QUAN HỆ THỨ TỰ

3.1 Các định nghĩa

- Đinh nghĩa 1: Một quan hệ 2 ngơi R trên một tập hợp X (khác rỗng) được gọi là một quan hệ thứ tưï (hay vắn tắt, là một thứ tự) nếu và chỉ nếu nĩ cĩ 3 tính chất: phản xạ, phản xứng, truyền. Khi đĩ ta cũng nĩi tập hợp X là một tập cĩ thứ tự. Nếu cĩ thêm tính chất: với mọi x, y  X ta cĩ xRy hay yRx thì ta nĩi R là một

quan hệ thứ tự tồn phầntrên X.

Ghi chú :

 Trong trường hợp trên X cĩ nhiều quan hệ thứ tự thì khi xét đến thứ tự trên X ta phải nĩi rõ thứ tự nào, và ta thường viết tập hợp X cĩ thứ tự dưới dạng một cặp (X,R); trong đĩ R là quan hệ thứ tự đang xét trên X.

 Với 2 tập hợp cĩ thứ tự X và Y ta cĩ thể định ra một thứ tự trên tích Descartes XxY dựa vào các thứ tự trên X và trên Y. Từ đĩ ta XxY trở thành một tập hợp thứ tự (xem phần bài tập).

Ví dụ:

1. Quan hệ trên tập hợp các số thựcRlà một quan hệ thứ tự tồn phần.

2. Cho E là một tập hợp. Quan hệtrênP(E) là một quan hệ thứ tự. Nếu E cĩ nhiều hơn 2 phần tử thì thứ tự nầy khơng phải là thứ tự tồn phần. Việc kiểm chứng điều nầy được dành cho người đọc.

3. Trên tập hợp các số nguyên Z, xét qna hệ “chia hết” hay “ước số của”, ký hiệu là, được định nghĩa như sau:

ab  kZ: a = k.b

Dễ dàng kiểm chứng rằng quan hệ  cĩ 3 tính chất: phản xạ, phản xứng, truyền. Từ đĩ ta cĩ (Z,) là một tập hợp cĩ thứ tự.

Ta cĩ 2 số nguyên 2 và 3, khơng cĩ quan hệ với nhau theo quan hệ. Do đĩkhơng phải là thứ tự tồn phần trênZ.

Nhận xét:Nếu (X,R) là một tập hợp cĩ thứ tự và A X thì quan hệ thứ R thu hẹp trên tập A, cũng được ký hiệu là R (nếu khơng gây ra nhầm lẫn), là một quan hệ thứ tự trên A. Nĩi một cách khác, ta cĩ:

(X,R) thứ tự và AX  (A,R) thứ tự

Đối với một tập hợp cĩ thứ tự thì việc đề cập đến các khái niệm như “phần tử nhỏ nhất”, “phần tử lớn nhất”, ... là điều rất tự nhiên. Dưới đây, chúng ta sẽ giới thiệu một số khái niệm quan trọng khi xét một tập hợp cĩ thứ tự.

- Định nghĩa 2:Cho (X,) là một tập hợp cĩ thứ tự, và AX.  Ta gọi một phần tử a  A là một phần tử nhỏ nhất của tập

hợp A nếu và chỉ nếu với mọi xA ta cĩ : ax.

 Ta gọi một phần tử aA là mộtphần tử lớn nhấtcủa tập hợp A nếu và chỉ nếu với mọi xA ta cĩ : xa.

 Ta gọi một phần tử a A là mộtphần tử tối tiểucủa tập hợp A nếu và chỉ nếu khơng tồn tại xA sao cho xa và xa.  Ta gọi một phần tử aA là mộtphần tử tối đại của tập hợp

A nếu và chỉ nếu khơng tồn tại xA sao cho xa và ax.

Nhận xét:

(1) Phần tử nhỏ nhất (lớn nhất) của một tập hợp, nếu cĩ, là duy nhất.Ta ký hiệu phần tử nhỏ nhất của một tập hợp A là min A hay min (A), và ký hiệu phần tử lớn nhất của A là max A hay max (A).

