khác
Đối với hệ phi tuyến tính, ta đặc biệt quan tâm tới sự tồn tại của các nghiệm tuần hoàn: Biên độ, chu kỳ và đảo lệch pha của chúng. Nếu hệ làautonom và là một nghiệm thìx(t+τ) cùng là nghiệm với mọi giá trị của τ. Do đó độ lệch pha là không có nghĩa vì các nghiệm ánh xạ lên cùng một đường cong pha. Trong mặt phẳng pha, các nghiệm tuần hoàn được thể hiện bởi các đường cong kín.
Hệ bảo toàn và hệHamiltonian thường chứa một họ các đường cong pha kín bao quanh tâm. Vì các hệ đó nói chung là không tiêu tán nên ta cho rằng hệ động lực tương ứng không có ma sát.
Như chúng ta đã thấy, một chu trình giới hạn là một nghiệm tuần hoàn cô lập của hệautonomvà có biểu diễn trong mặt phẳng pha là một đường cong kín cô lập. Các đường cong lân cận, theo định nghĩa sẽ không kín mà xoắn ốc vào hoặc ra từ chu trình giới hạnC như Hình 2.17.
Trong hình minh họa, đó là một chu trình giới hạn ổn định, các thiết bị được mô tả bởi hệ (có thể là một mạch điện), có khả năng tự động điều
chỉnh thành giao động tuần hoàn từ một loạt các trạng thái đầu. Do đó sự tồn tại của chu trình giới hạn có một ý nghĩa đặc biệt quan trọng.
Hình 2.17: Ví dụ về một chu trình giới hạn ổn định với hai đường cong pha tiếp cận nó từ bên trong và bên ngoài.
Hệ autonom tuyến tính (tức là với hệ số không đổi) không có chu trình giới hạn. Thường thì chúng ta không thể giải được các hệ phi tuyến nên chúng ta cần phải thiết lập một cách gián tiếp để trả lời câu hỏi liệu có một chu trình giới hạn trong lược đồ pha hay không? nếu tồn tại thì sẽ có các phương pháp xấp xỉ khác nhau để định vị nó. Trong mục này chúng tôi đưa ra một số dấu hiệu đơn giản để nhận biết chu trình giới hạn.
Chỉ số của một chu trình giới hạnC là1vì vector (X,Y) tiếp xúc với
C tại mỗi điểm trên nó, và sự thay đổi giá trị của ϕ quanhC là2π. Theo Định lý 2.2, nếuC là một chu trình giới hạn thì tổng các chỉ số của các điểm cân bằng được bao bởiC =1.
Kết quả này đúng đối với mọi đường cong pha kín có thể cô lập hoặc không. Và nó cung cấp cho ta một tiêu chuẩn phủ định: về các trường hợp không thể tồn tại đường cong pha kín. Chẳng hạn một đường cong pha kín không thể bao quanh một miền không có điểm cân bằng nào cũng như không thể bao quanh một miền chỉ có một điểm yên ngựa.
Kết quả sau đây là của Bendixsonvà được gọi là tiêu chuẩn phủ định
Định lý 2.5. Tiêu chuẩn phủ định Bedixon
Không có đường cong pha kín nào trong miền đơn liên của mặt phẳng pha mà trên đó ∂X
∂x +
∂Y
∂y không đổi dấu.
Chứng minh: Giả sử ∂X ∂x +
∂Y
∂y không đổi dấu trên miền đơn liên D,
C là một đường cong pha kín trongD. Theo định lýDivergence, ZZ S ∂X ∂x + ∂Y ∂y dxdy= Z C (X,Y)nds.
Hình 2.18: Là một đường cong pha kín.
Trong đóSlà phần trong củaC, nlà vector pháp tuyến ngoài đơn vị,
ds là vi phân độ dài trên C. Do ở trênC, (X,Y) vuông với n, nên tích phân ở vế phải bằng 0. Nhưng hàm dưới dấu tích phân ở vế trái không đổi dấu nên tích phân đó khác0.
VậyC không là một đường cong pha kín.
Ví dụ 2.7. Chứng minh rằng phương trìnhx¨+f(x)x˙+g(x) =0không có nghiệm tuần hoàn nào có đường cong pha nằm trong miền f giữ nguyên dấu. (Các miền chỉ có giảm tốc âm hoặc giảm tốc dương).
Hệ phương trình tương đương: ˙
nên (X,Y) = (y,−f(x)y−g(x)) và ∂X ∂x + ∂Y ∂y =−f(x). Có dấu không đổi trong các miền như vậy.