Khi nghiên cứu về mối quan hệ thể chế với đối tượng tần suất, chúng tôi tìm thấy các kết quả tương tự trong luận văn Thạc sĩ của Quách Huỳnh Hạnh (2009). Vì thế, chúng tôi tiến hành ghi nhận các kết quả liên quan đối tượng tần suất mà tác giả đã nghiên cứu được nhằm bổ sung và làm rõ hơn trọng tâm nghiên cứu luận văn của mình.
Chương trình toán lớp 10 dành trọn vẹn chương V trình bày nội dung thống kê mô tả. Cấu tạo của chương thống kê ở chương trình Nâng cao :
« Chương V. Thống kê
§1. Một vài khái niệm mở đầu §2. Trình bày một mẫu số liệu
§3. Các số đặc trưng của mẫu số liệu Ôn tập chương V »
(Sách giáo viên 10 Nâng cao (SGV10NC), trang215) Với mục tiêu của chương là :
« Về kiến thức
- Nắm được các khái niệm : tần số, tần suất, bảng phân bố tần số - tần suất, bảng phân bố tần số - tần suất ghép lớp.
- Hiểu được nội dung các biểu đồ tần số, tần suất hình cột, biểu đồ tần suất hình quạt, đường gấp khúc tần số, tần suất.
[…]
Về kĩ năng
Biết trình bày mẫu số liệu dưới dạng một bảng phân bố tần số - tần suất hay bảng phân bố tần số - tần suất ghép lớp (cho trước cách ghép lớp).
Biết vẽ các biểu đồ tần số - tần suất hình cột, biểu đồ tần suất hình quạt, đường gấp khúc tần số - tần suất.
[…]»
(SGV10NC, trang 215)
Trong khi đó, cấu tạo chương ở chương trình Chuẩn có khác biệt đôi chút đề mục các bài. Tuy nhiên, cấu tạo mạch kiến thức hoàn toàn giống với chương trình Nâng cao.
« §1. Bảng phân bố tần số và tần suất §2. Biểu đồ
§3. Số trung bình số trung vị, mốt §4. Phương sai và độ lệch chuẩn Ôn tập chương V »
(Sách giáo viên 10 (SGV10), trang 122)
1. Phần lý thuyết
Về cách tổ chức kiến thức ở chương thống kê ở SGK10NC, Quách Huỳnh Hạnh đánh giá : « Kiến thức được chia làm 3 mạch chính. Mạch thứ nhất là trình bày khái niệm liên quan mẫu số liệu (dấu hiệu điều tra, giá trị, tần số, tần suất). Mạch thứ hai là đề cập đến những số đặc trưng của mẫu số liệu. Mạch thứ ba tập trung vào
những số đặc trưng của mẫu sốliệu (số trung bình, trung vị, mốt, phương sai và độ lệch chuẩn). » (Quách Huỳnh Hạnh (2009), trang 15).
Chúng tôi cũng nhận thấy các mạch kiến thức tương tự trong sách giáo khoa 10. Tần suất của một giá trị trong mẫu số liệu được định nghĩa tường minh trong sách giáo khoa 10 Nâng cao, cụ thể :
« Tần suất của giá trị xi là tỉ số giữa tần số ni và kích thước mẫu N : i i
n f
N
.
Với chú ý là người ta thường viết tần suất dưới dạng phần trăm (%) »
(SGK10NC, trang 162).
Trong khi đó, SGK10 không định nghĩa tần suất nhưng lại mô tả công thức tính thông qua bài toán cụ thể trong ví dụ 2.
« Ví dụ 2
[…] Trong 31 số liệu thống kê trên, giá trị x1 có tần số là 4, do đó chiếm tỉ lệ là
4 12,9% 31 . Tỉ số 4
31 hay 12,9%được gọi là tần suất của giá trị x1. Tương tự các giá trị x x x x2; ; ;3 4 5 lần lượt có tần suất là
7 22,6%; 9 29, 0%; 6 19, 4%; 5 16,1% 31 31 31 31 . » (SGK10, trang 111)
Tần suất của một giá trị trong mẫu số liệu được đề nghị như là tỉ lệ của giá trị đó trong mẫu số liệu và cũng được quan tâm viết dưới dạng phần trăm (%). Định nghĩa chính thức chỉ được xuất hiện trong SGV10.
