4. Phương pháp nghiên cứu
1.3.3Bất đẳng thức trong SGK10
Định nghĩa và tính chất của bất đẳng thức chính thức được đưa vào từ lớp 8. SGK10NC định nghĩa lại dưới dạng mệnh đề toán học, đồng thời ôn tập và bổ sung các tính chất của bất đẳng thức.
Trong SGK10NC, khái niệm bất đẳng thức được trình bày trong bài 1 “Bất đẳng
thức và chứng minh bất đẳng thức” của chương 4 “Bất đẳng thức và bất phương
trình
SGK10 đưa ra định nghĩa và tính chất của bất đẳng thức như sau:
1. Ôn tập và bổ sung tính chất của bất đẳng thức
Giả sử a, b là hai số thực. Các mệnh đề “a > b”, “a < b”, “a ≥ b”, “a ≤ b” được gọi là những bất đẳng thức.
Cũng như các mệnh đề lôgic khác, một bất đẳng thức có thể đúnghoặc sai. Chứng minh bất đẳng thức là chứng minh bất đẳng thức đó đúng.
a > b và b > c ⇒a > c a > b ⇔a + c > b + c Nếu c > 0 thì a > b ⇔ac > bc. Nếu c < 0 thì a > b ⇔ac < bc. Từ đó ta có các hệ quả sau: a > b và c > d ⇒a + c > b + d; a + c > b ⇔a > b – c; a > b ≥ 0 và n ∈* ⇒an > bn; a > b ≥0 ⇔ a > b; a > b ⇔ 3 3 a > b. …
Nếu A, B là những biểu thức chứa biến thì “A > B” là một mệnh đề chứa biến. Chứng minh bất đẳng thức A > B (với điều kiện nào đó của biến nghĩa là chứng minh mệnh đề chứa biến A > B đúng với tất cả các giá trị của các biến (thỏa mãn điều kiện đó). Từ nay, ta quy ước: Khi nói bất đẳng thức A > B (trong đó A, B là những biểu thức chứa biến) mà không nêu điều kiện gì đối với các biến thì ta hiểu rằng baats đẳng thức đó xảy ra với mọi giá trị của biến thuộc R.
(SGK10, tr.104)
Định nghĩa bất đẳng thức trong SGK10 về cơ bản giống định nghĩa trong SGK8. Tuy nhiên, SGK10 khẳng định thêm bất đẳng thức là một mệnh đề chứa số, hoặc mệnh đề chứa biến. Ở lớp 10, chữ có vai trò: đại diện cho số, biến được định nghĩa tường minh.
SGK10 chỉ trình bày các tính chất của các bất đẳng thức nghiêm ngặt. Các tính chất này được phát biểu dưới dạng mệnh đề “kéo theo”, “tương đương”.
Đồng thời SGK10 giới thiệu bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối: 2. Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối
Từ định nghĩa giá trị tuyệt đối, ta suy ra các tính chất sau đây.
a a a
− ≤ ≤ với mọi a ∈.
x < ⇔ − < <a a x a(với a > 0). x > ⇔ < −a x ahoặc x>a(với a > 0).
Sau đây là hai bất đẳng thức kép quan trọng khác về giá trị tuyệt đối (viết dưới dạng bất đẳng thức kép).
a − ≤ + ≤b a b a + b (với mọi a, b ∈). (SGK10, tr.106)
SGK10NC giới thiệu và chứng minh bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân cho 2 số không âm, cho 3 số không âm.
3. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân
a) Đối với hai số không âm Ta biết
2
a b+
là trung bình cộng của hai số a và b. Khi a và b không âm thì ab gọi là trung bình nhân của chúng. Ta có định lý sau đây.
ĐỊNH LÝ Với mọi a≥0,b≥0 ta có 2 a b ab + ≥ .
Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = b.
Nói cách khác, trung bình cộng của hai số không âm lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng. Trung bình cộng của hai số không âm bằng trung bình nhân của chúng khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau.
