Tính chất cơ bản - nhóm con c chuẩn tắc và ứng dụn- 123docz.net

Cho G là một nhóm. Khi đó:

(1) Nếu H là nhóm con chuẩn tắc của G thì H là nhóm con c-chuẩn tắc của G. (2) G là nhóm c-đơn khi và chỉ khi G là nhóm đơn.

(3) Nếu H là nhóm con c-chuẩn tắc của G, H ≤K ≤G thì H là nhóm con c-chuẩn tắc của K.

(4) Cho KG K, .≤H Khi đó, H là nhóm con c-chuẩn tắc của G khi và chỉ khi H K là

nhóm con c-chuẩn tắc của GK.

Chứng minh.

Rõ ràng HG=G H, .G=H =HG Do đó, H là nhóm con c-chuẩn tắc của G.

(2)Giả sử G là nhóm c-đơn nhưng G không là nhóm đơn. Khi đó, tồn tại N là nhóm con chuẩn tắc thực sự của G. Theo (1), N là nhóm con c-chuẩn tắc thực sự của G. Điều này mâu thuẫn với giả thiết G là nhóm c-đơn.

Ngược lại, nếu G là nhóm đơn. Giả sử G không là nhóm c-đơn. Khi đó tồn tại H là nhóm con c-chuẩn tắc thực sự của G. Theo định nghĩa, tồn tại NG sao cho HN =G. Vì H ≠G

nên N ≠1, do đó N =G.

Mặt khác, H =HG=HN≤HG, vì vậy H =HGG. Điều này mâu thuẫn với giả thiết G là nhóm đơn.

(3)H là nhóm con c-chuẩn tắc của G nên tồn tại NG sao cho HN =G, . G HN ≤H Rõ ràng, K =KG=KHN =H K( N). Đặt N′ =KN thì N′K. Khi đó, HN′=K H, .N′=H K N =(HN)K ≤HGK ≤HK

Do đó, H là nhóm con c-chuẩn tắc của K.

(4)Giả sử H là nhóm con c-chuẩn tắc của G. Khi đó tồn tại NG sao cho , .G HN =G HN ≤H Do đó, ( )( ), .( ) ( ) ( ) G K G H N H N H K = K K K  K ≤ K Vậy H K là

nhóm con c-chuẩn tắc của GK. Tương tự, nếu H

K là nhóm con c-chuẩn tắc của G

K thì H là nhóm con c-chuẩn tắc của G.

Bổ đề 2.2.2.

Cho G là một nhóm hữu hạn. Khi đó: (1) p( )

35 (2) s( ) G Φ là nhóm lũy linh. (3) Nếu p là số lớn nhất trong ( p( )) S G π thì p( ) S G là p-đóng. (4) s( ) S G có một tháp Sylow. Chứng minh. (1)Nếu p( ) G G

Φ = thì F p = ∅. Khi đó với P∈Sylp( )G mà P/ G thì NG( )P là nhóm con thực sự của G. Vì vậy, tồn tại M < ⋅G sao cho NG( )P ≤M < ⋅ .G Do đó, p

M ∈F . Điều này mâu thuẫn với F p = ∅. Vậy PG.

Nếu p( )

G G

Φ ≠ thì F p ≠ ∅ . Khi đó tồn tại p

M∈F , tức là tồn tại P∈Sylp( )G sao cho

( ) .

N P ≤M

Đặt 1 ( )

P =PΦ G thì P1∈Sylp(Φp( )G ). Nếu P1/ G thì NG( )P1 là nhóm con thực sự của G nên tồn tại M′ < ⋅G sao cho NG( )P1 ≤M′.

Rõ ràng 1 ( )

P =PΦ G là nhóm con chuẩn tắc của NG( )P . Suy ra NG( )P ≤NG( )P1 ≤M′< ⋅ .G

Do đó M′∈F p.

Vậy nên Φp( )G ≤M′∈F p.

