1. Phân phối đều
Đại lượng ngẫu nhiên X gọi là có phân phối đều trên đoạn [a, b] nếu hàm mật độ của X là
f(x) =
Trong trường hợp này ta ký hiệu X ~ U(a, b). Định nghĩa vừa nêu là hợp lý vì
= 1
Định lý:
Nếu X ~ U (a, b) thì E (X) = , D (X) =
nhóm 3
Đại lượng ngẫu nhiên X gọi là có phân phối mũ với tham số (�> 0) nếu hàm mật độ của X là
f(x) =
Trong trường hợp này ta ký hiệu X ~ E (�) Định nghĩa vừa nêu là hợp lý vì
dx = -e-�x Định lý :
Nếu X ~ E (�) thì E(X) = , D(X) =
3. Phân phối chuẩn
Đại lượng ngẫu nhiên X gọi là có phân phối chuẩn nếu hàm mật độ của X có dạng
f(x) = , �> 0
Trong trường hợp này ta ký hiệu Áp dụng tích phân Poisson
dt =
Và bằng phép đổi biến t = hay x = a + �t Ta có = dt = 1
Vậy định nghĩa trên là hợp lý
Cũng áp dụng tích phân Poisson, dễ dàng nhận được:
Định lý:
nhóm 3
Theo định lý 4.7, nói X có phân phối chuẩn với kỳ vọng a, phương sai �2 có nghĩa là X ~ N (a, �2).
4. Phân phối chuẩn chuẩn tắc
Đại lượng ngẫu nhiên X ~ N (0, 1) gọi là có phân phối chuẩn chuẩn tắc. Nếu X có phân phối chuẩn tắc thì hàm mật độ của X là
f(x) =
gọi là hàm mật độ Gauss. Hàm mật độ Gauss là hàm chẵn, ta có maxf(x) = f(0) = = 0.3989
= 0.5
Mọi phân phối chuẩn đều có thể chuẩn tắc hóa nhờ định lý sau đây:
Định lý: Nếu X ~ N (a, �2) thì Y ~ N(0,1). (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
5. Tích phân Laplace
Cho f(x) là hàm mật độ Gauss. Khi đó ta có hàm phân phối Gauss F(u) =
Và tích phân Laplace Ф(u) =
Giữa hàm phân phối Gauss và tích phân Laplace có mối liên hệ F(u) = + Ф(u) hay Ф(u) = F(u) -
Hàm Ф(u) là hàm lẻ.
nhóm 3
Đại lượng ngẫu nhiên X2 gọi là có phân phối “ khi bình phương “ n bậc tự do nếu
X2 = + + ... +
Trong đó X1, X2, ... , Xn là đại lượng ngẫu nhiên độc lập có phân ph6i1 chuẩn chuẩn tắc.
Trong trường hợp này ta ký hiệu: X2 ~ X2(n) Ký hiệu Г(x) = e-tdt
7. Phân phối student.
Đại lượng ngẫu nhiên T gọi là có phân phối Student n bậc tự do nếu T = Trong đó : U ~ N (0, 1) và V ~ X2(n).
Trong trường hợp này ta ký hiệu: T ~ T(n).
III. Các định lý giới hạn.
1. Định lý Chebyshev
Định lý(bất đẳng thức Chebyshev):
Cho X là một đại lượng ngẫu nhiên. Khi đó, với mọi > 0, ta có P( ≥ ɛ ) ≤
2. Định lý Bernoulli
Định lý:
Nếu m là số lần thành công trong dãy n phép thử Bernoulli với xác suất thành công p thì
= 1
3. Định lý giới hạn trung tâm.
nhóm 3
ak = E (Xk), = D(Xk), Ck = E 3
Yk = = =
IV. CÁC CÔNG THỨC GẦN ĐÚNG.
1. Phân phối siêu bội và phân phối nhị thức.
Định lý:
Cho X ~ H (N, M, n). Nếu n cố định và = p thì với k = , ta có pkqn-k
2. Phân phối nhị thức và phân phối Poisson. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Định lý:
Cho X ~ B (n, p). Nếu -> 0 và np ->� khi n-> thì với k = ta có = e-�
Bài tập:
Bài 4.7: Trong 500 trang của một cuốn sách có 10 chổ in nhầm. Tìm xác suất để khi lấy ngẫu nhiên 1 trang thì có không ít hơn 2 chỗ in nhầm.
