2 Mô hình hóa sự phụ thuộc với các copula và ứng dụng
2.3.4Các copula Archimede nhiều chiều
Trong phần này sẽ xây dựng phần tử sinh của biến ngẫu nhiên n-copula Archimede. Nhắc lại ví dụ 2.6(a)mà ta có copula tíchΠ được viết dưới dạng:
Π (u, v) = uv = exp (−[(−lnu) + (−lnv)]).
Mở rộng khái niệm này cho n- chiều, vớiu= (u1, u2, ..., un), ta thu được kết quả trongn- chiều copula tích Πn có dạng
Πn(u) =u1u2...un= exp (−[(−lnu1) + (−lnu2) +...+ (−lnun)]) Công thức sau đây là tổng quát hóa của (2.14):
Cn(u) = ϕ[−1](ϕ(u1) +ϕ(u2) +...+ϕ(un)) (2.22)
Các hàm Cn là chuỗi lặp [10] của 2-copula Archimede sinh bởi ϕ, có nghĩa là nếu chúng ta đặt C2(u1, u2) = C(u1, u2) = ϕ[−1](ϕ(u1) +ϕ(u2)), khi đó với n > 3, Cn(u1, u2, ..., un) =
C(Cn−1(u1, u2, ..., un−1), un) (từ định lý 2.5có copula Archimede là đối xứng và kết hợp). Sử dụng ϕ(t) = 1−t trong (2.22) sinh bởi Wn, và Wn không đủ là một copula với n > 2. Định lý 2.5 đưa ra tính chất củaϕ (liên tục, giảm ngặt, lồi, với ϕ(1) = 0) để Cn trong (2.22) là một copula với n = 2. Ta tìm thêm tính chất của ϕ (và ϕ[−1]) để Cn trong (2.22) là copula khi
n>3.
Định nghĩa 2.6 (Widder 1941) Một hàm g(t) là hoàn toàn đơn điệu trên khoảng J nếu nó là liên tục trên đó và có đạo hàm mọi bậc mà xen kẽ dấu, nghĩa là nó thỏa mãn
(−1)k ddtkkg(t)>0 (2.23)
với tất cả t thuộc J và k = 1,2, ..., .
Như là một hệ quả, nếu g(t)đơn điệu hoàn toàn trên[0,∞)và g(c) = 0 với c >0(hữu hạn), khi đó g đồng nhất bằng 0 trên [0,∞) (Widder 1941). Vì vậy, nếu tựa nghịch đảo ϕ[−1] của copula
ϕ[−1]=ϕ−1.
Tổng quát (2.14) với trường hợp 3- biến ngẫu nhiên là
ϕ−11(ϕ1◦ϕ2(ϕ2(u1) +ϕ2(u2)) +ϕ1(u3)) (2.24) với ϕ1 vàϕ2 là các phần tử sinh của các copula Archimede ngặt.
Tổng quát (2.14) với trường hợp 4- biến ngẫu nhiên là
ϕ−11 ϕ1◦ϕ−21(ϕ2◦ϕ3(ϕ3(u1) +ϕ3(u2)) +ϕ2(u3)) +ϕ1(u4) (2.25) với ϕ1 ,ϕ2 và ϕ3 là các phần tử sinh của các copula Archimede ngặt.
Định lý sau là điều kiện cần và đủ để một phần tử sinh ngặt ϕ là phần tử sinh n- copula Archimede với mọi n>2 [10].
Định lý 2.12 Cho ϕ là một hàm liên tục giảm ngặt từ I đến [0,∞] sao cho ϕ(0) = ∞ và ϕ(1) = 0, và kí hiệu ϕ−1 là nghịch đảo của ϕ. Nếu Cn là một hàm từ I tới In cho bởi (2.23), khi đó Cn là n-copula với n>2 mọi nếu và chỉ nếu ϕ−1 là đơn điệu hoàn toàn trên [0,∞).
Định lý này có thể được mở rộng một phần đối với trường hợp khi ϕ là không ngặt vàϕ−1 là
m-đơn điệu trên [0,∞) với số m>2, có nghĩa là, các đạo hàm của ϕ[−1] có sự xen kẽ dấu và bao gồm m thứ tự trên [0,∞). Khi đó hàm Cn được cho bởi (2.23) làn-copula với 26n 6m.
Ta có ba kết quả hữu ích như sau :
1. Nếuglà đơn điệu hoàn toàn (completely comonotonic) vàf là đơn điệu tuyệt đối (absolutely comonotonic), nghĩa là dkf(t)/dtk > 0 với k = 0,1,2, . . . thì hàm hợp f ◦g là đơn điệu hoàn toàn;
2. Nếu f và g là đơn điệu hoàn toàn thì tích f g cũng là đơn điệu hoàn toàn;
3. Nếu f là đơn điệu hoàn toàn và g là hàm dương với một đạo hàm đơn điệu hoàn toàn, thì hàm hợp f◦g là đơn điệu hoàn toàn. Đặc biệt, e−g là đơn điệu hoàn toàn.