Theo bổ đề Frattini, G= Φp( )G N. G( )P1 ≤M′< ⋅G. Điều này vô lý. Vậy P1G. Do đó P1Φp( )G . (2) s( ) { : } : ( ) ( ){ : } ( ) p( ). p G p G p G s p p G M M M M M M G π π π ∈ ∈ ∈   Φ = ∈ =  ∈ = ∈ = Φ    F   F  F  Theo (1), p( ) G Φ là p-đóng với mọi p∈π( )G . Do đó s( ) G Φ là p-đóng với mọi p∈π( )G . Vậy s( ) G Φ là nhóm lũy linh.

36 (3)Nếu p( )

S G =G thì F pc = ∅. Khi đó với P∈Sylp( )G mà P/ G thì NG( )P là nhóm con thực sự của G. Vì vậy, tồn tại M < ⋅G sao cho NG( )P ≤M < ⋅ .G Do đó, M ∈F p.

Giả sử G M: =q là một số nguyên tố thì theo định lý Sylow, tất cả các p-nhóm con Sylow của G là liên hợp của P trong G nên G N: G( ) (P ≡1 mod p). Vì P≤NG( )P ≤M nên P cũng là p-nhóm con Sylow của M. Lập luận tương tự ta có M N: G( ) (P ≡1 mod p). Suy ra

( )

: 1 mod .

G M ≡ p Do đó, q≡1 mod( p). Hayq> p. Điều này mâu thuẫn với giả thiết p là số nguyên tố lớn nhất. Vì vậy, G M: là hợp số nên M∈F pc. Mâu thuẫn với F pc = ∅. Vậy

PG

Nếu p( )

S G ≠G thì F pc ≠ ∅ . Khi đó tồn tại M∈F pc, tức là tồn tại P∈Sylp( )G sao cho

( )

N P ≤M và G M: là hợp số.

Đặt 1 ( )

P =PS G thì P1∈Sylp(Sp( )G ). Nếu P1/ G thì NG( )P1 là nhóm con thực sự của G nên tồn tại M′ < ⋅G sao cho NG( )P1 ≤M′.

Rõ ràng 1 ( )

P =PS G là nhóm con chuẩn tắc của NG( )P . Suy ra NG( )P ≤NG( )P1 ≤M′< ⋅ .G Do đó M′∈F p. Theo bổ đề Frattini, G=Sp( ) ( )G N. G P1 =Sp( )G M. ′. Suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . . : : . p p p p p S G M S G M G M S G S G M M S G M M ′ ′ ′ = = = ′ ′ ′ ′   . Vậy G M: ′ Sp( )G .

Giả sử G M: ′ =q là một số nguyên tố thì q≡1 mod( p). Điều này mâu thuẫn với giả thiết p là số lớn nhất trong ( p( ))

S G

π . Vậy nên Sp( )G ≤M′∈F pc.

Suy ra, G=Sp( )G N. G( )P1 ≤M′< ⋅G. Điều này vô lý. Vậy P1G. Do đó P1Sp( )G . (4) Ta có s( ) s( ) S G ≤ Φ G , mà s( ) G Φ là nhóm lũy linh do đó s( ) S G là nhóm lũy linh. Vì vậy, s( ) S G có một tháp Sylow. Bổ đề 2.2.3.

Cho G là một nhóm hữu hạn. Khi đó:

(1) G là nhóm lũy linh khi và chỉ khi G= Φs( )G .

(2) G là nhóm lũy linh khi và chỉ khi M là nhóm con chuẩn tắc của G với mọi M∈F s.

(3) G là nhóm lũy linh khi và chỉ khi G

N là nhóm lũy linh với N là nhóm con chuẩn tắc của G nằm trong Φs( )G . Chứng minh. (1) s( ) G= Φ G khi và chỉ khi F s = ∅. ( ) G N P G

⇔ = với mọi P∈Sylp( )G , .p∈π( )G

P G

⇔  với mọi P∈Sylp( )G .

⇔ G là nhóm lũy linh.