Bài 4.8: Một máy đếm để gần 1 nguồn phóng xạ sao cho xác suất để hạt phát ra nguồn phóng xạ được ghi lại trong máy đếm là
4
10−
. Giả sử rằng trong thời gian quan sát có 40000 hạt phóng ra từ nguồn phóng xạ. Tìm xác suất sao cho máy đếm:
a) Ghi được trên 6 hạt
nhóm 3
c) Tính số hạt ít nhất mà nguồn phóng xa cần phát ra sao cho với xác suất lớn hơn 0,945 máy đếm ghi được không ít hơn 4 hạt.
Bài làm
Bài 4.7: Gọi :
X là biến cố ngẫu nhiên chỉ số chỗ in nhầm A là biến cố không ít hơn hai chỗ in nhầm
0 A là biến cố không có chổ in nhầm 1 A là biến cố có 1 chổ in nhầm ≈ − − = = − = − = − − = 10 9 10 10 1 0 500 10 . 499 500 400 1 ) 1 ( ) 0 ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( X P X P A P A P A P Bài 4.8:
Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số hạt ghi được
) ( ~ ) , ( ~ 40000 10 4 a p p n B X n p => = = − Với a=np=4
nhóm 3 a) 110674 , 0 889326 , 0 1 ! 4 . 1 ) 6 ( 1 ) 6 ( 6 0 4 = − = − = ≤ − = > ∑ = − k e X P X P k k b) 160623 , 0 ! 6 6 . ) 6 (X = =e−6 6 = P c) 999191 , 0 ! 6 . ) 15 ( 15 0 6 = = ≤ ∑ = − k e X P k k ---0o0---
Chương 5: LÝ THUYẾT MẪU
Cơ sở lý thuyết
I. Định nghĩa mẫu
1. Tổng thể và mẫu.
Tập hợp có phần tử là tất cả các đối tượng mà chúng ta nghiên cứu gọi là tổng thể.Tổng thể còn gọi la tập chính hay đám đông.
Số phần tử của tổng thể gọi là kích thước của tổng thể.
2. Các loại mẫu.
Mẫu mà chúng ta nghiên cứu được chọn theo một cách thức nào đó mang tính ngẫu nhiên,khách quan,gọi là mẫu ngẫu nhiên.
a. Phân loại mẫu theo phương thức chọn mẫu :
Mẫu không hoàn lại là mẫu được chọn bằng cách phần tử đã lấy ra quan sát thì loại khỏi tổng thể rồi mới lấy phần tử tiếp theo.
Mẫu hoàn lại là mẫu được chọn bằng cách phần tử đã lấy ra quan sát được bỏ trở lại tổng thể rồi mới phần tử tiếp theo.
nhóm 3 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
b. Phân loại mẫu theo mục đích nghiên cứu :
Mẫu định tính : là mẫu mà ta chỉ quan tâm đến các phần tử của nó có một tính chất A nào hay không.
Trường hợp này mẫu được cho dưới dạng : + Kích tước mẫu: n
+ Số phần tử có tính chất A : m.
Mẫu định lượng: là mẫu mà ta quan tâm đến một yếu tố về lượng của các phần tử như khối lượng,chiều dài,nhiệt độ…
Dạng tổng quát: X = ()
Trong đó phầ tử thứ i của mẫu nhận giá trị Xi (i = ). Nếu Xi nhận giá trị cụ thể xi thì ta được mẫu cụ thể
X = ()
II. Các đặc trưng mẫu :
1. Tỷ lệ mẫu
Cho mẫu định tính kích thước n,trong đó có m phần tử có tính chất A.Khi đó ta gọi f = fn = là tỷ lệ mẫu.
