2.3.1. Định lý Bass Papp
Cho vành R bất kì, khi đó các điều sau tương đương :
(1) : Bất kì giới hạn trực tiếp của R môđun phải nội xạ là nội xạ. (2) : Bất kì tổng trực tiếp của R môđun phải nội xạ là nội xạ
(3) : Bất kì tổng trực tiếp đếm được của R môđun phải nội xạ là nội xạ (4) : R là vành Noether phải
Chứng minh:
Chúng ta sẽ chứng minh theo sơ đồ sau (1)⇒(2)⇒(3)⇒(4)⇒(1)
(1)⇒(2) Do tổng trực tiếp của R môđun phải có thể được hiểu là giới hạn trực tiếp của thành phần hữu hạn của nó.
(2)⇒(3)là hiễn nhiên
(3)⇒(4)Xét chuỗi các ideal phải tăng dần J1⊆J2 ⊆... , đặt J là hợp của tất cả chúng và đặt E= ⊕i≥1E R J( / i) . Ta định nghĩa ánh xạ f J: →E bởi a∈J
thành (a+Ji i)≥1 tại đó a+Ji được xem như một phần tử trongR J/ i ⊆E R J( / i)Từ a∈Ji , f a( ) là tổng trực tiếp thực sự trong E. Theo giả thiết ER là nội xạ cho nên R- đồng cấu f có thể được viết thành
( )
Tại đó e=( )ei i≥1 là phần tử thích hợp trong E. Với i đủ lớn ta có ei=0 , vì thế ta có a∈J, 0= f a( )i = +a Ji . Điều này nghĩa là J=Ji với i đủ lớn cho nên ta có thể chứng minh rằng ideal phải của R thỏa điều kiện dây chuyền tăng.
(4)⇒(1) Cho I là giới hạn trực tiếp limIα
→ tại đó Iα∈MR là nội xạ và α sắp thứ tự trên một tập có hướng. Để áp dụng tiêu chuẩn Baer với IR, xét f bất kì f ∈Hom J RR( , ), tại đó J là ideal phải bất kì của R.Từ đó R là vành Noether và JR là hữu hạn sinh, cho nên f(J) chứa trong im( )α . Đặt A là môđun con của
Iα sao cho ánh xạ trên f(J) chứa trong tổng trực tiếp, và đặt B được định nghĩa bởi dãy khớp ngắn sau:
0→ → →B A f J( )→0
Từ đó AR là hữu hạn sinh do đó là BR.Điều này cùng với một phần của B trở thành 0 trong tổng trực tiếp với mọi β α≥ , ánh xạ B trở thành 0 trong IB. Đặt A’ là ảnh của A trong Iβ thì ta có A'≅ f J( ). Do đó ta có thể mở rộng thành đồng cấu g J: →Iβ . Do đó Iβ là nội xạ và g có thể mở rộng đến R, tương tự f cũng có thể mở rộng đến R. Do đó theo tiêu chuẩn Baer ta đã chứng minh được tính nội xạ của I.
2.3.2. Chú ý
(A) Nếu chúng ta chấp nhận bỏ đi điều kiện (1) thì chứng minh (4)⇒(2)
là dễ dàng. Ngoài ra nếu { }Iα là môđun nội xạ và R là Noether phải thì bất kì ideal J ⊆R và f ∈Hom J( ,⊕Iα) thì imf chứa trong 1 ...
n
Iα ⊕ ⊕Iα từ đó MR là hữu hạn sinh. Sử dụng tính nội xạ của 1 ...
n
Iα ⊕ ⊕Iα ta có thể mở rộng f đến R. (B) Cho {Mα} là môđun phải trên vành Noether R. Thì ⊕E M( α) là nội xạ bởi (2.3.1) nhưng chúng ta cũng có ⊕(Mα)⊆ ⊕e E M( α) bởi (2.2.4). Từ đó ta có
( ) ( )
E ⊕αMα ≅ ⊕αE Mα
của môđun nội xa, thông qua chứng minh (4)⇒(1) trong định lý được phát hiện bởi Cartan và Eilenberg. Phát triển các điều này ta có thể nhận được các kết quả tiêu biểu của vành Noether phải R. Trong định lý (1)⇔(2) được chứng minh bởi Matlis và Papp trong khi (1)⇔(3) được chứng minh bởi Fait- Walker.
2.3.3 Định lý
Cho vành R bất kì, khi đó các điều sau tương đương (1) R là Noether phải
(2) Bất kì môđun nội xạ MR là tổng trực tiếp của các môđun con không phân tích được ( nội xạ ).
(3) Tồn tại bản số α cụ thể nào đó sao cho bất kì môđun nội xạ MR là tổng trực tiếp của họ của các môđun con ( nội xạ ) có lực lượng ≤α .