(2)Giả sử G là nhóm lũy linh. M là nhóm con tối đại của G. Khi đó, NG( )M ≠M. Vậy nên

( ) .

M <N M ≤G Do tính tối đại của M nên NG( )M =G. Do đó mọi nhóm con tối đại M của G đều là nhóm con chuẩn tắc của G. Vậy M là nhóm con chuẩn tắc của G với mọi M∈F s.

Ngược lại, giả sử M là nhóm con chuẩn tắc của G với mọi M∈F s. Vì s

M∈F nên tồn tại p∈π( )G P, ∈Sylp( )G sao cho NG( )P ≤M. Do đó, P∈Sylp( )M . Theo bổ đề Frattini,

( )

. G .

G=M N P ≤M < ⋅G Điều này vô lý. Vậy F s = ∅. Hay G= Φs( )G . Theo (1), G là

(3)Giả sử G là nhóm lũy linh. Vì nhóm thương của nhóm lũy linh là nhóm lũy linh nên

N là nhóm lũy linh. Ngược lại, giả sử G

N là nhóm lũy linh và M là nhóm con tối đại của G. Khi đó, M N là

nhóm con tối đại của G

N nên M N là nhóm con chuẩn tắc của GN. Vậy M là nhóm con chuẩn tắc của G. Do đó, G là nhóm lũy linh.

Bổ đề 2.2.4.

Cho G là một nhóm hữu hạn. Khi đó:

(1) G là nhóm siêu giải được khi và chỉ khi G M: là số nguyên tố với mọi M∈F s.

(2) G là nhóm siêu giải được khi và chỉ khi G=Ss( )G .

(3) G là nhóm siêu giải được khi và chỉ khiG

N là nhóm siêu giải được với N là nhóm con chuẩn tắc của G nằm trong Ss( )G .

Chứng minh.

(1) Giả sử G là nhóm siêu giải được, M là một nhóm con tối đại của G. Nếu M G thì G

M là nhóm siêu giải được. Do M là nhóm con tối đại của G nên G M là

nhóm đơn. Vậy G

M là nhóm cyclic cấp nguyên tố. Do đó G M: là số nguyên tố. Nếu M không phải là nhóm con chuẩn tắc của G. Giả sử MG ≠1, khi đó

M là nhóm có cấp nhỏ hơn cấp G. Do đó, bằng quy nạp theo G ta có :

G G

G M

M M là số nguyên tố. Vậy G M: là số nguyên tố.

Nếu MG =1, vì G là nhóm siêu giải được hữu hạn nên theo ĐỊNH LÝ 1.8.11. tồn tại

Mặt khác, KM ≤M , MG là nhóm con chuẩn tắc tối đại của G chứa trong M nên 1.

KM ≤M = Do đó M là nhóm con thực sự của KM. Do tính tối đại của M nên KM =G. Ta có G M: = KM M: = K K: M = K là một số nguyên tố.

Vậy mọi nhóm con tối đại của G đều có chỉ số nguyên tố trong G. Do đó G M: là số nguyên tố với mọi M∈F s.

Ngược lại, giả sử G M: là số nguyên tố với mọi M∈F s. Trước tiên, ta chứng minh G là nhóm giải được.

Gọi N là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G, p là ước nguyên tố lớn nhất của N và P là p-nhóm con Sylow của N.

Nếu NG( )P là nhóm con thực sự của G thì tồn tại nhóm con tối đại M của G sao cho

( ) .

N P ≤M Vậy M∈F p ⊂F s. Theo giả thiết, G M: =q với q là số nguyên tố. Theo bổ đề Frattini, G=N N. G( )P =NM. Ta có G M: NM N N N: M. M N M = = =   Do đó G M N: . Hay q≤ p.

Theo định lý Sylow, tất cả các p-nhóm con Sylow của G đều liên hợp với P trong G nên

( ) ( ) : G 1 mod .

