H∞ còn được gọi là không gian Hardy theo tên của nhà toán học G. H. Hardy (H viết tắt của chữ Hardy) (xem [77]).
Định nghĩa 1.4.1 ([77]). H∞ là không gian các hàm có giá trị ma trận, giải tích trên nửa mặt phẳng Re(s) > 0 và bị chặn trên trục ảo. Chuẩn H∞ được định nghĩa ||F||∞ := sup Re(s)>0 p λmax(F∗(s)F(s)). Định nghĩa 1.4.2. Cho ω ∈ L2([0,∞),Rn) và z ∈ L2([0,∞),Rm). Ma trận chuyển Tzω từ ω tới z được định nghĩa
trong đó Z(s),Ω(s) là các biến đổi Laplace của z(t), ω(t).
Ví dụ 1.4.3. Xét hệ phương trình
˙
x(t) =Ax(t) +Bω(t), t ≥0, x(0) = 0, z(t) =Cx(t) +Dω(t),
trong đó x(t) ∈ Rn là véc tơ trạng thái, ω ∈ L2([0,∞),Rm) là đầu vào ngoại sinh, z là các tín hiệu lỗi mà chúng ta muốn giảm thiểu, A, B, C, D là các ma trận thực với số chiều thích hợp, các giá trị riêng của ma trận A có phần thực âm.
Giả sử X(s), Z(s),Ω(s) lần lượt là biến đổi Laplace của x(t), z(t), ω(t). Biến đổi Laplace hai vế của hệ ta có
sX(s) =AX(s) +BΩ(s) và Z(s) =CX(s) +DΩ(s).
Do các giá trị riêng củaAcó phần thực âm,(sI−A)−1tồn tại với mọiRe(s) ≥0.
Hơn thế,
Z(s) =
C(sI −A)−1B +D
Ω(s),
nói cách khác, ma trận chuyểnTzω(s) =C(sI−A)−1B+D.Ngoài ra,Tzω ∈H∞.
Theo [77], nếu Tzω(s) =T(s) chỉ phụ thuộc s và T(s)∈ H∞ thì
||T||∞ = sup ω6=0 ||z||2 ||ω||2 , trong đó ||z||2 := ∞ Z 0 ||z(t)||2dt 1/2 , ||ω||2 := ∞ Z 0 ||ω(t)||2dt 1/2 .
Trong thực tế, ω là hàm nhiễu đầu vào và z là hàm lỗi, chuẩn H∞ đánh giá tỉ lệ sup
ω6=0
||z||2
||ω||2 càng nhỏ thì càng chứng tỏ tính hiệu quả của hệ thống. Do đó, việc nghiên cứu chuẩn H∞ đã và đang trở thành vấn đề thời sự trong lí thuyết cũng như áp dụng chúng trong thực tế.
1.4.2 Bài toán điều khiển H∞
Trong mục này, chúng tôi quan tâm tới sự xuất hiện của chuẩn H∞ trong lí thuyết điều khiển. Chính xác hơn, chúng tôi giới thiệu về bài toán điều khiển
Hình 1.1: Sự miêu tả thiết bị cho bài toán điều khiển H∞
Xét hệ điều khiển được mô tả như sau: Thiết bị P có hai đầu vào: đầu vào ngoại sinh ω,bao gồm tín hiệu tham chiếu và rối loạn, và các biến điều khiển u.
Các kết quả đầu ra, các tín hiệu lỗi z mà chúng ta muốn giảm thiểu và các biến đo x mà chúng ta sử dụng để kiểm soát hệ thống, cụ thể x được sử dụng trong
K để thiết kế biến điều khiển u. Chúng ta giả thiết rằng các không gian trạng thái củaP vàK có thể ổn định hóa và quan sát được. Trước hết, chúng ta nhận định một bộ điều khiển là chấp nhận được nếu nó ổn định hệ thống khi không có đầu vào ngoại sinh (ω ≡ 0). Sự ổn định là yêu cầu cơ bản cho một hệ thống trong thực tế hoạt động, do đó bất cứ điều khiển hợp lí phải là chấp nhận được. Mục đích thiết kế các điều khiển chấp nhận đượcK nhằm giảm thiểu ảnh hưởng của các tín hiệu lỗi z, ta có thể chia bài toán điều khiển H∞ thành một số bài toán như sau.