(2) Phần tử tối tiểu (tối đại) của một tập hợp cĩ thứ tự khơng nhất thiết là duy nhất. Ví dụ: xét tập hợp X = 1,2,3 với quan hệ 2 ngơi  được cho bởi  = (1,1), (2,2), (3,3), (1,2), (3,2). Chúng ta cĩ thể kiểm chứng rằng (X, ) là một tập hợp cĩ thứ tự. Với thứ tựnầy, X cĩ 2 phần tử tối tiểu là 1 và 3.

(3) Phần tử lớn nhất (nhỏ nhất) của một tập hợp, nếu cĩ, là phần tử tối đại (tối tiểu) duy nhất của tập hợp đĩ.

Ví dụ:

1. Trong tập hợp cĩ thứ tự (Z,), tập hợp A = mZm2 < 100cĩ phần tử nhỏ nhất là -9, và phần tử lớn nhất là 9. Ta cĩ thể viết: min(A) = -9; max(A) = 9.

2. Trong tập hợp cĩ thứ tự (R, ), tập hợp A = xRx2 < 100khơng cĩ phần tử nhỏ nhất và cũng khơng cĩ phần tử lớn nhất.

3. Cho E là một tập hợp. Ta đã biết (P(E), ) là một tập hợp cĩ thứ tự. Với thứ tự nầy P(E) cĩ phần tử nhỏ nhất là , phần tử lớn nhất là E.

- Định nghĩa 3:Cho (X,) là một tập hợp cĩ thứ tự, và AX.  Ta gọi một phần tử x  X là một chận dưới của tập hợp A

nếu và chỉ nếu với mọi a  A ta cĩ : x  a. Chận dưới lớn nhất (nếu cĩ), tức là phần tử lớn nhất trong tập hợp tất cả những chận dưới của A được ký hiệu làinf (A).

 Ta gọimộtphần tử xX là mộtchận trêncủa tập hợp A nếu và chỉ nếu với mọi a  A ta cĩ : a  x. Chận trên nhỏ nhất

(nếu cĩ), tức là phần tử nhỏ nhất trong tập hợp tất cả những chận trên, của A được ký hiệu làsup (A).

Ví du: Trong (R,), A = xRx2< 100. Ta cĩ sup(A) = 10 và inf(A) = -10.

Nhận xét : Nếu trong một tập hợp A tồn tại phần tử max(A) thì đĩ cũng chính là sup(A). Tương tự, nếu trong một tập hợp A tồn tại phần tử min(A) thì đĩ cũng chính là inf(A).

- Định nghĩa 4: (Thứ tự tốt)

Một tập hợp cĩ thứ tự được gọi là cĩthứ tự tốt (hay được sắp tốt) nếu và chỉ nếu mọi tập con khác rỗng đều cĩ phần tử nhỏ nhất.

Ví du:

1. Tập hợp cĩ thứ tự (N,) là một tập hợp được sắp tốt.

2. Tập hợp cĩ thứ tự (Z, ) khơng phải là một tập hợp được sắp tốt vìZkhơng cĩ phần tử nhỏ nhất.

3.2 Biểu đồ Hasse.

Một trong những phương pháp biểu diễn cho một quan hệ là dùng các đồ thị định hướng (directed graph). Một đồ thị định hướng gồm một tập hợp các đỉnh cùng với một tập hợp các cặp đỉnh được gọi là các cạnh (hay các cung). Đồ thị biểu diễn cho một quan hệ 2 ngơi R trên một tập hợp X cĩ tập hợp các đỉnh chính là X, và tập hợp các cung chính là R. Nếu (a,b)  R thì trên biểu đồ ta vẽ một cung hướng từ đỉnh a đến đỉnh b. Đồ thị định hướng tương ứng của một quan hệ hai ngơi trên một tập hợp sẽ cung cấp cho ta những thơng tin về quan hệ một cách rất trực quan. Do đĩ người ta thường sử dụng các đồ thị định hướng để nghiên cứu các quan hệ và các tính chất của chúng.

