Định lý 1.16. Giả sử T là không gian topo, E là không gian lồi địa phương Hausdorff, và Γ là hàm đa trị từ T đến những tập con khác rỗng của E. Giả sử Γ( )to compact yếu và lồi. Khi đó Γ là nửa liên tục trên yếu tại to nếu và chỉ nếu những hàm vô hướng *
(x (.))
δ Γ là n.l.t.t tại to.
Chú ý. Ta nói rằng Γ là n.l.t.t tại to nếu mọi tập mở U chứa Γ( )to , tồn tại một lân cận V của to sao cho t∈V kéo theo Γ ∈( )t U .
Chứng minh. 1) Nếu Γ là n.l.t.t tại tovà * * (x ( )) (to ) α δ> Γ α∈ , đặt * { / , } U = x∈E x x <α .
Tồn tại một lân cận V của to sao cho Γ ∈( )t U với mọi t∈V. Do đó
* * (x ( ))t δ Γ ≤α. 2) Giả sử tất cả * (x (.)) δ Γ là n.l.t.t. Nếu Γ( )to = ∅ thì * (0 ( ))to δ Γ = −∞, và chọn t sao cho * (0 ( ))t 0, ( )t δ Γ < Γ = ∅. Do đó Γ là n.l.t.t tại to. Ta giả sử ( )to Γ ≠ ∅. Cho xo∈ Γ( )to . Xét Γ′( )t = Γ( )t −xo. Ta có
21
* * * * *
(x ( ))t x x, o (x ( ))t
δ Γ′ = − +δ Γ .
Ta có thể giả sử 0∈Γ( )to . Cho U là tập mở yếu chứa Γ( )to . Tồn tại lân cận lồi đóng của 0, V, sao cho Γ( )to + ⊂V U . Có thể giả sử V là cực của tập con hữu hạn của *
E .
Bởi vì Γ( )to là compact nên tồn tại x x1, 2,...,xn∈ Γ( )to sao cho 1 2
i
x + V bao phủ Γ( )to . Cho A=co{ ,x x1 2,...,xn}+V . Khi đó A là đóng và A⊂U .
Ta có thể giả sử 0∈co{ ,x x1 2,...,xn} (bởi vì 0∈Γ( )to ), khi đó o
A là tập đa diện hữu hạn chiều được chứa trong o
V : * * * 1 2 co{ , ,..., } o k A = x x x . Từ ( ) { ,1 2,..., } 1 2 o n t co x x x V A U Γ ⊂ + ⊂ ⊂ suy ra *( * ( )) sup *( * 1 ) *( * ) 1 2 j o j i j i x t x x V x A δ Γ ≤ δ + <δ ≤ .
Cho V là một lân cận của to sao cho
* *
(xj ( ))t 1 t V j, 1,...,k
δ Γ ≤ ∀ ∈ =
Khi đó Γ( )t ⊂ ⊂A U ∀ ∈t V .
Định lý 1.17. Giả sử T là không gian topo, là E không gian lồi địa phương Hausdorff, và Γ là hàm đa trị từ T đến những tập con lồi bị chặn hoàn toàn của E. Giả sử ( )
t T
t
∈ Γ
bị chặn hoàn toàn. Khi đó Γ là n.l.t.d tại to nếu và chỉ nếu những hàm vô hướng *
(x (.))
22
Chú ý. Ta nói rằng Γ là n.l.t.d tại to nếu mọi tập mở U mà U ∩ Γ( )to ≠ ∅, tồn tại một lân cận V của to sao cho U ∩ Γ( )t ≠ ∅ ∀ ∈t V .
Chứng minh. 1) Giả sử Γ là n.l.t.d tại to. Nếu * * (x ( )) (to ) α δ< Γ α∈ thì Γ( )to ∩ ≠ ∅U với * { / , }
U = x x x >α . Khi đó nếu t nằm trong một lân cận của tothì
( )t U
Γ ∩ ≠ ∅, và * *
(x ( ))t
δ Γ >α . Nếu * *
(x ( ))to
δ Γ = −∞ (điều đó xảy ra nếu ( )to Γ = ∅) thì * * (x (.)) δ Γ vẫn n.l.t.d tại to. 2) Bây giờ ta giả sử tất cả * * (x (.)) δ Γ là n.l.t.d. Ta có thể giả sử Γ( )to ≠ ∅
(nếu ngược lại thì hiển nhiên Γ là n.l.t.d.). Cho tập mở U mà U ∩ Γ( )to ≠ ∅. Như trong định lý 1.16 ta có thể giả sử 0∈ ∩ ΓU ( )to . Ta cũng giả sử rằng U
là tập mở lồi.
Nếu định lý sai thì tồn tại một dãy suy rộng ( )tα hội tụ đến to, sao cho ( )tα U
Γ ∩ = ∅. Bởi Hahn – Banach tồn tại * *
xα ∈E sao cho *
xα nhận giá trị nhỏ hơn hoặc bằng −1 trong Γ( )tα và nhận giá trị ≥ −1trong U . Do đó * o
xα ∈U
(đặc biệt nếu ta định nghĩa o
U như là * *
{x /∀ ∈x U, x x, ≥ −1}) và
* *
(xα ( ))tα 1
δ Γ ≤ − . Như vậy o
U là đồng liên tục nó là compact đối với topo hội tụ đều trong những tập bị chặn hoàn toàn của E. Cho z* là điểm tụ của *
(xα)
đối với topo này.Từ 0∈Γ( )to suy ra * *
(z ( ))to 0 δ Γ ≥ . Cho * xβ đủ gần * z , từ giả thiết ( ) t T t ∈ Γ hoàn toàn bị chặn ta có * * * * 1 , ( ( )) ( ( )) 2 t δ z t δ xβ t ∀ Γ ≤ Γ + .
