Có nhiều phần mềm máy tính có thể tính toán và biểu diễn lược đồ pha và đường cong nghiệm như MathmaticaT M hoặc MapleT M. Các phần mềm đó thực hiện các công việc rất đơn giản. Nhưng nếu không có chúng thì ta có thể sử dụng các tính toán hỗ trợ sau đây:
Xét hệautonom dạng: ˙
x=P(x,y), y˙=Q(x,y). (2.17) Để phác họa một đường cong pha, ta có thể thực hiện từng bước theo một số cách từ điểm ban đầu(x0,y0):
x(t0) =x0, y(t0) =y0. (2.18) Phương pháp đơn giản nhất là củaEuler sử dụngt như một biến bổ sung như sau. Gọi độ dài của bước thời gian làhvà(x0,y0),(x1,y1),(x2,y2), ... là các điểm trên mặt phẳng pha tại các thời điểmt,t+h,t+2h, .... Giả sử
(xn,yn) được biết trước. Khi đó, viết x˙(t0+nh) ≈(xn+1−xn)/h,y˙(t0+
nh)≈(yn+1−yn)/h, thì (2.17) trở thành:
(xn+1−xn)/h=P(xn,yn),(yn+1−yn)/h=Q(xn,yn)
hay
Điểm(xn+1, yn+1) được ghi lại và tiếp tục các bước tiếp theo. Về độ chính xác của phương pháp chúng tôi không đề cập ở đây.
Điểm mà chúng ta quan tâm ở đây là lấyt làm tham số nói chung là không phù hợp lắm (Xem Hình 2.19), vì cùng một bước thời gian như nhau nhưng sự thay đổi của các điểm rất không đồng đều, đặc biệt là khi gần điểm cân bằng. Để khắc phục điều đó ta sử dụng tham số tự nhiên s - là độ dài cung tham số theo hướng tăng của t. Khi đó ta có: δs2 =δx2+δy2 và (2.17) với tham số s trở thành: ∂x ∂s = P p (P2+Q2) =U, ∂y ∂s = Q p (P2+Q2) =V. (2.20) Gọihlà bước của s. Khi đó (2.20) cho ta sơ đồ lặp:
(xn+1−xn)/h=U(xn,yn),(yn+1−yn)/h=V(xn,yn), (2.21) với giá trị ban đầu(x0,y0) cho trước.
Hình 2.19: Bước thời gian đều gần đến điểm cân bằng.
Phương pháp này thường được gọi là phương pháp Runge−Kutta
nhìn chung là được ưa thích và có thể dễ dàng được lập trình để có một chương trình in ra như mong muốn chỉ sau khi một số định trước các bước tính toán. Bằng cách này có thể sắp xếp, chẳng hạn để tạo ra một điểm trên mỗicmcủa đường cong pha.
Trong thực tế khi vẽ, sẽ rất hữu ích nếu ta xác định và phân loại được các điểm cân bằng và biết được là có chu trình giới hạn hay không?
Điểm yên ngựa là đặc biệt khó khăn để xác định vị trí chính xác bằng cách vẽ đường cong pha. Để xác định vị trí của điểm cân bằng ta có thể giải bằng phương pháp đại số hoặc phương pháp số hệ phương trình
P=Q=0, việc phân loại nhờ hệ xấp xỉ tuyến tính dự đoán có tâm, (vì nó có thể trở thành xoắn ốc nếu có số hạng phi tuyến). Trong những trường hợp như vậy ta cần phải vẽ thăm dò ở gần điểm cân bằng trước khi khẳng định chắc chắn. Ta cũng có thể đổi dấu của h trong chương trình vẽ để vẽ "ngược" từ điểm ban đầu. Điều này rất hữu ích để hoàn thành một đường cong pha (Hình 2.20(a)) hoặc để vẽ gần hơn với một nút không ổn định (Hình 2.20(b)) hoặc một xoắn ốc, ta có thể gặp khó khăn khi phân biệt giữa một nút có các đường cong pha quấn quanh nó và một xoắn ốc. (Hình 2.21). Với các cách lấy tỷ lệ khác nhau, một phần mềm có thể vẽ một xoắn ốc như một nút và ngược lại. Vì vậy, khi chưa chắc chắn về bản chất của điểm cân bằng thì ta nên dùng phương pháp giải tích để phân loại cũng như xác định hướng của các đường phân lập.
Một chu trình giới hạn là một đặc điểm cần quan tâm đặc biệt. Đó là mô hình khi có một xoắn ốc bên trong và một xoắn ốc bên ngoài chu trình (Hình 2.22). Hình đó cho thấy một chu trình giới hạn ổn định, tức là tất cả các đường cong pha gần đó đều tiến về phía chu trình giới hạn. Nếu tất cả đều tiến ra xa (đảo chiều các mũi tên) thì chu trình giới hạn là không ổn định. Có thể có chu trình giới hạn nửa ổn định, tức là khi các đường cong pha tiến đến ở một phía và rời đi ở một phía khác.
Cả chu trình giới hạn và các đường cong pha gần đó đều có thể tản ra rất nhanh, chẳng hạn:
Hình 3.24 biểu diễn chu trình giới hạn của hệ Vanderpol. ¨
x+ε x2−1x˙+x=0,
Hình 2.20: Minh họa cách vẽ bằng cách đổi dấu bướch.
Hình 2.21:(a) Vẽ với tỷ lệ nhỏ (xoắn ốc ?), (b) Vẽ với tỷ lệ lớn (nút?)
Hình 2.22:Chu kỳ giới hạn của phương trình Vanderpolx¨+ x2−1x˙+x=0.
phần "đông cứng" giữa một xoắn ốc trong và một xoắn ốc ngoài. Vì vậy sẽ vô cùng khó để xác định chính xác một điểm thuộc chu trình. Khi tính bước này thì tốt nhất là ta đảo dấu của tham sốt hoặc (h) để vẽ (nếu cần) các đường cong pha tiến càng sát chu trình càng tốt để định vị nó qua lược đồ pha.