H1. Bài toán điều khiển H∞ tối ưu.Tìm các điều khiển chấp nhận được được K sao cho ||Tzω||∞ là nhỏ nhất.
Việc tìm lời giải cho bài toán tối ưu này, nói chung là phức tạp và tốn kém. Trong thực tế, chúng ta chỉ cần thiết kế những điều khiển (điều khiển dưới tối ưu) gần đúng theo nghĩa nào đó với điều khiển tối ưu mà vẫn đảm bảo được các tín hiệu lỗi và chi phí ở mức chấp nhận được. Điều này dẫn tới bài toán sau:
H2. Bài toán điều khiển H∞ dưới tối ưu (suboptimal). Cho γ > 0.
Tìm điều khiển chấp nhận được được K sao cho ||Tzω||∞ ≤γ.
Bài toán (H2) (khi Tzω(s) chỉ phụ thuộc s vàTzω(s) ∈H∞ ) thực chất là tìm các điều khiển chấp nhận được sao
||z||2 ≤γ||ω||2, ∀ω ∈L2[0,∞),
phụ thuộc của x vào quá khứ, nói cách khác x(t) = ϕ(t), t ∈[−h,0], nhiều bài toán H∞ dưới tối ưu khác xuất hiện nhằm đánh giá các biến lỗi z phụ thuộc vào cả biến ngoại sinh ω và điều kiện ban đầu ϕ của biến đo x.
1.5 Một số bổ đề bổ trợ
Bổ đề 1.5.1 (Bất đẳng thức Cauchy [78]). Giả sử S ∈ Rn×n là ma trận đối xứng và xác định dương. Khi đó ta có
2xTQy−yTSy ≤xTQS−1QTx,
với mọi Q∈ Rn×n, x, y ∈Rn. Đặc biệt, khi Q =I, ta có
2xTy−yTSy ≤xTS−1x.
Bổ đề 1.5.2 (Bất đẳng thức tích phân [64]). Cho Z ∈ Rn×n là ma trận đối xứng và xác định dương, các hằng số 0 < h < h sao cho các tích phân sau xác định. Khi đó, ta có các đánh giá sau:
i) Rt t−h x(s)TZx(s)ds ≥ h1 t R t−h x(s)ds !T Z t R t−h x(s)ds ! . ii) −hR −h t R t+s x(τ)TZx(τ)dτ ds ≥ h22 −h2 −h R −h t R t+s x(τ)dτ ds !T Z −h R −h t R t+s x(τ)dτ ds ! .
Bổ đề 1.5.3 (Biến đổi Schur [8]). Giả sử X11 = X11T, X22 = X22T, X21 = X12T
là các ma trận có số chiều thích hợp. Khi đó các điều kiện sau là tương đương
i) X11 X12 X21 −X22 < 0. ii) X22 >0, X11+X12X22−1X21 <0. Bổ đề 1.5.4 (Bổ đề bị chặn dưới [51]). Giả sử các hàm f1, f2, . . . , fN : Rm → R
nhận giá trị dương trong một tập mở D ⊂ Rm. Khi đó, với mọi t∈D, ta có
min ri| ri>0,P i ri=1 X i 1 rifi(t) = X i fi(t) + max gi,j(t) X i6=j gi,j(t),
trong đó gi,j là các hàm số thỏa mãn
gi,j : Rm →R, gi,j(t) =gj,i(t),
fi(t) gi,j(t) gj,i(t) fj(t) ≥ 0 .
1.6 Bất đẳng thức ma trận tuyến tính
Định nghĩa 1.6.1 ([8]). Bất đẳng thức ma trận tuyến tính (LMI) là biểu thức có dạng
LMI(y) =A0+y1A1+· · ·+ymAm ≥ 0,
trong đó y = (y1, y2, . . . , ym)T ∈ Rm, A0, A1, . . . , Am ∈ Rn×n là các ma trận đối xứng.
Các sự kiện tiêu biểu trong sự phát triển của LMI:
• LMI xuất hiện đầu tiên năm 1890, khi Lyapunov xuất bản các công trình về lí thuyết Lyapunov. Ông chỉ ra rằng phương trình vi phân
˙
x(t) =Ax(t)
là ổn định tiệm cận nếu tồn tại một ma trận P đối xứng xác định dương sao cho
ATP +P A < 0.