…
b) Đối với ba số không âm Ta đã biết (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
3
a+ +b c
là trung bình cộng của ba số a, b, c. Ta gọi 3abc là trung bình nhân của ba số đó. Người ta cũng chứng minh được kết quả định lý trên cho trường hợp ba số không âm. Với mọi a≥0, b≥0, c≥0, ta có: 3 3 a b c abc + + ≥ .
Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Nói cách khác, trung bình cộng của ba số không âm lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng khi và chỉ khi ba số đó bằng nhau.
Việc đưa vào bất đẳng thức Cô – si nhằm mục đích để chứng minh một số bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức (hàm số).
Kiểu nhiệm vụ TSS_BT: “So sánh giá trị của hai biểu thức”
Ví dụ (SGK10NC, VD1/ tr.104)
Không dùng bảng số hoặc máy tính, hãy so sánh hai số 2+ 3 và 3. Giải (Trích SGK10, tr.104)
Giả sử 2+ 3≤3. Do hai vế của bất đẳng thức đó đều dương nên
( )2 2 3 3 2 3 9 5 2 6 9 2 6 4 6 2 6 4 (Vô lý) + ≤ ⇔ + ≤ ⇔ + ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ Vậy 2+ 3> 3
Đặc trưng của TSS_BT ở lớp 10 là có 2: So sánh hai biểu thức A và B (trong đó A, B chứa căn bậc) và không được sử dụng máy tính.
+ Kỹ thuật τ SS_BT.5:
- Giả sử A ≥ B (1).
- Biến đổi (1) ⇔A2 ≥ B2 ⇔ (*). - Xét tính đúng, sai của (*) và kết luận.
+ Công nghệ θ SS_BT.5: Tính chất a > b ≥ 0 ⇔a2 ≥ b2.
Nhận xét
- Kỹ thuậtτ SS_BT.5 được đưa ra ngầm ẩn thông qua lời giải các bài toán, không nêu ra một cách tường minh. Hơn nữa theo cách trình bày ở ví dụ 1: “Do hai vế của
bất đẳng thức đều dương nên ( )2
2+ 3≤ ⇔3 2+ 3 ≤ 9”. Ở đây chỉ đưa ra phép biến đổi chứ không nêu cụ thể áp dụng tính chất nào. Như vậy yếu tố công nghệ a > b ≥ 0 ⇔a2 ≥ b2là ngầm ẩn..Mặt khác theo thống kê trên thì học sinh thường xuyên gặp phải tình huống điều kiện của a, b cho sẵn không âm. Câu hỏi đặt ra: Liệu học sinh ứng xử thế nào trong trường hợp chưa cho điều kiện của a, b. Tồn tại ở học sinh qui tắc hành động sau:
R3: a < b ⇔a2 < b2.
Kiểu nhiệm vụ TCM: “Chứng minh bất đẳng thức” Ví dụ 1 (SGK10NC, VD1/ tr.105) Chứng minh rằng x2 > 2(x – 1) Giải x2 > 2(x – 1) ⇔x2 > 2x – 2 ⇔x2 – 2x + 2 > 0 ⇔x2 – 2x + 1 + 1 > 0 ⇔(x – 1)2 + 1 > 0.
Hiển nhiên (x – 1)2 + 1 > 0 với mọi x nên ta có bất đẳng thức cần chứng minh.