« Xét lớp thứ i (i=1, 2, 3, 4), ta gọi
Số i i
n f
n
( n là số các số liệu thống kê) là tần suất của lớp thứ i Tần suất thường được viết dưới dạng phần trăm ( i i .100(%)
i n n f n n ) » (SGV10, trang 123)
Về cách biểu diễn các giá trị tần suất, SGK10NC trình bày tần suất ở bảng phân bố tần suất (gọi tắt là bảng phân bố) hoặc bảng phân bố tần suất ghép lớp ( gọi tắt là bảng phân bố ghép lớp). Trong bảng phân bố ở SGK10NC bao giờ cũng có cột tần suất, nên khi gọi tên SGK10NC thương dùng thuật ngữ « bảng phân bố tần số - tần suất hoặc bảng phân bố tần số - tần suất ghép lớp »
Nhận xét về hình thức trình bày, Quách Huỳnh Hạnh (2009) cho rằng :
« Đối với phương pháp dùng bảng, SGK22 đưa ra bảng phân bố tần số - tần
suất. Về hình thức thì không khác gì so với bảng tần số đã học ở lớp 7, tuy nhiên
trong bảng có thêm cột tần suất.
Bảng tần số - tần suất có thể viết dưới dạng “ngang” như trên hoặc dưới dạng “dọc” (chuyển hàng thành cột). »
([2], trang27)
Về lý do đưa vào bảng phân bố, Quách Huỳnh Hạnh nhận định thêm :
« Lí do xuất hiện xuất hiện dạng bảng này được giải thích là “để trình bày mẫu số liệu (theo một tiêu chí nào đó) được gọn gàng, xúc tích, nhất là khi có nhiều số liệu”. Kỹ thuật phân lớp mẫu số liệu không được đề cập đến, toàn bộ các lớp cần phân chia đều được nêu ra sẵn. Phương pháp xác định mỗi số liệu thuộc vào lớp nào hoàn toàn dựa vào kiến thức về tập hợp số. Có thể khái quát như sau :
; ; i i i i x a b a x b x a b a x b ([2], trang 27)
Việc phân lớp được hướng dẫn chi tiết trong SGV10, theo đó, các lớp ghép có đặc điểm như sau :
« Xác định số lượng các lớp được phân (kí hiệu là k), và phân đoạn [a;b] thành k lớp không giao nhau ( là k-1 nửa khoảng và một đoạn). »
(SGV10, trang149)
Tuy nhiên sách giáo khoa không yêu cầu học sinh biết cách tiến hành phân lớp dãy giá trị của dấu hiệu, các ví dụ và các bài tập đều được cho sẵn các lớp ghép
« Không yêu cầu học sinh nhận biết được khi nào lập bảng phân bố ghép lớp, cách phân lớp khi lập bảng loại này. »
(SGV10, trang 122).
Về thao tác lập bảng phân bố ghép lớp, SGK10 nêu ra phương pháp cụ thể như sau :
« Bước 1. Phân lớp
Vì lý do sư phạm không yêu cầu học sinh thực hiện bước này. Do đó, trong tất cả các bài tập, sách giáo khoa đều đã phân sẵn các lớp.
Bước 2. Xác định tần số, tần suất của các lớp. Bước 3. Thành lập bảng. »
(SGV10, trang 124)
Trong khi, thao tác phân lớp trong bảng phân bố ghép lớp chỉ được SGK10NC trình bày thông qua một ví dụ.