Bất đẳng thức trên là một dạng đặc biệt của LMI, và có thể giải một cách tường minh thông qua các bất phương trình tuyến tính.
• Khoảng năm 1940, Lur’e, Postnikov và nhiều nhà khoa học Liên Xô khác lần đầu tiên áp dụng các phương pháp của Lyapunov cho một số bài toán thực tế trong điều khiển máy móc, đặc biệt, bài toán ổn định của hệ điều khiển với một nhiễu phi tuyến. Các kết quả về ổn định của họ có dạng bất đẳng thức ma trận tuyến tính và được giải ”bằng tay”. Tất nhiên, các kết quả này chỉ làm được với hệ có kích cỡ nhỏ (bậc 2 hoặc 3).
• Đầu thập niên 60 (thế kỉ 20), Yakubovich, Popov, Kalman và nhiều nhà khoa học khác đưa ra một cách tiếp cận khác trong việc giải các LMI, phương pháp hình học. Kĩ thuật này cho phép giải các hệ có kích cỡ lớn hơn, tuy nhiên cũng chỉ làm được với hệ không có nhiều hơn một nhiễu phi tuyến. Cuối những năm 60, các nhà khoa học nhận thấy các LMI tương tự có thể được giải thông qua phương trình vi phân Ricatti.
• Những năm đầu thập niên 80 (thế kỉ 20), nhiều LMI có thể giải được bằng máy tính thông qua bài toán quy hoạch lồi.
• Những năm cuối thập niên 80 (thế kỉ 20), sự ra đời của thuật toán điểm trong cho phép giải được các LMI phát sinh trong các hệ thống có điều
khiển. Năm 1984, N. Karmarkar giới thiệu một thuật toán quy hoạch tuyến tính mới, thuật toán điểm trong, cho phép giải các bài toán tuyến tính với thời gian đa thức. Các công trình của ông chủ yếu cho các bài toán toàn phương (lồi) và tuyến tính. Sau đó, năm 1988, Nesterov và Nemirovskii đã phát triển thuật toán điểm trong (thuật toán phép chiếu của Nemirovskii) và áp dụng trực tiếp để giải các bài toán lồi liên quan tới LMI.
• Năm 1993, Gahinet và Nemirovskii đã phát triển một phần mềm LMI- Lab dựa trên code FORTRAN, cho phép người sử dụng miêu tả bài toán LMI dưới dạng kí hiệu. LMI-Lab giải quyết bài toán LMI này dựa trên thuật toán phép chiếu của Nemirovskii. Sau đó, năm 1994, El Ghaoui đã phát triển một phần khác, gọi là LMI-tool được sử dụng trong Matlab. Một phiên bản khác của LMI-tool được phát triển bởi Nikoukhah và Dele- becque.
Ba yếu tố khiến cho kĩ thuật LMI thu hút được nhiều sự quan tâm của nhiều nhà khoa học là:
1. Có nhiều thông số thiết kế và hạn chế có thể được thể hiện qua LMI. 2. Sau khi thiết lập LMI, một bài toán có thể được giải quyết một cách chính
xác thông qua các thuật toán lồi tối ưu cho LMI.
3. Trong khi các bài toán cùng với nhiều hạn chế và đa mục tiêu khó khăn trong việc tìm nghiệm của các phương trình ma trận, thì vấn đề này lại dễ xử lí khi dùng kĩ thuật LMI. Điều này khiến các thiết kế dựa trên LMI là sự thay thế đầy ý nghĩa cho các phương pháp cổ điển.
Điều thuận lợi nhất cho các nhà kĩ thuật là có nhiều phương pháp số hiệu quả để xác định xem LMI là khả thi hay không. Tính khả thi thể hiện ở chỗ: liệu có tồn tại y sao cho LMI(y) ≥ 0, hoặc để giải quyết một vấn đề tối ưu lồi hóa với những hạn chế LMI. Nhiều vấn đề tối ưu hóa trong lí thuyết điều khiển, hệ thống nhận dạng, và xử lí tín hiệu có thể được xây dựng bằng cách sử dụng các bất đẳng thức ma trận tuyến tính. Để kiểm tra LMI thực thi hay không, hộp công cụ LMI trong Matlab [19] có một vai trò quan trọng. Đặc biệt, cùng với phần mềm này, các công cụ thiết kế điều khiển có thể sử dụng một cách đơn giản mà không cần phải có kiến thức nhất định về LMI hoặc thuật toán để giải LMI.