Ví dụ 2 (SGK10NC, Bài 3/ tr.109) Chứng minh rằng a2
+ b2 + c2 ≥ ab + bc + ca với mọi số thực a, b, c. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Giải
a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca ⇔a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca≥ 0
⇔2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab -2bc - 2ca≥ 0
⇔(a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2≥ 0
Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi a – b = b – c = c – a = 0, tức là a = b = c. Ví dụ.3 (SGK10NC, Bài 5/ tr.110) Chứng minh rằng, nếu a > 0 và b > 0 thì 1 1 4 a+ ≥b a b + Giải Với a > 0, b > 0 ta có 2 1 1 4 4 ( ) 4 a b a b ab a b a b ab a b + + ≥ ⇔ ≥ ⇔ + ≥ + + 2 2 2 2 4 ( ) 0 a ab b ab a b ⇔ + + ≥ ⇔ − ≥ (đúng) Ví dụ 4 (SGK10NC, Bài 6/ tr.110) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Chứng minh rằng, nếu a ≥ 0 và b ≥ 0 thì a3 + b3 ≥ ab(a + b). Đẳng thức xẩy ra khi nào?
Giải
Ta có a3 + b3 ≥ ab(a + b)⇔ (a + b)(a2 – ab + b2) – ab(a + b) ≥ 0
⇔ (a + b)(a – b)2 ≥ 0 Vì (a – b)2 ≥ 0 nên với a≥0 và b≥0 thì (1) là bất đẳng thức đúng và do đó a3 + b3 ≥ ab(a + b) cũng là bất đẳng thức đúng. Dấu “=” xẩy ra ⇔a = b. Ví dụ 5 (SGK10NC, Bài 7/ tr.110)
a) Chứng minh rằng a2 + ab + b2 ≥0 với mọi số thực a, b. b) Chứng minh rằng với hai số thực a, b tùy ý, ta có a4
+ b4 ≥ a3b + ab3. Giải a) a2 + ab + b2 = (a + 2 b )2 + 3 4b2 ≥ 0 (Đúng). b) a4 + b4 ≥ a3b + ab3 ⇔a4 – a3b + b4 – ab3 ≥ 0 ⇔a3(a – b) – b3(a – b) ≥ 0 (a – b)(a3 – b3) ≥ 0 ⇔ (a – b)2(a2 + ab + b2) ≥ 0 (Đúng) Ví dụ 6 (SGK10NC, Bài 9/ tr.110) Chứng minh rằng, nếu a≥0 và b≥0 thì 2 2 3 3 2 2 2 a b+ a +b a +b × ≤ 2 2 3 3 2 2 2 a b+ ×a +b ≤a +b ⇔ a3 + ab2 + a2b + b3 ≤ 2a3 + 2b3 ⇔a3 – ab2 - a2b + b3 ≥ 0 ⇔(a – b)(a2 – b2) ≥ 0 ⇔ (a – b)2(a + b) ≥ 0.
Đặc trưng của các ví dụ này là sau một vài bước biến đổi tương đương đưa được về tổng các bình phương hoặc bất đẳng thức đơn giản hơn.
+ Kỹ thuật τ CM1: Để chứng minh A > B. - Chuyển về dạng A – B > 0. - Nhóm thành các tổng bình phương, rút gọn đưa về (*). - Chứng minh bất đẳng thức (*) đúng. + Công nghệ θ CM.1: Tính chất bất đẳng thức. Ví dụ 7 (SGK10NC /tr.107)
6 a b b c c a c a b + + + + + ≥ Giải: Ta có 2 . 2 . 2 . 6 a b b c c a a b b c c a c a b c c a a b b a b b c c a b a c b a c a b b c c a b a c b a c + + + + + = + + + + + = + + + + + ≥ + + = Ví dụ 8 (SGK10NC, bài 11/ tr.110) Chứng minh rằng:
a) Nếu a, b là hai số cùng dấu thì a b 2
b+ ≥a
b) Nếu a, b là hai số trái dấu thì a b 2.
b+ ≤ −a
Giải
a) Nếu a, b là hai số cùng dấu thì a
b và b
a là hai số dương nên
2 . 2
a b a b b+ ≥a b a =
b) Nếu a, b là hai số trái dấu thì a b 2
b a − + − ≥ và vì vậy a b 2. b+ ≤ −a + Kỹ thuật τ CM.2:
- Biến đổi vế phải thành tổng của biểu thức không âm và nghịch đảo của nó. - Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho từng tổng đó.