2. Trung bình mẫu và phương sai mẫu
Xét mẫu định lượng thu gọn
X x1 x2 ….. xk Tần số n1 n2 ….. nk Ta gọi bảng X x1 x2 ….. xk P p1 p2 ….. pk Trong đó
nhóm 3
pi = ; i = là bảng phân phối mẫu.
Bảng phân phối xác suất mẫu là bảng phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên.
x = {x1,x2,…,xk} với P(x = xi) = pi= là tần suất xuất hiện của xi trong mẫu.
Ta gọi kỳ vọng,phương sai của đại luợng ngẫu nhiên là trung bình mẫu và phương sai mẫu.cụ thể :
- Trung bình mẫu = x1p1 + x2p2 +…+xkpk = (x1n1+x2n2+…+xknk)/n
- Phương sai mẫu là
s2 = =[(x1-)2n1+ (x2-)2n2+…+(xk-)2nk]/n-1
3. Phép đổi biến số
Với x0 tùy ý và h ≠ 0, đặt ui = xi-x0 , i =
Vì xi = hui + x0 ,nên theo tính chất của kì vọng và phương sai ta có : = = h + x0
= h2 = h2 -
Trường hợp các giá trị xi cách đều nhau thì ta chọn h bằng khoảng cách đó và chọn x0 = xi với ni = max(n1,n2,…,nk)
III. Tính chất của đặc trưng mẫu
1. Kỳ vọng và phương sai của đặc trưng mẫu
a. Kỳ vọng và phương sai của tỷ lệ mẫu (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Xét mẫu định tính kích thước n.Gỉa sử F là tỷ lệ mẫu tổng quát,đặt =
Khi đó(X1,X2,…,Xn) là các đại lượng ngẫu nhiên và F =
nhóm 3
b. Kỳ vọng và phương sai của trung bình mẫu Xét mẫu định lượng kích thước n
X = (X1,X2,…,Xn)
Khi đó X1,X2,…,Xn là các đại lượng ngẫu nhiên và trung bình mẫu tổng quát là :
=
Định lý :
Nếu tổng thể có kỳ vọng a, phương sai thì mọi mẫu kích thước n đều có E () = a, D() =
c. Kỳ vọng và phương sai mẫu
Tiếp tục xét mẫu tổng quát X = (X1,X2,…,Xn) Ta có phương sai tỗng quát là = )2 = 2
Và phương sai mẫu hiệu chỉnh tổng quát là =
Định lý :
Nếu tổng thể có ky vọng a,phương sai σ2 thì E (2) = ,E(S2) = σ2
2. Phân phối xác suất của các đặc trưng mẫu
a. phân phối xác suất của tỷ lệ mẫu Ta có thể coi F ~ N(p,
Với 1 mẫu cụ thể kích thước n ,tỷ lệ mẫu f,ta có p ≈ f,nên : F ~ N(p, hay ~ N(0,1)
b. Phân phối xác suất của trung bình mẫu
nhóm 3
~ N(a,) hay ~ N(0,1)
Nếu n ≥ 30 thì với mẫu kích thước n ta có Do đó ~ N(a,) hay ~ N(0,1)
Nếu n <30, tổng thể phân phối chuẩn ~ T(n-1)
c. Phân phối xác suất của phương sai mẫu Tổng thể phân phối chuẩn thì ta có
= = )2~ X2(n-1)
IV. Đa giác đồ,tổ chức đồ
Cho mẫu
Xi x1 x2 ….. xk ni n1 n2 ….. nk
x1<x2<…<xk
1. Hàm phân phối mẫu
Đặt nx = ta được hàm F(x) = (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Xác định trên toàn trục số, gọi là hàm phân phối mẫu.