Chứng minh:
(1)⇒(2) Trước hết ta thấy rằng bất kì môđun nội xạ ER ≠0 đều chứa trong một môđun con không phân tích được. Ngoài ra lấy một số khác 0 x∈E
khi đó E=E xR( ). Trong đó xR không thể chứa trong tổng trực tiếp hữu hạn. Từ điều này ta có thể dễ dàng thấy rằng E chứa trong một môđun con nội xạ không phân tích được của M mà là tổng trực tiếp. Theo bổ đề Zorn tồn tại họ
{M ii ∈I} là lớn nhất . Thì M = ⊕ ⊕E ( iMi) với mọi E⊆M từ đó ⊕Mi là nội xạ bởi (4)⇒(2) trong (2.3.1). Từ các điều trước ta thấy rằng môđun nội xạ E phải là 0 cho nên M = ⊕Mi
(2)⇒(3) Xét bất kì môđun nội xạ E không phân tích được và 0≠ ∈x E. Theo (2.1.7)(1) E=E xR( ), cho nên E≅E R J( / ) với ideal J ⊆R nào đó . Do vậy theo giả thiết bất kì môđun nội xạ MR là tổng trực tiếp của các môđun con đẳng cấu với nó:
Từ đó ta suy ra (3) bằng cách chọn α là ∑ E R J( / )
(3)⇒(1) Cho α là số cụ thể trong phần (3). Theo (2.3.1) ta cần chứng minh rằng bất kì môđun phải nội xạ khác 0 M M1, 2,...,Mn =M1⊕M2⊕... là nội xạ
Đặt β α= + M và 1 ' j M Mj ∞ = =∏ , '' ' C M =∏M với C >β (*)
Theo 1.6.2 thì M’ và M’’ là nội xạ. Do đó M''= ⊕b B∈ Ib với môđun Ib mà có lực lượng ≤α. Chúng ta sẽ xây dựng tập con B B1, 2,...⊆B với Bj ≤β sao cho mỗi Mj có thể nằm trong ⊕b B∈ jIb . Điều này thấy rằng M nằm trong
''
j
b B∈ Ib M
⊕ = và do đó M là nội xạ. Để thấy được cấu trúc của Bj ta sử dụng điều kiện sau. Giả sử B B1, 2,..,Bn đã được xây dựng và đặt
1
{ ,b ... n} ''
N = ⊕ I b∈ ∪ ∪B B ⊆M .
Từ đó B1∪B2∪ ∪... Bn ≤β và Ib ≤ ≤α β , chúng ta có N ≤β. Từ (*)
'' c C c
M ⊇ ⊕∈ X tại đó Xc ≅Mn+1. Nếu N∩Xc≠0 với mọi c∈C, ta có N ≥ C ≥β . Do đó tồn tại c∈C sao cho N∩Xc =0. Từ đó Xccó thể nằm trong
1
''/ { ,b \ ( ... n)
M N = ⊕ I b∈B B ∪ ∪B
Từ đó Xc = Mn+1 ≤β , Xc ≅Mn+1 có thể chứa trong ⊕b B∈ n+1Ib với
1 \ ( 1 ... )
n n
B + ⊆B B ∪ ∪B với Bn+1 ≤β . Điều này đã hoàn thành việc giới thiệu cấu trúc của Bj.
2.3.4. Hệ quả
Cho N là môđun phải hữu hạn sinh trên vành Noether phải. Thì E(N) là tổng trực tiếp hữu hạn của các môđun nội xạ không phân tích được.
Chứng minh:
Theo (1)⇒(2) của (2.3.3) , E(N)=⊕iMi tại đó Mi không phân tích được .Từ đó N là hữu hạn sinh, ta có 1 ... n i i N⊆M ⊕ ⊕M . Nhưng đây là một mở rộng cốt yếu, từ đó N⊆e E N( ). Do đó ta có ( ) 1 ... n i i E N =M ⊕ ⊕M .
KẾT LUẬN
Luận văn đạt được một số kết quả như sau:
1. Trình bày một cách hệ thống các khái niệm và chứng minh một số tính chất cơ bản của môđun nội xạ
2. Trình bày một cách hệ thống các khái niệm và chứng minh một số tính chất cơ bản của môđun con cốt yếu ( đối cốt yếu ).
3. Trình bày chi tiết và chứng minh về sự tồn tại của bao nội xạ của môđun bất kì.
4. Đưa ra một số ví dụ cụ thể về bao nội xạ của môđun
5. Trình bày và chứng minh định lý Bas Papp và các hệ quả của nó.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng Việt
1. Nguyễn Viết Đông – Trần Huyên (2006), Đại số Đồng Điều, NXB Đại Học Quốc Gia TP Hồ Chí Minh.
2. Mỵ Vinh Quang (1998), Đại số đại cương, Nhà xuất bản giáo dục.
3. Nguyễn Tiến Quang– Nguyễn Duy Thuận (2001), Cơ sở lý thuyết modun và vành, NXB GD Hà Nội.
Tiếng Anh
1. Tsit-Yuen-Lam (1942), Lectures on Modules and Rings, Springer.
2. Tsit-Yuen-Lam (1991), A First Course in Noncommutative Rings,