Trong mục này, chúng tôi quan tâm tới sự xuất hiện của chuẩn H∞ trong lí thuyết điều khiển. Chính xác hơn, chúng tôi giới thiệu về bài toán điều khiển
Hình 1.1: Sự miêu tả thiết bị cho bài toán điều khiển H∞
Xét hệ điều khiển được mô tả như sau: Thiết bị P có hai đầu vào: đầu vào ngoại sinh ω,bao gồm tín hiệu tham chiếu và rối loạn, và các biến điều khiển u.
Các kết quả đầu ra, các tín hiệu lỗi z mà chúng ta muốn giảm thiểu và các biến đo x mà chúng ta sử dụng để kiểm soát hệ thống, cụ thể x được sử dụng trong
K để thiết kế biến điều khiển u. Chúng ta giả thiết rằng các không gian trạng thái củaP vàK có thể ổn định hóa và quan sát được. Trước hết, chúng ta nhận định một bộ điều khiển là chấp nhận được nếu nó ổn định hệ thống khi không có đầu vào ngoại sinh (ω ≡ 0). Sự ổn định là yêu cầu cơ bản cho một hệ thống trong thực tế hoạt động, do đó bất cứ điều khiển hợp lí phải là chấp nhận được. Mục đích thiết kế các điều khiển chấp nhận đượcK nhằm giảm thiểu ảnh hưởng của các tín hiệu lỗi z, ta có thể chia bài toán điều khiển H∞ thành một số bài toán như sau.
H1. Bài toán điều khiển H∞ tối ưu.Tìm các điều khiển chấp nhận được được K sao cho ||Tzω||∞ là nhỏ nhất.
Việc tìm lời giải cho bài toán tối ưu này, nói chung là phức tạp và tốn kém. Trong thực tế, chúng ta chỉ cần thiết kế những điều khiển (điều khiển dưới tối ưu) gần đúng theo nghĩa nào đó với điều khiển tối ưu mà vẫn đảm bảo được các tín hiệu lỗi và chi phí ở mức chấp nhận được. Điều này dẫn tới bài toán sau:
H2. Bài toán điều khiển H∞ dưới tối ưu (suboptimal). Cho γ > 0.
Tìm điều khiển chấp nhận được được K sao cho ||Tzω||∞ ≤γ.
Bài toán (H2) (khi Tzω(s) chỉ phụ thuộc s vàTzω(s) ∈H∞ ) thực chất là tìm các điều khiển chấp nhận được sao
||z||2 ≤γ||ω||2, ∀ω ∈L2[0,∞),
phụ thuộc của x vào quá khứ, nói cách khác x(t) = ϕ(t), t ∈[−h,0], nhiều bài toán H∞ dưới tối ưu khác xuất hiện nhằm đánh giá các biến lỗi z phụ thuộc vào cả biến ngoại sinh ω và điều kiện ban đầu ϕ của biến đo x.