p
:
Trong phần này, ta sẽ áp dụng Định lý 2.1.3để đưa ra một số ví dụ chi tiết về các mặt hyperbolic trong 3( )
p
cũng như các ví dụ về các đường cong trong ( )
2
p
với phần bù hyperbolic và các ví dụ về các siêu mặt hyperbolic với phần bù hyperbolic của chúng.
Khơng mất tính tổng quát, ta cĩ thể giả sử trong phương trình của X các hệ số đầu tiên ci =1, i =1,...,n+1.
Sau đây chúng ta sẽ trình bày một phương pháp xây dựng các siêu phẳng hyperbolic, trước tiên, ta nhắc lại kết quả sau:
Bổ đề 2.2.1. Gọi X là siêu mặt Fermat số chiều d trong n( )
p
, và
( 1,..., n 1)
f = f f + là một đường cong chỉnh hình trong X . Giả sử
0, 1,..., 1
i
f ≡ ∀ =i n+ . Nếu 2
1
d ≥n − thì hoặc f là đường cong hằng hoặc tồn tại một phân hoạch của tập chỉ số {1,...,n+ = ∪1} Iξ sao cho mỗi Iξ chứa ít nhất 2 phần tử, và nếu i j, ∈Iξ thì fi = fj tại một số điểm (nếu n=2 thì chỉ tồn tại một lớp). Định lý 2.2.2. Gọi X là một mặt trong 3( ) p và cĩ phương trình: ( ) 3 1 2 4 1 2 3 4 1 2 3 4 : d d d d 0 1 X z +z +z +z +cz z z zα α α α = trong đĩ 4 1 0, i i c α d = ≠ ∑ = , và nếu cĩ αi =0 thì αj ≠ ∀ ≠1, j i j, =1, 2,3, 4. Khi đĩ, X là hyperbolic nếu d ≥24. Chứng minh:
Giả sử tồn tại i sao cho fi =0, chẳng hạn f4 =0. Nếu α4 =0 thì ánh xạ ( f f1, 2, f3) từ p vào 2( )
p
cĩ ảnh nằm trên một đường cong xạ ảnh giống dương. Từ Định lý Berkovich (xem [12]), ( f f1, 2, f3) là ánh xạ hằng. Kết hợp với ( )1 ta suy ra f là ánh xạ hằng.
Hiển nhiên, ta cĩ thể giả sử mọi fi ≡ 0. Từ chứng minh của Định lý 2.1.3 ta cĩ {f1d,..., f4d} phụ thuộc tuyến tính. Giả sử:
1 1d ... 4 4d 0
a f + +a f ≡ ,
trong đĩ các ai khơng đồng thời bằng 0. Ta xét các trường hợp sau:
(i) ai ≠0,i=1, 2,3, 4. Từ Bổ đề 2.2.1, ta cĩ hoặc f là ánh xạ hằng hoặc ta cĩ thể giả sử rằng f1=c f1 2,f3 =c f2 4 ( )∗ . Và thay ( )∗ vào ( )1 ta cĩ f là ánh xạ hằng,
(ii) Cĩ duy nhất một hệ số bằng 0, khơng mất tính tổng quát ta cĩ thể giả sửa4 =0. Khi đĩ, theo Bổ đề 2.2.1, ta cĩ ( f f1, 2, f3) là ánh xạ hằng. Và như vậy
f là ánh xạ hằng,
(iii) Cĩ hai hệ số bằng 0, giả sử a1=a2 =0. Khi đĩ ta cĩ f3=c f3 4. Thay vào ( )1 ta được:
3 1 2
1d 2d 1 3d 2 1 2 3 0
f + f +ε f +ε fα fα fα ≡ ,
trong đĩ ε2 ≠0. Nếu ε1 ≠0 thì ảnh của ánh xạ ( ) 2( )
1, 2, 3 : p p
f f f → nằm trên một đường cong xạ ảnh cĩ giống dương và (f f1, 2,f3) là ánh xạ hằng, và do đĩ
Giả sử ε1=0 thì ảnh của ( f f1, 2, f3) nằm trong đường cong trong 2( ) p sau: 3 4 1 2 1 2 2 1 2 3 : d d 0 Y z +z +ε z z zα α α α+ = .
Ta sẽ chứng minh theo giả thuyết của Định lý 2.2.2, giống của Y nhỏ nhất là bằng 1, khi đĩ từ định lý Berkovich ta sẽ cĩ điều cần chứng minh.