Ví dụ 2 trang 163 :
Chọn 36 học sinh nam của một trường THPT và đo chiều cao của họ, ta thu được mẫu số liệu sau (đơn vị : cm)
160 161 161 162 162 162 163 163 163 164 164 164 164 165 165 165 165 165 166 166 166 166 167 167 168 168 168 168 169 169 170 171 171 172 172 174. Ở đây, ta ghép các số liệu trên thành năm lớp theo các đoạn có độ dài bằng nhau. Lớp thứ nhất gồm các học sinh có chiều cao nằm trong khoảng [160; 162], lớp thứ hai gồm các học sinh có chiều cao nằm trong đoạn [163; 165],…Khi đó, ta sẽ có một bảng như sau :
Bảng 4 Bảng 5
([2], trang27)
Trong nhiều trường hợp, ta ghép lớp theo các nửa khoảng sao cho mút bên phải của một nửa khoảng cũng là mút bên trái của nửa khoảng tiếp theo. Chẳng hạn, trong ví dụ 2, ta có thể ghép các số liệu thành năm lớp với các nửa khoảng [159,5; 162,5); [162,5; 165,5); … Ta có bảng sau
Bảng 6 ([2], trang 27)
SGK10NC còn chú ý thêm :
« Trong bảng phân bố tần số tần suất, các giá trị được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.
Tần suất được viết dưới dạng phần trăm. Tổng giá trị ở hàng (cột) tần suất bằng 100 %.
Thông thường trong bảng phân bố tần số ghép lớp, các khoảng (đoạn hoặc nửa khoảng) có độ dài bằng nhau (nhưng không bắt buộc như vậy). »
(SGK10NC, trang219)
Nhận xét về cách phân lớp của bảng phân bố ghép lớp trong SGK10NC ở ví dụ trên, Quách Huỳnh Hạnh bổ sung : « Ta có thể nhận thấy cách phân lớp thứ 2 có sự
liên tục giữa các lớp, tuy nhiên sách giáo khoa không đưa ra lời giải thích về sự khác biệt giữa hai cách phân lớp cũng như ưu nhược điểm của từng cách mà chỉ giới thiệu cả hai như những kiểu chia lớp khác nhau. Thoạt nhìn, thì với sự xuất hiện của bảng phân bố tần số - tần suất ghép lớp có vẻ như học sinh đã có được kỹ thuật trình bày số liệu tốt hơn, các số liệu với số lượng lớn được tổ chức gọn gàng và làm nổi bật đặc trưng của dấu hiệu điều tra. Tuy nhiên, chúng tôi nhận thấy do tất cả các lớp đều luôn luôn được cho sẵn nên công việc còn lại khi lập bảng chỉ là xác định tần số, tần suất_điều này không có gì khác biệt so với lập bảng tần số-tần suất trước đây đã biết ở sách giáo khoa lớp 7. » ([2], trang28)
Đối tượng tần suất còn có mặt trong biểu đồ, bao gồm biểu đồ tần suất hình cột, biểu đồ đường gấp khúc tần suất và biểu đồ tần suất hình quạt. Biểu đồ được đưa vào giảng dạy được giải thích rằng : « để trình bày mẫu số liệu một cách trực quan sinh động, dể nhớ và gây ấn tượng» (SGK10NC, trang165). Trongđó, biểu đồ hình cột được chú ý rằng « là cách thể hiện rất tốt bảng phân bố tần số (hay tần suất) ghép lớp ». Biểu đồ hình quạt được cho rằng : « rất thích hợp cho việc thể hiện bảng phân bố tần suất ghép lớp. » (SGK10NC, trang 166)
Về cách thức vẽ biểu đồ hình cột và biểu đồ đường gấp khúc, SGK10NC cao hướng dẫn cách vẽ sao cho chiều cao các cột tần suất (trong biểu đồ cột) và độ dài của các đoạn (trong biểu đồ đường gấp khúc)bằng tần suất. Trong khi đó, đối với biểu đồ hình quạt, mỗi lớp được tương ứng với một hình quạt mà diện tích của nó tỉ lệ với tần suất của lớp đó.
Cũng tương tự như trên, sách giáo khoa Đại số 10 đã chú ý đến biểu đồ tần suất hình cột, biểu đồ đường gấp khúc tần suất và biểu đồ hình quạt trong bài
§2 Biểu đồ. Ở đây, cách thức vẽ biểu đồ hình cột và biểu đồ đường gấp khúc hoàn toàn tương tự như ở SGK10NC. Ngoài ra, SGV10 còn yêu cầu giáo viên hướng dẫn thêm cho học sinh một số yêu cầu cần đạt như :
« muốn vẽ được biểu đồ tần suất hình cột, cần phải hiểu rõ Cách chọn hệ tọa độ vuông góc, cách vẽ hệ tọa độ đó; Cách tạo lập các hình chữ nhật (các cột) của biểu đồ. »
(SGV10, trang 127)
Tuy nhiên, khác với SGK10NC, SGK10 không yêu cầu học sinh phải biết vẽ biểu đồ hình quạt mà chỉ yêu cầu học sinh đọc được biểu đồ hình quạt.