Ví dụ 1.6.2. Xét phương trình vi phân có trễ sau
˙
x(t) =Ax(t) +Bx(t−h) t≥ 0, x0 =ϕ,
(1.13)
trong đó, x(t) ∈ Rn là véc tơ trạng thái, h là hằng số dương cho trước, A, B ∈
Rn×n là các ma trận hằng số, hàm điều kiện ban đầu ϕ ∈ C([−h,0], Rn). Để nghiên cứu tính ổn định hệ (1.13), chúng ta có thể sử dụng một trong các phương pháp sau:
1. Sử dụng số mũ đặc trưng. Nghiệm của hệ (1.13) là ổn định mũ nếu mọi nghiệm của phương trình sau có phần thực âm
det
λ−A−Be−λh
= 0. (1.14)
2. Sử dụng phương pháp hàm Lyapunov-Krasovskii. Xét hàm Lyapunov- Krasovskii như sau
V(t, ϕ) =ϕ(0)TP ϕ(0) +
0
Z
−h
ϕ(θ)TQϕ(θ)dθ,
trong đó P, Q là các ma trận đối xứng xác định dương. Chúng ta dễ ràng kiểm tra được
λmin(P)||ϕ(0)||2 ≤ V(t, ϕ) ≤ λmax(P) +hλmax(Q)||ϕ||2C và đạo hàm dọc theo nghiệm của hệ (1.13) xác định như sau
˙ V(t, ϕ) = ϕ(0)T ϕ(−h)T P A+ATP +Q P B BTP −Q ϕ(0) ϕ(−h) .
Nếu chúng ta tìm được các ma trận P, Q đối xứng xác định dương sao cho bất đẳng thức ma trận tuyến tính (LMI) sau thỏa mãn
P A+ATP +Q P B BTP −Q <0, (1.15)
thì theo định lí Lyapunov-Krasovskii về ổn định, nghiệm của phương trình (1.13) là ổn định tiệm cận đều.
Chúng ta phải nhấn mạnh rằng, việc kiểm tra sự tồn tại và tìm tường minh
P, Q (nếu tồn tại) không phải đơn giản. Vấn đề khó khăn đầu tiên chúng ta phải đối mặt là phương trình vi phân Ricatti, tìm nghiệm hằng số đối xứng xác định dương
˙
P(t) +P(t)A+ATP(t) +Q =−H,
với Q, H là ma trận đối xứng xác định dương và ma trận hằng A cho trước. Điều này cho thấy, việc tìm P, Q là một bài toán khó nếu sử dụng các phương pháp giải tích cổ điển để tìm nghiệm, và càng khó hơn khi các ma trận này có số chiều lớn. Trong khi đó, để kiểm tra sự tồn tại và tìm P, Q (nếu tồn tại) thỏa mãn (1.15) có thể thực hiện được thông qua hộp công cụ LMI trong Matlab [19]. Ngoài ra, để kiểm tra mọi nghiệm của phương trình (1.14) có phần thực âm chỉ có thể làm được trong một số trường hợp đặc biệt. Do đó, nghiên cứu tính ổn định nghiệm thông qua LMI và Matlab có nhiều ưu điểm hơn so với các phương pháp cổ điển và tiện lợi cho các nhà kĩ thuật khi nghiên cứu tính ổn định của một hệ thống mà không cần có nhiều kiến thức về biến đổi LMI hoặc phương trình vi phân Ricatti.
Ví dụ 1.6.3. Xét hệ điều khiển được mô tả bởi phương trình vi phân
˙
x(t) =Ax(t) +Bx(t−h) +Cu(t) t≥0, x0 =ϕ,
(1.16) trong đóu(t) ∈Rmlà véc tơ điều khiển được thiết kế dưới dạngu(t) = 12CTP x(t)
nhằm ổn định hóa hệ thống. Chúng ta xét hàm Lyapunov-Krasovskii như Ví dụ 1.6.2 và hệ (1.16) là ổn định tiệm cận đều nếu
P A+ATP +Q+P CCTP P B BTP −Q < 0. (1.17) Bất đẳng thức trên không phải là LMI do xuất hiện đại lượng bậc hai P CCTP.