Ta cĩ giống của Y bằng số các điểm nguyên nằm trên tam giác với ba đỉnh là ( ) ( )d, 0 , 0,d và (α α1, 2), và hiển nhiên α1+α 2 <d. Như vậy, dễ thấy tam giác này chứa ít nhất một điểm nguyên, trừ trường hợp α1+α 2 = −d 1. Trường hợp này đã được loại từ giải thuyết của Định lý 2.2.2. Vậy định lý được chứng minh.
Ghi chú 2.2.1. Trong [2], bằng cách sử dụng phương pháp của K.Masuda và J.Noguchi [8], ta cĩ các ví dụ sau về các siêu mặt hyperbolic trong 3( )
p : ( ) ( ) 4 4 1d ... 4d 1 2 3 4 d 0, 6 deg 4 24 , p z + +z +t z z z z = d ≥ X = d ≥ t∈∗ .
Trong khi đĩ, các siêu mặt hyperbolic được xây dựng theo Định lý 2.2.2 như trên cĩ số chiều lớn hơn hoặc bằng 24 (khơng nhất thiết phải là bội của 4). Chú ý rằng, hầu hết các siêu mặt hyperbolic trong trường số phức trước đĩ đều cho với số chiều d chia hết cho một số lớn hơn 1 (chia hết cho 2 trong ví dụ của Brody- Green, cho 3 trong ví dụ của Nadel, cho 3 và 4 trong ví dụ của Noguchi). Trong
[8] đã trình bày một thuật tốn để xây dựng các siêu mặt hyperbolic cĩ số chiều tùy ý đủ lớn d . Ở đây ta cĩ các siêu mặt hyperbolic với số chiều d ≥24 .
Ghi chú 2.2.2. Ví dụ sau đây chỉ ra rằng nếu giữa các số mũ αi, hai trong chúng là 0,1 thì X khơng thể là hyperbolic. Mặt:
25 25 25 25 24 1 2 3 4 1 2
: 0
chứa đường cong chỉnh hình ( 25 25 )
1 z ,1,1 z ,z
− − + .
Bây giờ ta sẽ dùng Định lý 2.1.3 để đưa ra một số ví dụ về các đường cong trong 2( )
p
với các phần bù hyperbolic:
Định lý 2.2.3. Cho X là một đường cong trong 2( )
p xác định bởi phương trình: 3 1 2 1 2 3 1 2 3 : d d d 0 X z +z +z +cz z zα α α = ,
trong đĩ d ≥24,d >αi ≥0,∑αi =d . Khi đĩ phần bù của X là một hyperbolic p-adic trong 2( ) p . Chứng minh: Gọi ( ) 2 1, 2, 3 : p
f = f f f → là một đường cong giải tích cĩ ảnh nằm trong phần bù của X . Khi đĩ, hàm số:
3 1 2
1d 2d 3d 1 2 3 0
f + f + f +cfα fα fα ≠ với z∈p,
và bằng một hằng số a≠0. Do đĩ, ảnh của đường cong chỉnh hình sau:
( ) 3
1, 2, 3,1 : p
f f f →
nằm trong mặt Y của 3, với Y xác định bởi phương trình:
3 1 2
1 2 3 4 1 2 3
: d d d d 0
Y z +z +z −az +cz z zα α α = .
Từ chứng minh của Định lý 2.1.3, {f1d,f2d,f3d,1} phụ thuộc tuyến tính:
1 1d 2 2d 3 3d 4 0
c f +c f +c f +c ≡ ,
trong đĩ các ci khơng đồng thời bằng 0. Ta xét các trường hợp sau:
(i) ci ≠ ∀0, i. Theo Bổ đề 2.2.1, cĩ ít nhất một trong các hàm f f1, 2, f3 là hàm hằng. Suy ra f là ánh xạ hằng,
(ii) Tồn tại duy nhất một ci =0. Khi đĩ theo Bổ đề 2.2.1, ta cĩ f là ánh xạ hằng,
(iii) Nếu cĩ hai ci =0 thì hoặc một trong các fi là hàm hằng, hoặc hàm thương của hai hàm f fi, j là hàm hằng. Trong cả hai điều trên, ta đều cĩ f là hàm hằng.
Vậy Định lý 2.2.3 được chứng minh.
Ghi chú 2.2.3. Ta chứng minh được rằng ánh xạ (f f1, 2,f3,1 :) p →Y là ánh xạ hằng mặc dù Y khơng là hyperbolic.
Bây giờ ta sẽ dùng chứng minh của Định lý 2.2.2 và Định lý 2.2.3 để đưa ra một số ví dụ cụ thể về các mặt hyperbolic trong 3( )
p
với các phần bù hyperbolic.
