: ANPH AA ANPH A= ANPH AA +1 Lặp lại công thức trên
g x= < tron khoản (1;1.5) nên dãy lặp 3
1 1
n n
x+ = x + hội tụ tới nghiệm duy nhất từ một điểm bất kỳ trong khoảng (1;1.5) .
Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS: Khai báo hàm 3 2
( ) 1
g x = x + :
SHIFT 3 ( ALPHA X 2
x + 1 )
Bắt đầu tính toán bằng CALC máy hiện X? Khai báo giá trị ban đầu x =1 và bấm phím = .
Sau đó thực hiện dãy lặp CALC Ans = ta cũng đi đến x=1.465571232. Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS hoặc Casio fx-500 MS : Khai báo giá trị ban đầu x0=1 bằng cách bấm phím 1 = . Khai báo dãy xấp xỉ 3 2
1 ( ) n 1
n n
x+ =g x = x + :
SHIFT 3 ( Ans x2 + 1) Sau đó thực hiện dãy lặp = ta cũng đi đến x=1.465571232.
Vậy nghiệm xấp xỉ (chính xác đến 9 chữ số thập phân) là x=1.465571232. Thí dụ 2.Tìm nghiệm gần đúng của ph−ơng trình ex+ − =x 3 0.
Vì f x( )=ex+ −x 3 có đạo hàm f'( )x =ex+ > ∀1 0 x nên nó đồng biến trên
toàn trục số. Hơn nữa, f(0)= −3, f(1)= − >e 2 0 nên ph−ơng trình đã cho có nghiệm duy nhất nằm trong khoảng (0,1).
Ph−ơng trình đã cho t−ơng đ−ơng với x=ln(3−x). Đặt g x( )=ln(3−x) thì '( ) 1 3 g x x = − − nên 1 ( ) '( ) 0,1 2 g x < ∀ ∈x .
Do đó dãy lặp xn+1=ln(3−xn) hội tụ từ mọi điểm bất kỳ trong khoảng (0,1). Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS:
Khai báo g x( )=ln(3−x): ln ( 3 − ALPHA X ) Bắt đầu tính toán bằng CALC máy hiện X? Khai báo giá trị ban đầu 0 1
2
x = : 1 b c/
a 2 và bấm phím = . Sau đó thực hiện dãy lặp CALC Ans = ta cũng đi đến
26 27 28 0.792059968
x =x =x = .
Vậy nghiệm gần đúng là 0, 792059968.
Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS hoặc Casio fx-500 MS : Khai báo giá trị ban đầu 0
12 2
x = : 1 b c/
a 2 và bấm phím = . Khai báo dãy xấp xỉ xn+1=g x( n)=ln(3−xn): ln ( 3 − Ans )
Sau đó thực hiện dãy lặp = ta cũng đi đến x26 =x27 =x28=0, 792059968. Vậy nghiệm xấp xỉ (chính xác đến 9 chữ số thập phân) là x=0, 792059968
Nhận xét 1. Nếu chỉ đòi hỏi nghiệm chính xác đến 5 chữ số thập phân sau dấu phẩy thì chỉ cần sau 13 b−ớc lặp ta đã đi đến nghiệm là 0,79206.
Nhận xét 2. Nếu ta đ−a ph−ơng trình ex+ − =x 3 0 về dạng x= −3 ex thì g x( )= −3 ex có đạo hàm '( ) x
g x = −e không thỏa mãn điều kiện
( )
'( ) 1 0,1
g x ≤ < ∀ ∈q x
Nhận xét 3. Chọn điểm xuất phát x0=2 ([2], trang 62) thì cần nhiều b−ớc lặp hơn. Dùng lệnh solve để giải ph−ơng trình trên Maple:
> solve(exp(x)+x-3,x);
-LambertW(exp(3)) + 3 Máy cho đáp số thông qua hàm LambertW.
Ta có thể tính chính xác nghiệm đến 30 chữ số nhờ lệnh: > evalf(",30);
.79205996843067700141839587788 Lời bình: Maple cho ta đáp số đến độ chính xác tuỳ ý.
Thí dụ 3.Tìm nghiệm gần đúng của ph−ơng trình x+lnx=0.
Vì f x( )= +x lnx là một hàm đồng biến ngặt trên (0,+∞). Hơn nữa f(1)= >1 0 và f( )1 1 1 0
e = − <e nên ph−ơng trình có duy nhất nghiệm trên khoảng ( ,1)1 ph−ơng trình có duy nhất nghiệm trên khoảng ( ,1)1
e . Ph−ơng trình đã cho t−ơng đ−ơng với x=e−x =g x( ). Vì g x'( )= −e−x nên '( ) x 1 1 e g x e e − = ≤ < với mọi x ( ,1)1 e ∈ nên dãy lặp 1 xn n x+ =e− hội tụ. Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS:
Khai báo g x( )=e−x: SHIFT ex ( − ALPHA X )
Bắt đầu tính toán bằng CALC máy hiện X? Khai báo giá trị ban đầu 0
12 2
x = : 1 b c/
a 2 và bấm phím = . Sau đó thực hiện dãy lặp CALC Ans = ta cũng đi đến x=0,567143290. Vậy nghiệm gần đúng là x=0,567143290.
Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS hoặc Casio fx-500 MS: Khai báo giá trị ban đầu 0
12 2 x = : 1 b c/ a 2 và bấm phím = . Khai báo 1 ( ) n n x n x+ =g x =e− : SHIFT ex ( − Ans )
Sau đó thực hiện dãy lặp = ta cũng đi đến x=0,567143290. Vậy nghiệm gần đúng là x=0,567143290.
Thí dụ 4. Tìm nghiệm gần đúng của ph−ơng trình x=cos :x =g x( ).
Vì f x( )= −x cosx có đạo hàm f '( )x = +1 sinx≥ ∀0 x và chỉ bằng 0 tại một số điểm rời rạc 2 2 x= − +π kπ nên nó là hàm đồng biến ngặt. Do (0) 1 f = − và ( ) 2 2