Ví dụ: X =a,b,c,d, R =(a,d), (b,b), (b,d), (c,a), (c,b), (d,b). Đồ thị định hướng (X,R) cĩ thể được vẽ ra như sau:

Cạnh (b,b) được vẽ trên biểu đồ bởi cung xuất phát từ đỉnh b và quay trở lại chính đỉnh b. Cạnh nầy được gọi là một “vịng” tại b.

Chúng ta cĩ thể thấy rằng một quan hệ 2 ngơi trên một tập hợp là đối xứng khi và chỉ khi trên đồ thị biểu diễn tương ứng mỗi cặp đỉnh đều cĩ 2 cung nối theo 2 hướng ngược nhau. Như vậy đồ thị của quan hệ trong ví dụ trên ta kết luận quan hệ nầy khơng cĩ tính đối xứng.

Đối với một tập hợp X (hữu hạn) cĩ thứ tự thì trên đồ thị định hướng tương ứng cĩ nhiều cạnh khơng nhất thiết phải vẽ ra bởi vì chúng được hiểu ngầm. Nĩi một cách khác, các tính chất của quan hệ thứ tự giúp ta biết được cĩ những cạnh đương nhiên cĩ trên đồ thị của quan hệ; và những cạnh đĩ sẽ khơng được vẽ ra trên đồ thị. Trước hết ta thấy rằng tại mỗi đỉnh của đồ thị phải cĩ một vịng do tính phản xạ của quan hệ thứ tự, nên các vịng nầy sẽ khơng được vẽ ra trên đồ thị. Ngồi ra quan hệ thứ tự cịn cĩ tính truyền, nên ta sẽ khơng cần vẽ ra cạnh (a,c) nếu trên đồ thị cĩ các cạnh (a,b) và (b,c) với b là một đỉnh nào đĩ. Hơn nữa, nếu (a,b), (b,c), và (c,d) là các cạnh thì ta cũng loại ra cạnh (a,d). Chúng ta cũng khơng ghi mũi tên định hướng trên các cạnh với qui ước rằng : các đỉnh của đồ thị được bố trí trên hình vẽ sao cho hướng mũi tên của các cạnh là “hướng lên”.

Như vậy đồ thị định hướng (dạng biểu đồ) tương ứng của tập hợp cĩ thứ tự (X,) cĩ thể được rút gọn lại thành một biểu đồ đơn giản hơn nhưng vẫn hàm chứa đầy đủ những thơng tin của thứ tự  trên tập hợp X, bằng cách là ta chỉ vẽ cung nối từ đỉnh x đến đỉnh x' (x' khác x) khi ta cĩ xx', và khơng tồn tại y khác x và x' sao cho xy và y  x'. Biểu đồ ở dạng rút gọn nầy được gọi làbiểu đồ Hasse của tập hợp cĩ thứ tự (X,). Theo sự trình bày ở trên ta cĩ thể xây dựng một thuật tốn để tìm biểu đồ Hasse của một tập hợp (hữu hạn) cĩ thứ tự.

Ví dụ:

1. Xét thứ tự thơng thường trên tập hợp X =1,2,3,4.

Đồ thị đầy đủ của (X, ) cĩ dạng trong hình (a) dưới đây. Hình (b) là dạng rút gọn của đồ thị, tức là biểu đồ Hasse của thứ tự  trên X.

2. Vẽ biểu đồ Hasse biểu diễn thứ tự “chia hết”, được ký hiệu là , trên tập hợp1,2,3,4,6,8,12.

Bắt đầu từ đồ thị định hướng của thứ tự nầy, ta loại bỏ các vịng tại các đỉnh. Sau đĩ loại bỏ các cạnh cĩ thể được suy ra bởi tính chất truyền của thứ tự : (1,4), (1,6), (1,8), (1,12), (2,8), (2,12) và (3,12). Cuối cùng ta được biểu đồ Hasse gồm các cạnh (1,2), (1,3), (2,4), (2,6), (3,6), (4,8), (4,12), và (6,12) :