Tuy nhiên, chúng ta đưa bất đẳng thức này về LMI bởi Bổ đề 1.5.3 nhưng bị trả giá bởi kích cỡ của ma trận. Bất đẳng thức (1.17) tương đương với LMI sau
P A+ATP +Q P B P C BTP −Q 0 CTP 0 −I <0.
Các đại lượng bậc hai được xử lí bởi Bổ đề 1.5.3 là nguyên nhân tồn tại của nhiều khối ma trận lớn trong các LMI của luận án.
Chương 2
ĐIỀU KHIỂN H∞ CHO MỘT SỐ LỚP HỆ PHƯƠNG
TRÌNH VI PHÂN CÓ TRỄ BIẾN THIÊN
Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu bài toán điều khiển H∞ cho một số lớp hệ phương trình vi phân có trễ biến thiên liên tục dạng khoảng (tập giá trị của trễ là đoạn thẳng) và không khả vi: hệ phi tuyến, hệ không chắc chắn, và hệ quy mô lớn. Nội dung được trình bày trong chương này dựa vào hai bài báo [1,2] trong danh mục các công trình khoa học của tác giả.
2.1 Điều khiển H∞ cho một lớp hệ phi tuyến Xét phương trình vi phân phi tuyến có trễ biến thiên
˙ x(t) = Ax(t) +Dx(t−h(t)) +Bu(t) +Cω(t) +f(t, x(t), x(t−h(t)), u(t), ω(t)), z(t) =Ex(t) +Gx(t−h(t)) +F u(t) +g(t, x(t), x(t−h(t)), u(t)), t≥ 0, x0 =ϕ, (2.1)
trong đó x(t) ∈ Rn là hàm trạng thái, u ∈ L2[0,∞),Rm là hàm điều khiển,
ω ∈L2[0,∞),Rrlà nhiễu đầu vào,z(t) ∈ Rslà hàm quan sát đầu ra, hàm trễ
là hai hằng số cho trước, hàm điều kiện ban đầuϕ ∈ C1[−h2,0],Rncó chuẩn
||ϕ||C1 = sup
θ∈[−h2,0]||ϕ(θ)||+ sup
θ∈[−h2,0]||ϕ˙(θ)||.
Hàm phi tuyến f và hàm phi tuyến liên tục g thỏa mãn điều kiện tăng trưởng, tức là tồn tại các số thực không âm a, b, c, d, a1, b1, c1 sao cho với mọi
(t, x0, x1, x2, x3)∈ R+×Rn ×Rn ×Rm×Rr,
ta có
||f(t, x0, x1, x2, x3)|| ≤a||x0||+b||x1||+c||x2||+d||x3||,
||g(t, x0, x1, x2)||2 ≤a1||x0||2+b1||x1||2+c1||x2||2.
(2.2) Ngoài ra, hàmf(t, x0, x1, x2,0) :R+×Rn×Rn×Rm → Rn liên tục theotvà Lips- chitz địa phương theo(x0, x1, x2).Khi đó, hệ (2.1) vớiu =Kx(K là ma trận hằng), ω ≡ 0, tồn tại và duy nhất nghiệm xác định trên [0,∞). Để chứng minh điều này, ta có thể áp dụng trực tiếp Hệ quả 1.2.8 hoặc áp dụng Định lí 1.2.3 bằng cách viết lại hệ (2.1) dưới dạng
˙
x(t) =F(t, xt),
trong đó hàm F : R+×C → Rn xác định bởi công thức
F(t, ϕ) =A+BKϕ(0) +Dϕ(−h(t)) +f(t, ϕ(0), ϕ(−h(t)), Kϕ(0),0)
thỏa mãn các điều kiện của Định lí 1.2.3. Chính xác hơn, ta dễ dàng tìm được hằng số Lipschitz địa phương của hàm F(t, ϕ) tương ứng với ||ϕ|| ≤ H,
L1(H) =||A+BK||+||D||+ (2 +||K||)L2H+||K||H),
với L(H) là hằng số Lipschitz địa phương của hàm f(·) và hàm
η(s) = (||A+BK||+||D||+a+b+c||K||)s.
Định nghĩa 2.1.1. Cho β > 0. Nghiệm x = 0 của hệ (2.1) khi u ≡ 0, ω ≡ 0
được gọi là β−ổn định nếu tồn tại hằng số dương N0 sao cho mọi nghiệm của hệ thỏa mãn
||x(t)|| ≤ N0e−βt||ϕ||C1, ∀t≥ 0.