- Kết luận.
+ Công nghệ θ CM.2: Tính chất bất đẳng thức. Ví dụ 9 (SGK10NC,VD1/ tr.105)
Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì (b + c – a)(c + a – b)(a + b – c) ≤ abc.
a2 ≥ a2 – (b – c)2 = (a – b + c)(a + b – c) b2 ≥ b2 – (c – a)2 = (b – c + a)(b + c – a) c2 ≥ c2 – (a – b)2 = (c – a + b)(c + a – b)
Do a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên tất cả các vế của các bất đẳng thức trên đều dương. Nhân các vế tương ứng của ba bất đẳng thức trên ta được
a2b2c2 ≥(b + c – a)2(c + a – b)2(a + b – c)2
Lấy căn bậc hai của hai vế, ta được bất đẳng thức cần chứng minh. Ví dụ 10 (SGK10NC,Bài 1/ tr.109) Chứng minh rằng, nếu a > b và ab > 0 thì 1 1 a<b. Giải Nếu a > b và ab > 0 thì b < a và 1 ab > 0 nên 1 1 .b 1 .a 1 a =ab ≤ ab =b Ví dụ 11 (SGK10NC, Bài 2/ Tr.109)
Chứng minh rằng nửa chu vi của một tam giác lớn hơn độ dài mỗi cạnh của tam giác đó. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Giải
Gọi a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì nửa chu vi của tam giác đó là p= 2 a b c+ + . Ta có p – a = 2 2 2 a b c+ + − a =b c+ −a . Vì b + c > a nên p > a. Ví dụ 12 (SGK10NC, Bài 8/ tr.110)
Chứng minh rằng, nếu a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác thì a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca).
Giải
Nếu a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác thì do vai trò của a, b, c như nhau nên ta có thể giả thiết thêm rằng a ≥ b ≥ c. Khi đó,
0 ≤ b - c < a nên ( b – c)2 < a2, suy ra b2 + c2 < a2 + 2bc; 0 ≤ a – b < c nên ( a – c)2 < b2, suy ra a2 + c2 < b2 + 2ac. Từ đó, ta có 2(a2
+ b2 + c2) < a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) và vì vậy a2
+ b2 + c2 < 2(ab + bc + ca).
+ Kỹ thuật τ CM.2:
- Từ giả thiết bài toán hoặc xuất phát từ bất đẳng thức đúng.
- Dùng tính chất của bất đẳng thức biến đổi về bất đẳng thức cần chứng minh. - Kết luận. + Công nghệ θ CM.2: Tính chất bất đẳng thức. Ví dụ 10 (SGK10NC,Bài 10/ tr.110) a) Chứng minh rằng, nếu x ≥ y ≥ 0 thì 1 1 x y x≥ y + + .
b) Chứng minh rằng đối với hai số tùy ý a, b, ta có:
1 1 1 a b a b a b a b − ≤ + + − + + . Giải a) Với x ≥ y ≥ 0 ta có (1 ) (1 ) 1 1 x y x y y x x xy y xy x y x≥ y ⇔ + ≥ + ⇔ + ≥ + ⇔ ≥ + + (Đúng). b) Vì 1 1 1 1 1 1 a b a b a b a b a b a b a b a b a b − + ≤ = + ≤ + + − + + + + + + + + + Kỹ thuật τ CM.3:
Để chứng minh A < B ta làm trội A < C rồi chứng minh C ≤ B (biểu thức C đóng vai trò trung gian để so sánh A và B)
+ Công nghệ θ CM.3: Tính chất bất đẳng thức.
Nhận xét
- Các kĩ thuật chứng minh bất đẳng thức không được SGK10 trình bày tường minh thông qua các ví dụ, bài tập mẫu.