3. Vẽ biểu đồ Hasse cho thứ tự trên tập hợpP(E), trong đĩ E =a,b,c.

Cũng làm tương tự như trong ví dụ trước ta loại bỏ các cạnh sau đây từ đồ thị biểu diễn cho thứ tự: (,a,b), (,a,c), (,b,c), (,a,b,c), (a,a,b,c), (b,a,b,c), và (c,a,b,c). Từ đĩ ta cĩ biểu đồ Hasse được vẽ như sau :

Ghi chú :

Chúng ta cịn cĩ một cách khác để nêu lên khái niệm biểu đồ Hasse cho một cấu trúc thứ tự (X,) bằng cách đưa ra một khái niệm trội trực tiếp: Cho x  X, một phần tử y  X được gọi là một trội trực tiếp của x nếu và chỉ nếu ta cĩ 2 điều kiện sau đây :

(1) xy (y là một chận trên của x),

(2) Với mọi z, nếu xz và zy thì z = x hay z = y.

Biểu đồ Hasse cho cấu trúc thứ tự (X,) là một đồ thị định hướng cĩ tập hợp đỉnh là X và tập hợp các cạnh là một phần củagồm các cạnh (a,b) sao cho b là một trội trực tiếp của a.

3.3 Tập hợp hữu hạn cĩ thứ tự.

Trong mục nầy chúng ta sẽ trình bày một số kết quả liên quan đến các tập hợp hữu hạn cĩ thứ tự (hay các cấu trúc thứ tự hữu hạn). Biểu đồ Hasse là một cơng cụ hữu hiệu được dùng trong việc khảo sát các thứ tự trên các tập hợp hữu hạn.

Định lý 1.Cho (X,) là một cấu trúc thứ tự hữu hạn. Ta cĩ : 1. Trong X cĩ ít nhất một phần tử tối tiểu.

2. Nếu X cĩ một phần tử tối tiểu duy nhất thì phần tử đĩ chính là phần tử nhỏ nhất của X.

Chứng minh:

Cho (X,) là một cấu trúc thứ tự hữu hạn (nghĩa là X hữu hạn vàlà một thứ tự trên X). Chọn một phần tử a0 X. Nếu a0 khơng phải là một phần tử tối tiểu thì theo định nghĩa của phần tử tối tiểu ta cĩ một phần tử a1sao cho a1a0và a1a0.

Nếu a1 khơng phải là một phần tử tối tiểu thì ta lại cĩ một phần tử a2sao cho a2a1và a2a1. Cứ tiếp tục quá trình nầy để cho nếu ankhơng tối tiểu thì sẽ cĩ một phần tử an+1sao cho an+1anvà an+1an. Do X chỉ cĩ một số hữu hạn phần tử, nên quá trình trên phải dừng đối với một phần tử tối tiểu an. Như vậy trong X cĩ ít nhất một phần tử tối tiểu.

Giả sử X cĩ một phần tử tối tiểu duy nhất là m. Cho x là một phần tử tùy ý thuộc X. Theo lập luận trên, tồn tại một phần tử tối tiểu ansao cho an x. Vì phần tử tối tiểu là duy nhất nên an = m. Suy ra m  x. Điều nầy chứng tỏ m là phần tử nhỏ nhất của X.

Theo dõi chứng minh của định lý trên ta rút ra một thuật tốn để tìm một phần tử tối tiểu của một cấu trúc hữu hạn.

Thuật tốn 1. Tìm phần tử tối tiểu trong một cấu trúc thứ tự hữu hạn.

Nhập : X là một tập hợp hữu hạn (khác rỗng), là một thứ tự trên X.

Xuất : m là một phần tử tối tiểu trong X. Thuật tốn : 1. Chọn một phần tử mX 2. for xX do if xm and xm then mx (gán phần tử x cho biến m), và trở lại bước 1.

Nhận xét :

1. Qua chứng minh trên ta thấy rằng với mỗi phần tử x X luơn tồn tại một phần tử tối tiểu m sao cho m  x (ở đây là một thứ tự trên X).

