Nhóm con Frattini

Định nghĩa 1.7.1.

Cho G là một nhóm. Khi đó giao của tất cả các nhóm con tối đại của G (nếu có) được gọi là nhóm con Frattini của G, được ký hiệu là Φ( )G .

Nhận xét:

Nhóm con Frattini luôn tồn tại trong một nhóm hữu hạn bất kỳ. Nếu G là nhóm không có bất kỳ nhóm con tối đại nào thì ta quy ước Φ( )G =G.

Mệnh đề 1.7.2.

Cho G là một nhóm. Khi đó Φ( )G char G , do đó Φ( )G G.

Chứng minh.

Nếu G không có bất kỳ nhóm con tối đại nào thì mệnh đề hiển nhiên đúng. Giả sử trong G có các nhóm con tối đại. Gọi ( )Mi i I∈

25 Khi đó, với ( ) 1( )

, i

Aut G M

ϕ∈ ϕ− cũng là nhóm con tối đại của G với ∀ ∈i I, do đó

( ) 1( ) , . i G ϕ− M i I Φ ⊆ ∀ ∈ Vậy nên, ( ) 1( ) 1( ( )) . i i I G ϕ− M ϕ− G ∈ Φ ⊆  = Φ Suy ra ϕ(Φ( )G )⊆ Φ( )G ,∀ ∈ϕ Aut G( ). Do đó, Φ( )G char G . Định nghĩa 1.7.3.

Một phần tử x∈G được gọi là phần tử không sinh của G nếu nó có thể được bỏ đi trong bất kỳ một tập sinh nào đó của G, nghĩa là nếu G= x Y, thì G= Y .

Định lý 1.7.4.

Cho G là một nhóm. Khi đó Φ( )G

chính là tập hợp tất cả các phần tử không sinh của G. Chứng minh.

Giả sử x∈G là phần tử không sinh của G và M một nhóm con tối đại bất kỳ của G. Khi đó nếu x∉M thì G= x M, =M. Điều này vô lý. Vậyx∈M với mọi nhóm con tối đại M của G. Do đó x∈Φ( )G .

Ngược lại, giả sử z∈Φ( )G

và G= z Y, .

Nếu Y ≠G thì tồn tại nhóm con tối đại M của G sao cho Y ≤M.

Mặt khác z∈M, do đó z Y, ≤M. Điều này vô lý. Vậy z là phần tử không sinh của G.

Định lý 1.7.5.

Nếu G là một nhóm hữu hạn thì Φ( )G là nhóm con lũy linh của G.

26

Gọi P là p-nhóm con Sylow bất kỳ của Φ( )G . Khi đó, do Φ( )G G nên theo bổ đề Frattini ta có G= Φ( ) ( )G NG P .

Nếu P/ Φ( )G thì NG( )P

là nhóm con thực sự của G. Do đó tồn tại nhóm con tối đại M của G sao cho NG( )P ≤M.

Vậy G= Φ( ) ( )G NG P ≤M <G. Điều này mâu thuẫn.

Suy ra PΦ( )G . Hay mọi nhóm con Sylow trong Φ( )G đều chuẩn tắc. Vậy Φ( )G

là nhóm lũy linh.

Định nghĩa 1.7.6.

Nhóm con sinh bởi tất cả các nhóm con lũy linh chuẩn tắc của G được gọi là nhóm con Fitting của G. Ký hiệu là F G( ).

Nhận xét:

Nếu G là nhóm hữu hạn thì F(G) là nhóm con lũy linh chuẩn tắc tối đại duy nhất của G và F(G) char G. Mệnh đề 1.7.7. Cho G là một nhóm. Khi đó: i) F G( )G ii) F G char G( ) iii) Φ( )G ≤F G( )