Định lý 2.2.4. Cho X là một siêu mặt trong 3( )
p cĩ số chiều d ≥50 và xác định bởi phương trình: ( ) 3 1 2 4 1 4 1 2 3 4 : d ... d 0 6 X z + +z +cz z z zα α α α =
trong đĩ c≠0 và nếu cĩ một αi =0 thì những αjcịn lại nhỏ nhất là bằng 2. Khi đĩ X là hyperbolic và phần bù của X trong 3( )
p
cũng là hyperbolic.
Chứng minh:
Ta sẽ dùng Định lý 2.2.2 để chứng minh phần bù của X là hyperbolic.
Đặt f =( f1,..., f4) là đường cong cĩ ảnh nằm trong phần bù của X . Như trong chứng minh Định lý 2.2.3 tồn tại một hằng số a≠0 sao cho ánh xạ
( f f1, 2, f3, f4,1) cĩ ảnh nằm trong siêu mặt Y cĩ số chiều d trong 4( )
p
xác định bởi phương trình:
( ) 3 1 2 4 1 2 3 4 5 1 2 3 4 : d d d d d 0 7 Y z +z +z +z +az +cz z z zα α α α =
Từ chứng minh của Định lý 2.1.3ta cĩ khi (4 1 6 1 6 2)( )( )
50 2 d + − − ≥ = thì {f1d, f2d,f3d,f4d,1} phụ thuộc tuyến tính. Do đĩ: 4 5 1 0 d i i i f ε ε = + ≡ ∑ ,
trong đĩ các εi khơng đồng thời bằng 0.
Nếu ε5 =0 thì ta cĩ thể lặp lại phần chứng minh của Định lý 2.2.2 và ta cĩ
f là ánh xạ hằng.
Giả sử ε5 ≠0, từ Bổ đề 2.2.1 ta suy ra hoặc f là ánh xạ hằng hoặc tồn tại ít nhất một fi, giả sử f4, là hàm hằng. Thay f4 bằng hằng số vào ( )7 , ta thấy ảnh của ánh xạ (f f1, 2, f3,1) nằm trong một mặt phẳng được xác định bởi phương trình:
3 1 2 4 1 2 3 4 1 2 3 4 : d d d d 0 Z z +z +z +a z′ +c z z z z′ α α α β = , trong đĩ a c′ ′ ≠, 0,β4= −d (α α α1+ 2+ 3). Và cũng từ Định lý 2.1.3, {f1d, f2d, f3d,1} phụ thuộc tuyến tính. Do đĩ: 1 1f d 2f2d 3 3fd 4 0 δ +δ +δ +δ ≡ .
Nếu δ4 =0 thì tương tự như trong chứng minh Định lý 2.2.2, ta cĩ f là ánh xạ hằng. Để chỉ ra được lý do ta cần giả thuyết nếu α1=0 thì các số mũ cịn lại ít nhất phải bằng 2, ta sẽ xét trường hợp δ4 ≠0. Từ Bổ đề 2.1.1, ta cĩ hoặc f là ánh xạ hằng hoặc tồn tại ít nhất một fi, chẳng hạn f3, là hàm hằng. Thay f3, f4
là hằng số vào ( )6 ta được f1 =ε f2, với ε là hằng số nào đĩ. Cuối cùng, do ánh xạ ( f f1, 2, f3, f4,1) cĩ ảnh nằm trên Y nên ta cĩ:
1 2
2d 2 0
Af +Bfα α+ + ≡C ,
trong đĩ A B C, , là hằng số và B≠0. Từ giả thuyết của Định lý 2.2.4,
1 2 0,d
α α+ ≠ nên ta cĩ f2 là hàm hằng. Vậy Định lý 2.2.4 được chứng minh.
Ghi chú 2.2.4. Định lý 2.2.3 và 2.2.4 cho ta các ví dụ đầu tiên về các siêu mặt hyperbolic với các phần bù hyperbolic trong trường p-adic. Trong trường số phức, sự tồn tại của các siêu mặt này được chứng minh bởi M. G. Zaidenberg [10]. A.Nadel [7]đã đưa ra các ví dụ đầu tiên của các đường cong này trong 2
và các ví dụ cụ thể về các siêu mặt hyperbolic trong 3 được đưa ra bởi K. Masuda và J. Noguchi [8].
