2.1 Khái niệm
- Định nghĩa: Một quan hệ 2 ngơi R trên một tập hợp X được gọi là mộtquan hệ tương đươngnếu và chỉ nếu nĩ thỏa 3 tính chất: phản xạ, đối xứng, truyền.
Ví dụ:
1. Một ví dụ quan trọng về quan hệ tương đương là quan hệ đồng dư modulo n trên Z. Ta đã biết quan hệ nầy cĩ 3 tính chất phản xạ, đối xứng, truyền.
2. Quan hệ trên Z khơng phải là một quan hệ tương đương vì nĩ khơng cĩ tính chất đối xứng.
2.2 Lớp tương đương và tập hợp thương
- Định nghĩa:Với mỗi phần tử xX, ta định nghĩalớp tương đương
chứa x, ký hiệu x, là tập hợp tất cả những phần tử (thuộc x) cĩ quan hệ R với x:
x = yX : y R x
Như vậy mỗi lớp tương đương là một tập hợp con của X. Người ta đã chứng minh rằng tập hợp các lớp tương đương của quan hệ tương đương R trên X tạo thành một “phân hoạch” của tập hợp X, tức là sưu tập các lớp tương đương khác nhau cho ta một họ các tập con của X rời nhau đơi một và cĩ phần hội bằng X.
Tập hợp các lớp tương đương của quan hệ tương đương R trên Xnầy (là một tập con của P(X)) được gọi là tập hợp thương (của quan hệ tương đương R trên X). Quan hệ đồng dư modulo n trênZcĩ tập hợp thương tương ứng, được ký hiệu làZn, gồm n phần tử :
Zn=0, 1, . . ., n - 1
trong đĩ k (kZ) là tập hợp tất cả những số nguyên đồng dư với k modulo n.
Người ta cịn chứng minh được rằng việc xác định một quan hệ tương đương trên một tập hợp X tương đương với việc xác định một phân hoạch của tập hợp X, tức là cĩ một song ánh giữa tập hợp tất cả các quan hệ tương đương trên X và tập hợp tất cả các phân hoạch của tập X.