Giả sử ri: 0,[ ] [ ]T → 0,h là các hàm liên tục i=1,2,…,p; 0 [ ]
: h, 0 U
ϕ − → liên tục mạnh. U là lân cận mở của gốc trong Eσ và hàm đa trị
[ ]
: 0, p
F T ×U →E
có giá trị lồi, khác rỗng, * ( ,E E )
σ - compact. Ta xét bao hàm thức vi phân có chậm sau: (2.6) x t( ) F t x t( , ( r t1( )), (x t r t2( )),..., (x t r tp( ))) • ∈ − − − , với t∈[ ]0,T , (2.7) 0 ( ) ( ) xθ =ϕ θ , với θ∈ −[ h, 0]
Hệ quả 2.2. Giả sử rằng Γ: 0,[ ]T →2E là một đa hàm khả tích với * ( ,E E )
σ lồi
khác rỗng – giá trị compact trong E và F: 0,[ ]T ×Up →2E là một hàm đa trị với
* ( ,E E )
σ lồi, khác rỗng – giá trị compact trong E thỏa mãn các điều kiện sau (i) Với mọi t∈[ ]0,T , với mọi 1 2
( ,x x ,....,xp)∈Up,
1 2
( , , ,...., p) ( )
F t x x x ⊂ Γ t
(ii) Với mọi 1 2
( , ,...., p) p
x x x ∈U , 1 2
( , , ,...., p)
F ⋅ x x x là hàm đa trị đo được trên [ ]0,T ;
44
(iii) Với mọi t∈[ ]0,T , F t( , )⋅ là hàm đa trị nửa liên tục trên từ p
U vào Eσ
Khi đó bao hàm thức vi phân (2.6)-(2.7) có nghiệm địa phương trên
[−h T, 0]với T0∈[ ]0,T .
Chứng minh.
Để chứng minh điều này, cần xét tập
[ ] [( ]) { E , 0 : , 0 } D= ϕ∈C −h ϕ −h ⊂U Và định nghĩa một đa hàm G: 0,[ ]T × →D 2E ( ), ( , ( 1( )), ( 2( )),..., ( p( ))) G t ϕ =F t ϕ −r t ϕ −r t ϕ −r t . Kết quả được dẫn ra trực tiếp từ Định lý 2.1.
45
Chương 3. TÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNH CỦA TẬP NGHIỆM CỦA BAO HÀM THỨC VI PHÂN
3.1. Mở đầu
Trong chương này, chúng tôi đề cập đến một số tính chất của tập nghiệm Caratheodory đối với một bao hàm thức vi phân (FDI) phụ thuộc tham số dưới dạng
( ) ( , ,t )
x t• ∈G t x ξ , t∈[ ]0,T ,
( ) ( )
x t =ϕ t , t∈ −[ h, 0].
Chúng tôi sẽ chỉ ra rằng với những giả thiết về tính liên tục và tính lồi phù hợp trên một đa hàm G, tập hợp của tất cả các nghiệm của bao hàm thức vi phân trên đây là một hàm đa trị nửa liên tục trên theo giá trị ban đầu ϕ và tham số ξ , với giá trị compact khác rỗng trong CEσ[−h T, ]. Đối với các bao hàm thức vi phân thường, tính chất topo của tập nghiệm đã được nghiên cứu mở rộng trong những năm gần đây. Tuy nhiên, một vài trường hợp được biết đến của bao hàm thức vi phân và các kết quả được rút ra chỉ ứng với các FDI trong không gian có số chiều hữu hạn. Trong chương này, chúng tôi xem xét các bao hàm thức vi phân tổng quát trong không gian Banach. Ứng dụng kết quả thu được, chúng tôi xem xét một vấn đề điều khiển tối ưu đối với một hệ động lực được mô tả bởi một phương trình vi phân, sự tồn tại của nghiệm tối ưu và tính liên tục của hàm tương ứng Bellman sẽ được chứng minh.
Xuyên suốt chương này, E là không gian Banach khả ly với chuẩn . và với đối ngẫu mạnh *
E , Eσ và *
s
E là không gian E và E* kết hợp với topo yếu
( *) , E E σ và ( * ) , E E
σ . Không gian Banach của tất cả các toán tử tuyến tính từ E vào E được kí hiệu là L E( ). Với a b, ∈R, CE( )a b, và CEσ ( )a b, dùng để kí hiệu các không gian của các hàm liên tục từ [ ]a b, vào E và Eσ, cùng với topo hội tụ đều. Rõ ràng CE( )a b, ⊂CEσ ( )a b, . Không gian CE( )a b, kết hợp với topo cảm sinh hội tụ đều của CEσ ( )a b, được kí hiệu là CEσ( )a b, . Không gian của tất cá các hàm khả tích Bochner từ [ ]a b, vào E được kí hiệu là 1 ( )
,
E
46 ( ) ( ) *( ) ' 1 , , s E E
L a b =L∞ a b , kí hiệu này dùng để chỉ không gian các hàm đo được bị chặn từ [ ]a b, vào *
s
E . Để tiện giản, chúng tôi sẽ bỏ qua việc định nghĩa khoảng ( )a b, trong các kí hiệu trên đây của các không gian hàm khi không cần thiết. Cuối cùng, đặt Γ( )t là một hàm đa trị đo được từ [ ]0,T vào E, khi đó chúng tôi sẽ dùng kí hiệu SΓ để chỉ tất cả các tập đo được của Γ.