- Chúng tôi nhận thấy, đối với kiểu nhiệm vụ TCM trong trường hợp bất đẳng thức không nghiêm ngặt, luôn có giá trị của biến để dấu “=” trong bất đẳng thức xẩy ra. Tuy nhiên, trong lời giải mà SGK đưa ra không yêu cầu trình bày tìm điều kiện của biến để dấu “=” xẩy ra. Hơn nữa, trong phân tích thể chế ở lớp 8 chúng tôi nhận thấy thể chế không ưu tiên viết các bất đẳng thức không nghiêm ngặt mà dấu “=” không xẩy ra. Từ nhận xét trên, chúng tôi dự đoán quy tắc hợp đồng tồn tại ở HS là:
R1: Khi chứng minh bất đẳng thức không nghiêm ngặt, HS không có trách nhiệm kiểm tra dấu “=” có xẩy ra hay không.
- Tuy không được trình bày trong phần lý thuyết, nhưng trong các kĩ thuật chứng minh bất đẳng thức, SGK có đưa ra tính chất cộng và nhân vế theo vế theo vế hai bất đẳng thức cùng chiều:
a < b và c < d ⇒ a + c < b + d 0 < a < b và 0 < c < d ⇒ ac < bd
Từ đó, chúng tôi dự đoán tồn tại ở HS quy tắc hành động sau:
R4: a < b và c < d ⇒a – c < b – d
R5: 0 <a < b và 0 < c < d ⇒ a
c < b d
Kiểu nhiệm vụ TGTLN: “Tìm giá trị lớn nhất”
Ví dụ (SGK 10NC, bài 12 /tr.110)
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = (x + 3)(5 – x) với 3− ≤ ≤x 5. Giải:
Vì − ≤ ≤3 x 5 nên x + 3 và 5 – x là hai số không âm có tổng bằng 8 và do đó tích của chúng lớn nhất khi hai số đó bằng nhau. Do x + 3 = 5 – x khi và chỉ khi x = 1 nên giá trị lớn nhất của f(x) = (x + 3)(5 – x) là f(1) = 16.
+ Kỹ thuật τ GTLN: (Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) xác định trên tập D. - Chứng minh f(x) ≤ M với mọi x ∈ D. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
- Chỉ ra một (không cần tất cả) giá trị x = x0 ∈D sao cho f(x0) = M. - Kết luận
- Định nghĩa giá trị lớn nhất của hàm số. - Định nghĩa, tính chất của bất đẳng thức.
Kiểu nhiệm vụ TGTNN: “Tìm giá trị nhỏ nhất”
Ví dụ (SGK10, bài 12 /tr.110)
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = (x + 3)(5 – x) với − ≤ ≤3 x 5. Giải:
Vì − ≤ ≤3 x 5 nên x + 3 và 5 – x là hai số không âm có tổng bằng 8 và do đó tích của chúng lớn nhất khi hai số đó bằng nhau. Do x + 3 = 5 – x khi và chỉ khi x = 1 nên giá trị lớn nhất của f(x) = (x + 3)(5 – x) là f(1) = 16.
+ Kỹ thuật τ GTLN: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) xác định trên tập D. - Chứng minh f(x) ≤ M với mọi x ∈ D.
- Chỉ ra một (không cần tất cả) giá trị x = x0 ∈D sao cho f(x0) = M. - Kết luận
+ Công nghệ θ GTLN:
- Định nghĩa giá trị lớn nhất của hàm số. - Định nghĩa, tính chất của bất đẳng thức.
Nhận xét
- Bất đẳng thức được định nghĩa ở lớp 8 dựa trên quan hệ thứ tự của hai số thực. Đến lớp 10 bất đẳng thức được định nghĩa theo ngôn ngữ mệnh đề.
- Các tổ chức toán học liên quan đến đối tượng bất đẳng thức trong chương trình lớp 8 đến lớp 10:
+ TĐS: “Xét tính đúng, sai của bất đẳng thức”