1.7.1. Điều kiện dây chuyền tăng (ACC)
Một họ các tập con { }Ci i I∈ của tập hợp C được gọi là thỏa mãn điều kiện dây chuyền tăng (viết tắt là ACC) nếu trong họ không tồn tại một dây chuyền vô hạn, tăng nghiêm ngặt :
1 2
i i
C C
≠ ≠
⊂ ⊂
Điều này tương đương với một trong các khẳng định sau:
(i) Mọi dây chuyền tăng Ci1 ⊆Ci2 ⊆ trong họ đều dừng, nghĩa là tồn tại n∈ sao cho
n n 1 n 2
i i i
C =C + =C + =
(ii) Mọi họ con khác rỗng của họ đều có phần tử tối đại.
1.7.2. Điều kiện dây chuyền giảm (DCC)
Một họ các tập con { }Ci i I∈ của tập hợp C được gọi là thỏa mãn điều kiện dây chuyền giảm (viết tắt là DCC) nếu trong họ không tồn tại một dây chuyền vô hạn, giảm nghiêm ngặt:
1 2
i i
C C
≠ ≠
⊃ ⊃
Điều này tương đương với một trong các khẳng định sau:
(i) Mọi dây chuyền giảm Ci1 ⊇Ci2 ⊇ trong họ đều dừng, nghĩa là tồn tại n∈ sao cho
n n 1 n 2
i i i
C =C + =C + =
(ii) Mọi họ con khác rỗng của họ đều có phần tử tối tiểu.
1.7.3 Môđun Noether
Định nghĩa: Cho vành R và M là R – môđun trái (hoặc R – môđun phải). Ta nói M là Noether (Artin) nếu họ gồm tất cả các môđun con của M thỏa mãn ACC (DCC)
Tính chất: Môđun M là Noether khi và chỉ khi mọi môđun con của M đều hữu hạn sinh.
1.7.4 Vành Noether – vành Artin
Vành Noether: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Vành R được gọi là vành Noether trái (phải) nếu R là Noether khi được xem như R – môđun trái (phải). Nói cách khác, vành R được gọi là vành Noether trái (phải) nếu một trong các điều kiện sau thỏa mãn:
+ Mọi dây chuyền tăng các iđêan trái (phải) của R đều dừng.
+ Mọi tập khác rỗng gồm các iđêan trái (phải) của R đều có phần tử tối đại. Vành Artin:
Vành R được gọi là vành Artin trái (phải) nếu R là Artin khi được xem như R – môđun trái (phải). Nói cách khác, vành R được gọi là vành Artin trái (phải) nếu một trong các điều kiện sau thỏa mãn:
+ Mọi dây chuyền giảm các iđêan trái (phải) của R đều dừng.
+ Mọi tập khác rỗng gồm các iđêan trái (phải) của R đều có phần tử tối tiểu. Định lý:
Nếu R là vành Artin phải thì R cũng là vành Noether phải