≥ 1} ⊂ s- lim inf
nmax→∞Fn(ω) h.c.c. Áp dụng Định lý 1.2.3 một lần nữa và lấy bao đúng hai vế bao hàm thức trờn, ta thu được A⊂s- lim inf
nmax→∞Fn(ω) h.c.c.
Từ Định lý 1.2.6, chỳng tụi thu được Định lý 1.3.2 và Định lý 1.3.3 sau đõy về phần “lim sup” của hội tụ Wijsman cho trường hợp mảng nhiều chỉ số cỏc biến ngẫu nhiờn đa trị.