G N P ≡ p Vì P≤NG( )P ≤M nên P cũng là p-nhóm con Sylow của M. Lập luận tương tự ta có M N: G( ) (P ≡1 mod p). Suy ra G M: ≡1 mod( p). Do đó, q≡1 mod( p). Hayq> p. Vô lý.

Vậy NG( )P =G. Hay PG.

Bằng phương pháp quy nạp theo G ta cóG

P là nhóm giải được. P là p-nhóm nên P giải được. Vậy G là nhóm giải được.

Ta chứng minh G là nhóm siêu giải được bằng phương pháp quy nạp theo G. Gọi N là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G. M

N là nhóm con tối đại của G

N khi và chỉ khi M là nhóm con tối đại của G và N ≤M. Ta có GN:M N = G M: là một số nguyên tố. Theo giả thiết quy nạp,G

N là nhóm siêu giải được.

Nếu tồn tại K là một nhóm con chuẩn tắc tối tiểu khác của G, K ≠ N. Vì GK,GN là nhóm siêu giải được nên G

KN là nhóm siêu giải được. Mặt khác, KN=1. Vậy G là nhóm siêu giải được.

Nếu N là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu duy nhất của G. Vì G là nhóm giải được hữu hạn nên N là p-nhóm con Aben cơ bản của G. Do đó N là nhóm con chuẩn tắc lũy linh của G. Suy ra N ≤F G( ).

Nếu tồn tại q là một ước nguyên tố của F G( ), .q≠ p Gọi Q là một q-nhóm con Sylow của F(G). Do tính lũy linh của F(G) nên Q là q-nhóm con Sylow duy nhất của F(G). Suy ra

( ) .

Q char F G Mà F G( )G nên QG. Vậy G có một q-nhóm con chuẩn tắc, do đó tồn tại một q-nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G, mâu thuẫn. Vậy F(G) là p-nhóm.

Nếu N≤ Φ/ ( )G thì tồn tại nhóm con tối đại M của G sao cho N ≤/M. Do đó, G=MN. Rõ ràng M N N M,  N M.

Vậy M  N G.

Do tính tối tiểu của N nên M N =1. Suy ra N = G M: là một số nguyên tố. Do đó N là nhóm cyclic. Vậy G là nhóm siêu giải được.

Nếu N ≤ Φ( )G thì ( ) ( ) ( ) G N G G G N Φ Φ     

 là nhóm siêu giải được. Theo ĐỊNH LÝ

1.8.14. G là nhóm siêu giải được.

Vậy G là nhóm siêu giải được khi và chỉ khi G=Ss( )G .

(3)Vì nhóm thương của một nhóm siêu giải được là một nhóm siêu giải được nên nếu G là nhóm siêu giải được thì G

N là nhóm siêu giải được. Ngược lại, nếu G

N là nhóm siêu giải được và M∈F s. Khi đó, M

N là nhóm con tối đại của G .

N Do đó, G M: G :M

N N

= là số nguyên tố. Vậy theo (1), G là nhóm siêu giải được.

Bổ đề 2.2.5.

Cho G là nhóm hữu hạn. Nếu N là nhóm con chuẩn tắc của nhóm G và M là nhóm con tối đại của G sao cho N ≤M thì (G :M ) (G M: ).

N N η =η Chứng minh. Giả sử ( ) ( ) X N Y N là thương chính của G

N , trong đó X là nhóm tối tiểu thỏa ( )( )X M G .

N N = N Theo định nghĩa, (G :M ) X .

N N Y

η =

Giả sử H ≤ X là nhóm tối tiểu trong tập phần bù chuẩn tắc của M trong G. Khi đó, ,

HN ≤X HN G và ( )HN M =G. Do tính tối tiểu của X ta có HN= X. Mặt khác, N≤Y

nên HY = X. Gọi H

K là thương chính của G với HY ≤K. Khi đó η(G M: )= HK . Vì Y ≤KY < X

và KYG nên KY =Y và K =HY. Suy ra H K = XY . Hay η(GN:M N)=η(G M: ).