23
Nhưng với mỗi α tồn tại β α≥ sao cho *
xβ thuộc vào một lân cận được cho trước của *
z . Vì vậy * * * * 1 1 ( ( )) ( ( )) 2 2 z tβ xβ tβ δ Γ ≤δ Γ + ≤ − .
Điều này là không thể bởi vì * *
(z (.))
δ Γ là n.l.t.d tại to.
Hệ quả 1.3. Giả sử T là không gian topo, E là không gian lồi địa phương Hausdorff, và Γ là ánh xạ từ T đến những tập con compact lồi khác trống của E. Giả sử rằng mỗi to∈T có một lân cận V sao cho ( )
t V
t
∈ Γ
chứa trong một tập compact. Khi đó nếu những hàm tựa * *
(x (.))
δ Γ là liên tục, thì Γ là liên tục đối với topo Hausdorff.
Chứng minh.
Gọi K là tập compact chứa ( )
t V
t
∈ Γ
. Cho U là tập mở. Khi đó U∩K là tập mở yếu, và bởi định lý 1.16, {t V∈ / ( )Γ ⊂t U} là mở. Nếu Θ là một tập mở, bởi định lý 1.16, thì {t∈V / ( )Γ ∩ Θt } là mở. Theo chú ý 2 của định lý 1.9, Γ
là liên tục trên V đối với topo Hausdorff.
Hệ quả 1.4. Giả sử T là không gian topo, và Γ là ánh xạ từ T đến những tập con compact lồi khác trống của n. Khi đó nếu những hàm tựa * *
(x (.)) δ Γ là liên tục, thì Γ liên tục. Chứng minh. Cho * * * 1 2 { ,e e ,..., }en là cơ sở của *
(n) . Khi đó nếu to∈T thì tồn tại một lân cận của to, V, sao cho hàm * *
(ei (.))
δ Γ và * *
( ei (.))
24 Do đó ( ) t V t ∈ Γ là bị chặn. Vì vậy ta có thể áp dụng hệ quả 1.3.
Hệ quả 1.5. Giả sử không gian topo T là compact địa phương hoặc metric hóa được, E là không gian lồi địa phương Hausdorff, và Γ là ánh xạ từ T
đến những tập con lồi compact yếu khác trống của E. Khi đó nếu những hàm tựa * *
(x (.))
δ Γ là liên tục, thì Γ là liên tục đối với topo Hausdorff tương ứng
với *
( ,E E )
σ . Ngoài ra nếu E là Montel, thì Γ là liên tục đối với topo Hausdorff.
Chứng minh.
1) Do định lý 1.16, Γ là n.l.t.d. đối với topo yếu. Nếu T là compact địa phương ta có thể giả sử T là compact. Nếu T là metric hóa được thì nó là đủ để chứng minh những tính chất liên tục trên những tập như { , /t tn n∈} trong đó tn →t (bởi vì Γ là n.l.t.d tại t (tương ứng n.l.t.t.)) ⇔ ∀( )tn hội tụ đến t
và V mở U , nếu Γ( )t ∩ ≠ ∅U (tương ứng Γ( )t ⊂U ), thì với n đủ lớn ( )tn U
Γ ∩ ≠ ∅ (tương ứng Γ( )tn ⊂U ). Do đó ta luôn có thể giả sử T compact. Bởi một định lý của Berge (định lý 1.18 bên dưới) ( )
t V
t
∈ Γ
là compact yếu. Khi đó bởi định lý 1.17, Γ là n.l.t.d.
Cuối cùng nếu E được trang bị cấu trúc đều Hausdorff yếu, thì Γ là liên tục theo chú ý 2 của định lý 1.9.
2) Nếu E là không gian Montel, thì tập ( )
t V
t
∈ Γ
trong phần thứ nhất là compact đối với topo mạnh của E. Do đó Γ là n.l.t.d đối với topo mạnh (bởi vì nếu U mở thì U ( Γ( ))t cũng là mở yếu). Và Γ là n.l.t.d đối với topo mạnh bởi định lý 1.17.
25
Định lý 1.18. (Berge) _ Giả sử T là không gian compact, E là không gian Haudorff, và Γ là hàm đa trị tử T đến những tập compact của E. Khi đó nếu
Γ là n.l.t.t thì tập ( ) t T t ∈ Γ là compact. Chứng minh. Cho (Ui i I)∈ là họ những tập phủ mở ( ) t T t ∈ Γ
. Mỗi Γ( )t là được phủ bởi một tập mở Vt, với Vt là hợp của một họ con hữu hạn của (Ui). Tập
{ / ( ) }
Tθ = t Γ ∈t Vθ chứa θ và là mở. Do đó ( )Tθ θ∈Tphủ T . Nhưng T compact, nên tồn tại θ θ1, 2,...,θn sao cho
1 ... n T =Tθ Tθ . Khi đó ( ) t T t ∈ Γ
được chứa trong 1 ...
n
Vθ Vθ . Điều đó kết thúc chứng minh.