«[…]Đọc biểuđồ hình quạt »
(SGV10, trang 127)
2. Phần bài tập
Chúng tôi ghi nhận các tổ chức toán học liên quan đến đối tượng tần suất tìm thấy trong luận văn Thạc sĩ của Quách Huỳnh Hạnh (2009) như sau.
TXĐ.TSu : Xác định tần suất của những giá trị của dấu hiệu điều tra
Kỹ thuật τXĐ.TSu :Để tính tần suất fi của một giá trị xi ta lần lượt thực hiện những bước sau :
Bước 1 : Xác định tần số ni của giá trị xi. Bước 2 : Tính fi bằng công thức i i n f N Công nghệ θXĐ.TSu :Định nghĩa tần suất.
Hoạt động 2 Lớp Tần số Tần suất [160;162] 6 16,7% [163;165] 12 33,3% [166;168] 10 … [169;171] 5 … [172;174] 3 … N=36 (Bảng 5, SGK10NC, trang 164)
Hãy điền các số vào chỗ trống (…) ở cột tần suất trong bảng 5
TLB.GL: Lập bảng tần suất ghép lớp
Kỹ thuật τLB.GL : Các bước cần thực hiện để lập bảng phân bố ghép lớp Bước 1. Phân lớp
Vì lý do sư phạm không yêu cầu học sinh thực hiện bước này. Do đó, trong tất cả các bài tập, sách giáo khoa đều đã phân sẵn các lớp.
Bước 2. Xác định tần số, tần suất của các lớp. Bước 3. Thành lập bảng.
Công nghệ θLB.GL : phần hướng dẫn lập bảng ghép lớp (SGV10, trang124)
Ví dụ : Cho bảng phân bố tần số ghép lớp sau
Lớp của độ dài (cm) Tần [10;20) 8 [20;30) 18 [30;40) 24 [40;50] 10 Cộng 60 a) Lập bảng phân bố tần suất ghép lớp b) […] (SGK10, trang 11) TV.HC :Vẽ biểu đồ tần suất hình cột. Kỹ thuật τV.HC:
Công nghệ θV.HC : Khi độ rộng các lớp như nhau thì chiều cao của hình chữ nhật tỷ lệ thuận với tần suất của lớp.
TV.GK :Vẽ đường gấp khúc tần suất
Kỹ thuật :có hai kĩ thuật vẽ đường gấp khúc tần suất như sau : τV.GK1 :
o Lập bảng phân bố tần suất ghép lớp
o Vẽ hệ trục tọa độ, trục tung biểu diễn tần suất, trục hoành biểu diễn các lớp ghép.
o Trên mặt phẳng tọa độ, xác định các điểm (ci; ni), i = 1, 2, 3… trong đó, ci là giá trị đại diện của lớp i
o Vẽ các đoạn thẳng nối điểm (ci; ni) với điểm (ci+1; ni+1), i = 1, 2, 3, … τV.GK2
o Lập bảng phân bố tần suất ghép lớp
o Vẽ biểu đồ tần suất hình cột.
o Đánh dấu các điểm là trung điểm của các đoạn thẳng trên đỉnh của các hình chữ nhật. Vẽ các đoạn thẳng nối các điểm này với nhau.
Công nghệ θV.GK: Phần hướng dẫn vẽ biểu đồ. Ví dụ :Cho bảng phân bố tần suất ghép lớp sau
Lớp nhiệt độ (0C) Tần suất (%) [15; 17) 16,7 [17; 19) 43,3 [19; 21) 36,7 [21; 23] 3,3 Cộng 100(%) Bảng 6
Hãy mô tả bảng 6 bằng cách vẽ biểu đồ tần suất hình cột và đường gấp khúc tần suất. (SGK10, trang 116)
TV.HQ :Vẽ biểu đồ tần suất hình quạt. Kỹ thuật τV.HQ :Thực hiện các bước
o Tính tần suất của từng lớp
o Tínhsố đo góc ở tâm tương ứng với lớp xi theo công thức 360 .0fi
o Vẽ các hình quạt tương ứng với những số đo góc đã tính bên trên.