2. Đa giác đồ
Biểu diễn các điểm(xi,ni), i = ,lên mặt phẵng tọa độ và nối các điểm (xi,ni) và(xi+1, ni+1) , i = bằng một đoạn thẳng ,ta đường một đường gấp khúc gọi là đa giác tần số hay đa giác đồ.
3. Tổ chức đồ
Chia đoạn [x1, xk] thành các khoảng bằng nhau có độ dài bằng h.Trên mỗi khoãng Jx ta tính tổng :
nhóm 3
Dựng các hình chữ nhật đáy Jx ,chiều cao .Hình vẽ nhận được gọi là biểu đồ tần số, hay tổ chức đồ của mẫu đã cho.Tổng diện tích của các hình chữ nhật bằng kích thước của mẫu.
Bài tập:
Bài 5.3: Cho 10 kết quả đo đạc 1 đại lượng X bởi cùng một máy không có sai số hệ thống: 369; 378;315; 320; 325; 420; 385; 401; 372; 383. Hãy tính . , ,s2 s x Bài làm Bài 5.3: n =10 i x 369 378 315 320 325 420 385 401 372 383 i n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
nhóm 3 5111 , 1263 5459 , 35 16 , 1137 7218 , 33 8 , 366 2 1 2 ^ ^ = = = = = = = − S S S S x n n σ σ ---0o0---
Chương 6: LÝ THUYẾT ƯỚC LƯỢNG
Cơ sở lý thuyết
I.Ước lượng điểm
Các đặc trưng bằng số của đại lượng ngẫu nhiên X đặc trưng cho tổng thể như:kì vọng,phương sai,tỷ lệ…..Thông thường chưa biết,ta đi ước lượng chúng bằng phương pháp mẫu.Từ mẫu ta tính ra được 1 số nào đó dùng số này để ước lượng tham số cần tìm.Ta gọi là ước lượng điểm.
Ước lượng điểm cho trung bình dám đông
Dùng trung bình mẫu là ước lượng không lệch cho trung bình đám đông vì Ước lượng điểm cho Phương sai đám đông
Dùng phương sai mẫu có hiệu chỉnh s2 là ước lượng không chệch cho phương sai đám đông vì E(S2) =
nhóm 3
II. Ước Lượng Khoản
Gọi Ɵ là 1 tham số nào đó của đại lượng ngẫu nhiên X cần ước lượng.Ɵ rơi vào khoảng (g1,g2) ta gọi đó là phương pháp ước lượng khoảng
Ước lượng trung bình của tổng thể là m(hay ước lượng kỳ vọng M(X))
• Trường hợp 1
Cỡ mẫu n 30 (hoặc n< 30)và X tuân theo phân phối chuẩn với đã biết.Thì khoảng ước lượng của m là: ( –< m < –) với = t
Với độ tin cậy 1 – thì tra bảng phân vị chuẩn có t
• Trường hợp 2
Cỡ mẫu n 30 và X tuân theo phân phối chuẩn với chưa biết thì khoảng ước lượng của m là : ( –< m < –) với = t với độ tin cậy 1 – thì tra bảng phân vị chuẩn có t
• Trường hợp 3
Cỡ mẫu n< 30 và X tuân theo phân phối chuẩn với chưa biết. Thì khoảng ước lượng của m là: ( –< m < –) với = t với độ tin cậy 1 – thì tra bảng phân vị chuẩn có t với (n – 1) bậc tự do
III. Ước lượng tỷ lệ P
Giả sử đám đông chia 2 loại phần tử có tính chất A và phần tử không có tính chất A.Tỉ lệ phần tử có tính chất A là p chưa biết. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
nhóm 3
Ta có khoảng ước lượng của p là : (f–< p < f –).Trong đó f là tỉ lệ phần tử có tính chất A trong mẫu. với độ tin cậy 1 – thì tra bảng phân vị chuẩn có t với = t Ước lượng phương sai khi X tuân theo phân phối chuẩn
• Trường hợp 1
Ta cần ước lượng phương sai D(X) = trong trường hợp đã biết M(X) = .Ta lập bảng tính toán để tính 2 .Ứng với độ tin cậy 1 – tra bảng , là các phân vị x2 với n bậc tự do.Khoảng tin cậy của là:
<<
• Trường hợp 2
Ta cần ước lượng phương sai D(X) = trong trường hợp chưa biết .Trường hợp này khoảng tin cậy của sẽ là:[]
Trong đó , là các phân vị x2 với n – 1 bậc tự do.