Ví dụ 2.18 Cho ϕθ(t) =−ln e−θt−1
/ e−θ−1
Cθ(u, v) =−1 θln 1 + (e −θu−1)(e−θv−1) (e−θ−1) .
Do mọi phần tử sinh của họ này là ngặt, nên để chứng minh nghịch đảo của chúng là đơn điệu hoàn toàn ta chỉ xét θ∈(0,∞)mà Cθ >Π. Từ họ Frank, ϕ−θ1(t) xác định bởi
ϕ−θ1(t) = −θ1ln1− 1−e−θe−t
Nhưng θ > 0, hàm f(x) = −ln (1−x)/θ là đơn điệu tuyệt đối với x ∈ (0,1), và g(t) = 1−e−θ (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
e−t là đơn điệu hoàn toàn với t ∈[0,∞), do đó ϕ−θ1 là đơn điệu hoàn toàn trên [0,∞). Như vậy với θ >0, ta có thể tổng quát họ 2- copula Frank đến họ n- copula với bất kì n> 2, ta có Cn θ (u) = −1 θln 1 + (e
−θu1−1)(e−θu2−1)...(e−θun−1) (e−θ−1)n−1
Khi θ < 0, ϕ−1
θ không đủ là đơn điệu tuyệt đối.
Ví dụ 2.19 Cho ϕθ1(t) = (−lnt)θ1 và ϕθ2(t) = (−lnt)θ2 với θ1, θ2 > 1. Với θ1 6 θ2 chúng ta nhận được sự mở rộng ba biến của họ Gumbel. Sự mở rộng copula(2.24) trở thành:
C(u, θ1, θ2) = exp ( − h (−lnu1)θ2 + (−lnu2)θ2iθ1/θ2 + (−lnu3)θ1 1/θ1)
Bây giờ chúng ta có thể trình bày một thuật toán với biến ngẫu nhiên tạo thành từ sự mở rộng nhiều chiều của(2.14) được chỉ ra bởi(2.24)và (2.25). Bởi vì bản chất của sự mở rộng nhiều chiều của(2.14) được chỉ ra bởi (2.24) và (2.25) các thuật toán cơ bản là một phần mở rộng của thuật toán với các biến ngẫu nhiên tạo thành từ copula Archimede có dạng(2.14) được trình bày.
Thuật toán 6.
+) Tạo ra một biến ngẫu nhiên q trên (0,1) +) Đặt t1 =KC−1
θ1 (q)
+) Tạo ra một biến ngẫu nhiên s1 phụ thuộc vào q trên (0,1). +) Đặt a1 =ϕ−θ1
1 (s1ϕθ1(t1)) và un=ϕ−θ1
1 ((1−s1)ϕθ1(t1)) ...
+) Đặt ti =KC−1
θi(ai−1).
+) Tạo ra một biến ngẫu nhiên sk phụ thuộc vào q và s1, ..., si−1 trên (0,1) +) Đặt ai =ϕ−θ1 i (siϕθi(ti)) và un−i+1=ϕ−θ1 i ((1−si)ϕθi(ti)) ... +) Đặt tn−1 =KC−1 n−1(an−2)
+) Tạo ra một biến ngẫu nhiên sn−1 phụ thuộc vào q, s1, ..., sn−1 trên (0,1) +) Đặt u1 =ϕ−θn1−1(sn−1ϕθn−1(tn−1)) và u2 =ϕ−θn1−1((1−sn−1)ϕθn−1(tn−1))
+) (u1, u2, ..., un) là biến ngẫu nhiên mong muốn từ Cn(u1, u2, ..., un;θ1, θ2, .., θn−1) tại i∈ {2, ..., n−2} và
Ck(u1, u2, ..., uk;θ1, θ2, .., θk−1) = C Ck(u1, u2, ..., uk−1;θ2, .., θk−1), uk;θ1
C(., ., θj) =Cθj(., .) =ϕ−θ1
j ϕθj(.) +ϕθj(.) với k= 3,4, ..., nvà j = 1,2, ..., k −1.
Cho U1, U2, ..., Un là các biến ngẫu nhiên trên (0,1) cho bởi thuật toán 6. Khi đó
KCθ1 Cθ1 KCθ2 ... Cθn−1(U1, U2), ..., Un−1 , Un
là một biến ngẫu nhiên trên(0,1).
Các kết quả trình bày trong phần này (2.3) thực hiện với copula Archimede ngặt. Thêm một số điều kiện bổ sung thì hầu hết các kết quả có thể tổng quát cho các copula Archimede không ngặt. Tuy nhiên đối với các kết quả thực tế nó chỉ là điều kiện đủ để xét các copula Archimede ngặt. Điều này về cơ bản có nghĩa là (có các kết quả tổng quát như họ Frank) và chúng ta xét với những họ chỉ phụ thuộc dương. Hơn nữa, mô hình rủi ro thường được dự kiến tới mô hình sự phụ thuộc dương, khi đó trong một số trường hợp khả năng phán đoán đó là sự phụ thuộc “nguy hiểm”.