Công nghệ θ V.HQ : Góc ở tâm của hình quạt tỷ lệ thuận với tần suất của lớp.
Ví dụ :Với mỗi tỉnh, người ta ghi lại số phần trăm trẻ em mới sinh có trọng lượng dưới 2500g. Sau đây là kết quả khảo sát ở 4ỉnh (đơn vị : %)
5,1 5,2 5,2 5,8 6,4 7,3 6,5 6,9 6,6 7,6 8,6 6,5 6,8 5,2 5,1 6,0 4,6 6,9 7,4 7,7 7,0 6,7 6,4 7,4 6,9 5,4 7,0 7,9 8,6 8,1 7,6 7,1 7,9 8,0 8,7 5,9 5,2 6,8 7,7 7,1 6,2 5,4 7,4 […]
c) Vẽ biểu đồ tần suất hình quạt
(SBT10NC, trang 175)
Ngoài các tổ chức toán học tìm thấy trong tài liệu trên, chúng tôi ghi nhận thêm một tổ chức toán học liên quan đến đối tượng tần suất là :
TNX.TSu: Nhận xét tần suất của các giá trị trong mẫu số liệu
Kỹ thuật τNX.Tsu: Nhận xét tỉ lệ các giá trị có tần suất cao nhất; các giá trị có tần suất thấp nhất. Phần đông các giá trị chiếm tỉ lệ cao trong khoảng nào.
Công nghệ θNX.Tsu: Kết quả tần suất của các giá trị trong mẫu số liệu cho dưới dạng bảng phân bố hoặc đồ thị.
Liên quan đến đối tượng tần suất, kiểu nhiệm vụ TNX (nhận xét tần suất các giá trị trong bảng phân bố) chỉ dừng ở mức độ ghi nhận giá trị có tần suất cao nhất, giá trị có tần suất thấp nhất hoặc ngay cả cácgiá trị « số đông » tức là các giá trị chiếm tổng tần suất cao nhất. Rất tiếc là người ta không đi sâu hơn trong hoạt động (chẳng hạn, tổ chức mở rộng điều tra bằng việc tăng kích thước mẫu, yêu cầu học sinh quan sát sự thay đổi của tần suất, từ đó nhận ra ý nghĩa của tần suất như là công cụ để hình thành khái niệm xác suất)
Chúng tôi tiến hành thống kê các kiểu nhiệm vụ liên quan đến đối tượng tần suất ở cả hai chương trình Chuẩn và chương trình nâng cao trong bảng sau.
Kiểu nhiệm vụ
Chương trình chuẩn Chương trình nâng cao
Lý thuyết Bài tập SGK Bài tập SBT Cộng Lý thuyết Bài tập SGK Bài tập SBT Cộng T1 TV.HQ 1 1 2 TV.HC 1 3 2 6 1 2 1 4 TV.GK 1 3 3 7 1 1 2 T2 TNX.TSu 1 8 9 2 2 T3 TT.TSu 1 1 1 3 2 1 1 4 TLB.GL 1 6 9 16 5 4 9 Tổng cộng 4 14 23 41 4 9 10 23
Chúng tôi chia các kiểu nhiệm vụ trong bảng trên thành 3 nhóm. Nhóm 1 là kiểu nhiệm vụ nhận xét giá trị tần suất có được ở biểu đồ tần suất hoặc ở bảng phân bố ghép lớp mà chúng tôi đặt tên là T1. Nhóm 2 gồm các kiểu nhiệm vụ liên quan biểu đồ tần suất, nhóm này có tên là T2. Nhóm 3 gồm các kiểu nhiệm vụ tính tần suất mà chúng tôi đặt tên là T3. Số lượng bài tập của mỗi nhóm cho bởi bảng sau.
Nhóm
Chương trình chuẩn Chương trình nâng cao
Số lượng Tỉ lệ Số lượng Tỉ lệ