Bài tập:
Bài 6.15: Người ta đo 1 đại lượng không đổi 25 lần bằng 1 dụng cụ đo không có sai số hệ thống và sai số trung bình bằng 0. Giả sử sai số tuân theo quy luật chuẩn và momen gốc cấp 2 mẫu bằng 0,5
a) Với độ tin cậy γ =0,95
, hãy tìm khoảng tin cậy cho phương sai của số đo
b) Tính xác suất để sai số không vượt quá 0,5.
Bài giải
nhóm 3
Gọi X là sai số của phép đo, theo đề bài XN(0,). Mẫu quan sát thực hiện (X1,X2,……,X25)có XX =0, S2=0.5,n= 25,theo công thức . Khoảng ước lượng của phương sai với dộ tin cậy 0.95 là[ ,];
y2=)= y1=.
Vậy khoảng ước lượng của phương sai : =
---0o0---
Chương 7: KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT THỐNG KÊ Cơ sở lý thuyết
I. KIỂM ĐỊNH TỶ LỆ
1. Kiểm định giả thuyết về tỷ lệ tổng thể
Bài toán: Giả sử tổng thể có tỷ lệ p. Mẫu có kích thước n, tỷ lệ mẫu f. Hãy
kiểm định giả thuyết H: p=po với mức ý nghĩa .Phương pháp giải Giả thuyết thêm n > 30. Nếu H đúng thì:
~ N(0,1) P = 1 –α Từ đó ta có quy tắc kiểm định: -Tìm Zo từ hệ thức 2()=1 – α -Tính thống kê Zo= Nếu Zo< thì chấp nhận H Nếu Zo> thì bác bỏ H.
nhóm 3
2. Kiểm định so sánh hai tỷ lệ
Bài toán: Giả sử tổng thể I có tỷ lệ p1; tổng thể II có tỷ lệ p2. Từ tổng thể I có
mẫu kích thước n1, tỷ lệ mẫu f1. Từ tổng thể II có mẫu kích thước n2, tỷ lệ mẫu f2. Hãy kiểm định giả thuyết H: p1=p2 với mức ý nghĩa α.
Phương pháp giải (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Giả thuyết thêm n1, n2 30. Ta có quy tắc kiểm định như sau: -Tìm từ hệ thức 2()=1 – α
-Tính thống kê Zo=; po=
Nếu Zo< thì chấp nhận H Nếu Zo> thì bác bỏ H.
II. Kiểm định giá trị trung bình
1. Kiểm định giả thuyết về trung bình của tổng thể
Bài toán: Giả sử tổng thể có trung bình (kỳ vọng) . Mẩu có kích thước n, trung
bình mẫu , phương sai mẫu hiệu chỉnh s2. Hãy kiểm định giả thuyết H: =o với mức ý nghĩa α.
a. Trường hợp n ≥ 30
Nếu H đúng thì: ~ N(0,1)
P =1 – α
Từ đó ta có quy tắc kiểm định như sau: -Tìm từ hệ thức 2()=1 – α
nhóm 3
-Tính thống kê Zo= Nếu Zo< thì chấp nhận H Nếu Zo> thì bác bỏ H.