2. Một số bài toán áp dụng
2.3.2. Xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
Giao điểm (nếu có) của một đường thẳng (d) không nằm trong mặt phẳng (Q) là một điểm. Vì vậy khi giúp học sinh tìm hướng giải, giáo viên có thể dẫn dắt học sinh nhờ các câu hỏi sau:
GV: giả sử xác định được giao điểm của đường thẳng (d) và mặt phẳng (Q) là điểm A. Khi đó mọi đường thẳng (a) qua A nằm trong (Q) và đường thăng (d) cùng thuộc một mặt phẳng (P) nào đó. Xác định giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q)?
HS: đó là đường thẳng (a).
GV: mà đường thẳng (a) và đường thẳng (d) cắt nhau tại A là giao điểm của đường thẳng (d) và mặt phẳng (Q). Vì vậy, nếu xác định được giao tuyến của mặt phẳng chứa đường thẳng (d) và mặt phẳng (Q) là đường thẳng (a) thì giao điểm của đường thẳng (d) và mặt phăng (Q) được xác địn như thế nào?
HS: chính là giao điểm của đường thẳng (a) và đường thẳng (d).
1. Một số ví dụ
Ví dụ 1
Dựa trên giả thiết của ví dụ 1 của mục 2.3.1, hãy xác định giao điểm của BN và (SAD).
Hệ thống câu hỏi của giáo viên
Dự đoán câu trả lời tương ứng của
học sinh
Em có xác định ngay được giao điểm của đường thẳng BN và mặt phẳng (SAD) không?
Hãy xác định một mặt phẳng chứa đường thẳng BN mà cắt mặt phẳng (SAD)?
Giao điểm của đường thẳng TM và đường thẳng BN có phải là giao điểm cần tìm không? Vì sao? Em rút ra kết luận gì?
Chưa có được ngay giao điểm của chúng.
Chọn mặt phẳng (BMN) vì đã xét được giao tuyến của (SAD) và (BMN) là đường thẳng TM rồi. Có. Vì điểm đó vừa thuộc BN lại vừa thuộc (SAD). Nên giao điểm của đường thẳng BN và mặt phẳng (SAD) chính là giao điểm của BN và TM.
Ví dụ 2
Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho MA=3MB, trong tam giác BCD lấy điểm N là trọng tâm. Tìm giao điểm của AC và (DMN).
Hệ thống câu hỏi của giáo viên Dự đoán câu trả lời tương ứng của học sinh
Em có xác định ngay được giao điểm của đường thẳng AC và mặt phẳng (DMN) không?
Hãy xác định một mặt phẳng chứa đường thẳng AC mà cắt mặt phẳng (DMN)?
Hãy xác định giao tuyến của mặt phẳng em đã chọn với mặt phẳng (DMN)?
Giao điểm của đường thẳng MP (hay DQ) và đường thẳng BN có phải là giao điểm cần tìm không? Vì sao? Em rút ra kết luận gì?
Chưa có được ngay giao điểm của chúng.
Chọn mặt phẳng (ABC) hoặc (ACD).
Giao tuyến của (ABC) và (DMN) là đường thẳng MP như hình vẽ, còn giao tuyến của (ACD) và (DMN) là đường thẳng DQ. Nhưng xét giao tuyến của (ABC) và (DMN) dễ dàng hơn.
Có. Vì điểm đó vừa thuộc MP (hay DQ) lại vừa thuộc (DMN). Nên giao điểm của đường thẳng AC và mặt phẳng (DMN) chính là điểm Q.
Nhận xét:
Xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng thông qua xác định giao tuyến của hai mặt phẳng là cách làm tốt, giúp các em thấy được mối quan hệ giữa các nội dung Toán học. Học sinh làm những bài tập xác định giao điểm của đường thẳng bằng cách tự đặt ra những câu hỏi tương tự với câu hỏi của giáo viên. Như vậy là các em đã được rèn luyện kĩ năng xác định giao điểm theo quy tắc tựa thuật toán.
2. Một số bài toán áp dụng
Bài 1. Cũng với giả thiết ở bài tập 2 phần giao tuyến, xác định giao điểm của đường thẳng BM và mặt phẳng (SAC).
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, đáy lớn AB. Gọi I, J theo thứ tự là trung điểm của các cạnh SB và SC. Tìm giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng (AIJ).
Bài 1. dựa theo bài giao tuyến ta có ngay được giao điểm của BM và (SAC) chính là giao điểm của BM và SF là điểm I như hình vẽ.
Hệ thống câu hỏi của giáo viên Dự đoán câu trả lời tương ứng của học sinh
Em có xác định ngay được giao điểm của đường thẳng SD và mặt phẳng (AIJ) không?
Hãy xác định một mặt phẳng chứa đường thẳng SD mà cắt mặt phẳng (AIJ)?
Hãy xác định giao tuyến của mặt phẳng em đã chọn với mặt phẳng (AIJ)?
Giao điểm của đường thẳng IF và đường thẳng SD có phải là giao điểm cần tìm không? Vì sao? Em rút ra kết luận gì?
Chưa có được ngay giao điểm của chúng.
Chọn mặt phẳng (SDB), (SDA) hoặc (SDC).
Nếu học sinh chọn mặt phẳng (SDB) thì ta có: điểm chung của (SDB) và (AIJ) là điểm I dễ thấy ngay được. Có AC cắt BD tại H. Nên SH cắt AJ tại F.
Nếu học sinh chọn (SDA) thì ta có A thuộc vào giao tuyến của (AIJ) và (SAD). Điểm chung khác A chưa tìm ngay được. Lại có AD∩BC O= ,
O IJ
S ∩ =K. Khi đó giao tuyến của (AIJ) và (SAD) là đường thẳng AK.
AK∩SD E= nên E là giao điểm của SD và (AIJ).
Nếu chọn mặt phẳng (SDC) thì ta có được điểm chung đầu tiên của (SDC) và (AIJ) là điểm I. Việc tìm điểm chung thứ hai là khó khăn hơn nhiều. Xác định thêm điểm O sao cho AD∩BC O= và điểm H sao cho
AC∩BD H= , sau đó ta có
O IJ
S ∩ =K, và AK∩SD E= . Nên giao tuyến của (SDC) và (AIJ) là đường thẳng JE. JE∩SD E= nên E là giao điểm của SD và (AIJ).
Vậy nên giao tuyến của hai mặt phẳng là IF (hoặc AK, hoặc JE). Có. Vì điểm đó vừa thuộc SD lại vừa thuộc (AIJ). Nên giao điểm của đường thẳng SD và mặt phẳng (AIJ) chính là điểm E.