2 Mô hình hóa sự phụ thuộc với các copula và ứng dụng
2.1.1Họ Farlie Gumbel Morgenstern
Một tính chất toán học tốt của một họ copula có thể là biểu thức copula được cho dưới dạng bậc của đa thức trong các đối sốu và v. Xét các copula có dạng:
C(u, u) =a(v)u2+b(v)u+c(v)
với một vài hàm a, bvà c. Điều kiện biên của các copula được cho
C(0, v) = 0 =c(v) và C(1, v) =v =a(v) +b(v) Cho a(v) = −Ψ (v), khi đó
b(v) =v−a(v) =v+ Ψ (v) và C(u, v) =uv+ Ψ (v)u(1−u) (2.1) với Ψ được chọn để C là2- tăng vàΨ (0) = Ψ (1) = 0 để C(u,0) = 0 và C(u,1) =u.
Định lý 2.1 Cho Ψlà một hàm với miền xác định I và giả sử C được đưa ra bởi (2.1) với u, v trong I. Khi đó C là một copula nếu và chỉ nếu:
1. Ψ (0) = Ψ (1) = 0
2. Ψ (v) thỏa mãn điều kiện Lipschitz
|Ψ (v2)−Ψ (v1)|6|v2−v1| ∀v1, v2 ∈I
Hơn nữa C là liên tục tuyệt đối.
Chứng minh.
Ψ (1) = 0. C là2- tăng nếu và chỉ nếu
VC([u1, u2]×[v1, v2]) = (u2−u1){v2−v1+ [Ψ (v2)−Ψ (v1)] (1−u1−u2)}>0
Nếuu1 =u2, v1 =v2 hặc nếuu1+u2 = 1, khi đóVC([u1, u2]×[v1, v2]) = 0. Vì vậy vớiu1 < u2
và v1 < v2, chúng ta có Ψ(v2)−Ψ(v1) v2−v1 6 u2+1u1−1 nếu u1+u2 >1 và Ψ(v2)−Ψ(v1) v2−v1 > u2+1u1−1 nếu u1+u2 <1 Nhưng inf{1/(u1 +u2−1)|06u1 6u2 61, u1+u2 >1}= 1
và sup{1/(u1+u2−1)|06u1 6u2 61, u1+u2 <1} = −1, và do đó C là 2- tăng nếu và chỉ nếu
−16 Ψ(v2)−Ψ(v1)
v2−v1 61
∀v1, v2 ∈I mà v1 < v2 , từ đó ta có kết quả sau. Từ điều kiện Lipschitz và |Ψ0(v)|61 hầu khắp nơi trên I. Do đó Ψ là liên tục tuyệt đối. Suy ra tính liên tục tuyệt đối của C.
Một sự lựa chọn của Ψ thỏa mãn các điều kiện trên là Ψ (v) = θv(1−v) với θ trong [−1,1]. Kết quả của sự lựa chọn này trong một họ copula được gọi là họ Farlie- Gumbel- Morgenstern ( FGM ).
Việc tính toán sau đây cho thấy rằng các copula FGM không có sự phụ thuộc đuôi trên lim u→1− ¯ C(u, u) 1−u = limu→1− 1−2u+u2+θu2(1−u)2 1−u = lim u→1− (1−u)2(1 +θu2) 1−u = limu→1−(1−u) 1 +θu2= 0 .
Họ FGM của các copula cung cấp một cách mở rộng tự nhiên tới kích thước lớn hơn ví dụ như biểu thức sau đây với (2n−n−1) tham sốn-copulaC
C(u) = u1u2...un " 1 + n P 2 P 1j1<...jkn θj1j2...jk(1−uj1) (1−uj2)...(1−ujk) # (2.2) Mỗi copula trong họ này là liên tục tuyệt đối với mật độ
∂nC(u)
∂u1∂u2...∂un = 1 +
n P 2 P 16j1<...jk6n θj1j2...jk(1−2uj1) (1−2uj2)...(1−2ujk)
không âm trên In nếu và chỉ nếu nó là không âm tại mỗi 2n các véctơ củaIn. Điều này cho phép biết sự liên kết của 2n tham số sau :
1 + n P 2 P 1j1<...jkn εj1εj2...εjkθj1j2...jk0; εj1, εj2, ..., εjk ∈ {−1,1}
Kết quả là mỗi tham số θ phải thỏa mãn |θ| <1. Lưu ý rằng đây là sự mở rộng nhiều chiều một cách đúng đắn vì mỗik- phân phối biên duyên với 36k < nlà có dạng như nhau và2- phân phối biên duyên trong họ FGM hai biến.
Xét n(n−1)/2- tham số của họ n- copula mô tả kết quả trên từ thiết lập θj1j2...jk = 0 khi
k>3. Điều này xác định họ của copua cho bởi (2.2)như sau:
C(u) =u1u2...un " 1 + P j<k θjk(1−uj) (1−uk) #
Cho một ma trận tương quan hạng tùy ý với tương quan hạng có thể đạt được (|τij| 6 2/9 hoặc |ρij| 6 1/3 phụ thuộc vào sử dụng phép đo của sự kết hợp) điều này đưa ra sự tương ứng 1−1giữa các phần tử trên (dưới) đường chéo trong ma trận tương quan hạng và copula tham số.