2. Định lý trên sẽ khơng cịn đúng nếu bỏ đi điều kiện hữu hạn của tập hợp X. Việc tìm ra một ví dụ cho nhận xét nầy được dành cho phần bài tập.

Ví du: Tìm phần tử tối tiểu của tập hợp cĩ thứ tự (2,4,1,5,12,20,).

Aùp dụng thuật tốn trên chúng ta sẽ tìm được phần tử tối tiểu của cấu trúc thứ tự đã cho là 1.

Tương tự như trên, đối với các phần tử tối đại ta cũng cĩ định lý sau đây:

Định lý 2.

(1) Mọi tập hợp hữ hạn cĩ thứ tự (X,) đều cĩ một phần tử tối đại. Hơn nữa, với mọi x  X luơn tồn tại một phần tử tối đại M sao cho xM.

(2) Nếu X cĩ một phần tử tối đại duy nhất thì phần tử đĩ chính là phần tử lớn nhất của X.

Việc chứng minh định lý trên và xây đựng thuật tốn để tìm phần tử tối đại được dành cho phần bài tập.

3.4 Sắp xếp topo (topological sorting)

Sắp xếp topo là một vấn đề quan trọng trong việc khảo sát các cấu trúc thứ tự hữu hạn và phương pháp sắp xếp topo thường được sử

dụng để giải nhiều bài tốn thực tế. Chúng ta thử xem bài tốn đặt ra như sau:

Giả sử cĩ một đề tài gồm 20 cơng việc khác nhau. Một số cơng việc chỉ cĩ thể được thực hiện sau khi một số cơng việc khác được thực hiện hồn tất. Chúng ta phải thực hiện các cơng việc theo thứ tự nào? Để mơ hình cho vấn đề, chúng ta đặt X là tập hợp 20 cơng việc của đề tài; trên X ta xét một thứ tự (hay quan hệ thứ tự) sao cho a b nếu và chỉ nếu a và b là 2 cơng việc trong đĩ cơng việc b chỉ cĩ thể được bắt đầu khi cơng việc a đã được hồn thành. Muốn cĩ một kế hoạch thực hiện các cơng việc cho đề tài chúng ta phải tìm ra một thứ tự cho tất cả 20 cơng việc “tương thích” với thứ tự  nêu trên.

Trước hết chúng ta nêu ra định nghĩa khái niệm “tương thích” như sau:

Định nghĩa:Cho (X,) là một tập hợp cĩ thứ tự. Một thứ tự tồn phần trên X được gọi là tương thích với thứ tự nếu và chỉ nếu

ab  ab, với mọi a,bX.

Việc xây dựng thứ tự tồn phần tương thích với một thứ tự cho trước được gọi làsắp xếp topo(topological sorting).

Thuật tốn sắp xếp topo cho một tập hợp hữu hạn cĩ thứ tự dựa vào kết quả nêu trong các định lý trên. Để định nghĩa một thứ tự tồn phần trên (X, ), trước hết ta chọn ra một phần tử tối tiểu a1 của X; phần tử nầy tồn tại do định lý 1. Kế đĩ, chú ý rằng Nếu tập hợp X - a1   thì (X -a1,) cũng là một tập hợp hữu hạn (khác rỗng) cĩ

thứ tự. Ta lại chọn ra phần tử tối tiểu a2 trong X -  a1, rồi loại a2 khỏi việc xem xét ở bước tiếp theo để chọn phần tử tối tiểu trong X - a1, a2 nếu tập hợp X - a1, a2 khác rỗng. Tiếp tục quá trình nầy bằng cách chọn phần tử tối tiểu ak+1trong X -a1, a2, ... , akkhi tập hợp cịn phần tử.

Vì X là một tập hợp hữu hạn nên quá trình chọn trên phải dừng. Cuối cùng ta đã sắp các phần tử của tập hợp X thành một dãy a1, a2, ... , an thỏa điều kiện : với mọi i, j sao cho i < j ta cĩ ai  aj hoặc ai và aj