Ghi chú 2.2.5. Ví dụ sau chứng tỏ rằng khi tổng của hai trong số các số mũ
i
α bằng khơng hoặc bằng d thì phần bù của X cĩ thể khơng là hyperbolic. Xét mặt X được cho bởi phương trình:
51 51 51 51 25 26 1 2 3 4 3 4
: 0
X z +z +z +z +z z = .
Khi đĩ, X là hyperbolic (Định lý 2.2.2), nhưng phần bù của X trong 3( )
p
chứa đường cong chỉnh hình sau:
( , ,1,1)
f = z −z .
Vậy, với chương 2, chúng ta đã cĩ được phương pháp nghiên cứu về sự suy biến của đường cong chỉnh hình cùng với phương pháp kiểm tra và xây dựng một siêu mặt hyperbolic (nhờ định lý 2.1.3, định lý 2.2.3 và định lý 2.2.4 )
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
Luận văn đã làm rõ những kết quả của Hà Huy Khối trong cơng trình của ơng cơng bố năm 1997 và các tác giả cĩ liên quan như W. Cherry, K. Masuda, J. Noguchi và A. Nadel. Luận văn cũng đã cĩ những đĩng gĩp sau đây:
- Đưa ra một điều kiện đủ về sự suy biến của đường cong chỉnh hình trong ( )
n p
(Định lý 2.1.3). Từ đĩ chỉ ra một phương pháp xét sự suy biến của một
đường cong chỉnh hình trong n( )
p
.
- Áp dụng Định lý 2.2.3, xây dựng một số lớp các siêu mặt hyperbolic cụ thể trong 3( )
p
.
Vì lí do thời gian và vì khuơn khổ luận văn, chúng tơi khơng nêu chi tiết một số khái niệm và chứng minh một số kết quả của đường cong đại số, giống đường cong đại số và một số kết quả của lý thuyết Nevanlinna mà chỉ ra các tài liệu cĩ trình bày chi tiết các nội dung này.
Hướng nghiên cứu tiếp theo của đề tài:
- Tìm và vận dụng độ cao của hàm chỉnh hình vào xét sự suy biến của đường cong chỉnh hình trong n( )
p
. Xây dựng một phương pháp đơn giản nhất cĩ thể được để xét sự suy biến nĩi trên.
- Tìm ra một phương pháp xây dựng và đưa ra được các ví dụ cụ thể về các siêu phẳng hyperbolic p-adic trong n( )
p
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Hà Huy Khối (1997), p-adic Hyperbolic Surfaces, ACTA MATHEMATICA VIETNAMICA, Volume 22, Number 2, 501-514.
[2] Hà Huy Khối và Mai Văn Tư (1995), p-adic Nevanlinna-Cartan Theorem, Internat, 719-731.
[3] Hà Huy Khối(1983), On p-adic meromorphic functions, Duke Math. J. 50, 695-711.
[4] Hà Huy Khối (1993), Height of p-adic holomorphic functions and applications, Diophantine Geometry and Related topics, RIMS Lect Notes Ser 819, Kyoto, 96-105.
[5] Hà Huy Khối and Mỵ Vinh Quang (1988),p-adic Nevanlinna theory, Lecture Notes in Math, 1351, 138-152.
[6] Hà Huy Khối and Vũ Hồi An (2003), Value distribution for p-adic hypersurfaces, Taiwanese journal of mathematics, Vol 7, No 1, pp 51- 67.
[7] A. Nadel(1989), Hyperbolic surfaces in P3, Duke Math. J. 58, 749- 771.
[8] K. Masuda and J. Noguchi(1996), A construction of hyperbolic hypersurfaces of n( )
P , Math Ann 304, 339-362.
[9] M. Green(1975), Some Picard theorems for holomorphic maps to algebraic varieties, Amer. J. Math. 97, 43-75.
[10] M. G. Zaidenberg (1993), Hyperbolicity in projective spaces, Diophantine Geometry and Relatedtopics, RIMS Lect, Notes Ser 819, Kyoto, pp 136-156.
[11] Pei-Chu Hu and Chung-Chun Yang (1999), Meromorphic functions over Non-Archimedean fields, Kluwer Academic Publishers.
[12] R. Brody and M. Green(1977), A family of smooth hyperbolic hypersurfacesinP3, Duke Math. J. 44, 873-874.
[13] V. Berkovich (1990), Spectral Theory and Analytic Geometry over Non-Archimedean Fields, AMS Surveys and Monographs 33.
[14] William Fulton (2008), Algebraic curves -An introduction to algebraic geometry, January 28.
[15] W. A. Cherry (1994), Hyperbolic p-adic analytic spaces, Math. Ann. 300, 393- 404.