Trước hết, chúng ta cần cĩ những khái niệm cơ bản sau:
Định nghĩa 1.5.1. Cho đĩa trịn đơn vị ∆ ={z <1}. Metric Poincare ρ∆ là metric
Riemann đầy đủ trên ∆ được định nghĩa như sau:
2 2 2 (1 | | ) dzdz ds z = − .
Kết quả sau đây cịn được gọi là tính chất giảm khoảng cách của Metric Poincare:
Mệnh đề 1.5.2. (Schwartz-Alhfors) Giả sử f :∆ → ∆ là ánh xạ chỉnh hình. Khi
đĩ * 2 2
f ds ≤ds , nghĩa là ρ∆(f p( ) ( ), f q )≤ρ∆(p q, ) với hai điểm p q, ∈∆.
Định nghĩa 1.5.3. (Giả metric Kobyashi-Royden) Cho X là đa tạp phức (khơng nhất thiết là compắc). Giả metric Kobyashi-Royden ρX được định nghĩa như sau:
Với ,p q∈X , chọn một dãy các điểm p0 = p p, 1,…,pn =q và các ánh xạ chỉnh hình fi :∆ → X sao cho pi−1,pi∈ fi( )∆ . Khi đĩ:
( ) ( 1( ) 1( )) ( ) 1 { },{ } 1 , inf , 5.1 i i n X i i i i p f i p q f p f p ρ ρ − − ∆ − = = ∑
Chúng ta cũng cĩ thể định nghĩa giả metric Kobyashi-Royden theo hướng sau đây:
Định nghĩa 1.5.4. Chuẩn · :TX → trên khơng gian tiếp xúc chỉnh hình TX
của X được định nghĩa như sau:
Giả sử p∈X và v∈TX p, là vectơ tiếp xúc chỉnh hình tại p. Ta xét tất cả những ánh xạ chỉnh hình f từ ∆ =R {| |z <R} vào X thỏa mãn f ( )0 = p và f*( /∂ ∂ =z) v. Khi đĩ: ( ) 1 inf 5.2 f v R =
Giả metric sinh bởi · chính là ρX được định nghĩa ở trên.
Theo ý nghĩa hình học, ta đang cố kéo giãn đĩa trịn lớn đến mức cĩ thể trong X.
Mệnh đề 1.5.5. Giả metric Kobyashi-Royden ρX thỏa mãn những tính chất sau: (1) Bất đẳng thức tam giác:ρX (p q, )+ρX ( )q r, ≥ρX ( )p r, với p q r, , ∈X , (2) Giảm khoảng cách: Cho f X: →Y là ánh xạ chỉnh hình. Khi đĩ:
( ) ( )
( , ) ( , )
Y f p f q X p q
ρ ≤ρ .
Ta nhận thấy giả metric Kobayashi-Royden chưa là một metric, nghĩa là nĩ cĩ thể suy biến (ρX (p q, )=0 với p ≠q).
Ví dụ 1.5.6. Giả sử X =. Cho trước điểm z0∈ và số R >0, ta xét ánh xạ : R
f ∆ → với f z( )= +z z0. Từ định nghĩa 1.5.4, ta cĩ v =0 với
0
,
X z
Định nghĩa 1.5.7. Một đa tạp phức là hyperbolictheo quan điểm của Kobayashi
nếu ρX là một metric.
Một đa tạp phức X là hyperbolic Brody (B-hyperbolic) nếu mọi ánh xạ chỉnh hình f :→X đều là ánh xạ hằng.
Nếu đa tạp phức X là hyperbolic thì X là B-hyperbolic. Chiều ngược lại chỉ đúng đối với đa tạp phức compắc:
Định lý 1.5.8. (R.Brody). Một đa tạp phức compắc là hyperbolic khi và chỉ khi nĩ là B-hyperbolic.
Nhận xét 1.5.9. Ta cĩ n là compắc. Do đĩ trên khơng gian xạ ảnh phức n, khái niệm hypberbolic theo quan điểm của Kobayashi và Bordy là trùng nhau, nên ta gọi chung hai khái niệm này là hypberbolic.
Thơng thường, chúng ta khơng dễ để xây dựng những ví dụ đa tạp hyperbolic. Thậm chí cũng khĩ để chứng minh một đa tạp X cho trước là hyperbolic. Nhưng với dimX =1 thì X là hyperbolic. Giả sử X là mặt Riemann (cĩ thể khơng compắc). Cho π :Y → X là phủ phổ dụng của X. Khi đĩ Y chỉ cĩ thể là 1 hay hay ∆. Nếu Y =1 hay Y =, hiển nhiên tồn tại những ánh xạ chỉnh hình khác hằng :f → →Y X và vì vậy X khơng là hyperbolic. Nếu
Y = ∆, ta dễ thấy rằng ρX =π ρ Y khơng suy biến. Vì vậy X là hyperbolic khi và chỉ khi phủ phổ dụng của X là ∆.
Mệnh đề 1.5.10. 1\{3 điểm} là hyperbolic.
Ví dụ 1.5.11. Cho phương trình n n n
x +y = z , mỗi nghiệm của phương trình này trong trường hàm phân hình trên cĩ dạng: x=x t , y( ) =y t v z( ) à =z t( ). Mỗi nghiệm trên xác định một ánh xạ chỉnh hình f :→ =C {xn + yn =zn}⊂2. Nghiệm của phương trình trên là tầm thường nếu và chỉ nếu flà ánh xạ hằng. Khi đĩ, phương trình cĩ nghiệm khơng tầm thường nếu và chỉ nếu giống của C lớn hơn hoặc bằng 2, nghĩa là n 4= .
Như vậy, trong chương này chúng ta đã làm rõ được những kiến thức quan trọng nhất để chuẩn bị cho chương tiếp theo, đĩ là hàm phân hình, hàm chỉnh hình, đường cong chỉnh hình, các siêu mặt hyperbolic cùng các nội dung liên quan. Sau đây là nội dung chính của luận văn:
Chương 2: Sự suy biến của đường cong chỉnh
hình và siêu mặt hyperbolic p-adic
Chương này là nội dung chính của luận văn, gồm hai phần: sự suy biến của đường cong chỉnh hình trong n( )
p
và các siêu mặt hyperbolic trong
( )
3
p
. Phần thứ nhất trình bày cơ sở để xem xét một hàm chỉnh hình cĩ suy biến hay khơng trong n( )
p
. Phần thứ hai nêu ra một phương pháp xây dựng siêu mặt hyperbolic trong 3( )
p
.