4. Phương pháp nghiên cứu
1.3Bất đẳng thức giai đoạn tường minh
1.3.1 SGK lớp 8
SGK8 xây dựng khái niệm bất đẳng thức như sau:
1. Nhắc lại về thứ tự trên tập hợp số
Trên tập hợp số thực, khi so sánh hai số a và b, xẩy ra một trong ba trường hợp sau: Số a bằng số b, kí hiệu a = b.
Số a nhỏ hơn số b, kí hiệu a < b. Số a lớn hơn số b, kí hiệu a > b.
Khi biểu diễn trên trục số (vẽ theo phương nằm ngang), điểm biểu diễn số nhỏ hơn ở bên trái điểm diểu diễn số lớn hơn. Chính điều đó cho ta hình dung về thứ tự trên tập số thực.
?1. Điền dấu thích hợp (=, <, >) vào ô vuông:
a) 1,53 1,8 ; b) – 2,37 – 2,41; c) 12 18 − 2 3 − ; d) 3 5 13 20.
Nếu số a không nhỏ hơn số b, thì phải có hoặc a > b, hoặc a = b. Khi đó, ta nói gọn là a lớn hơn hoặc bằng b, kí hiệu a ≥ b. Ví dụ x2≥ 0 với mọi x; Nếu c không âm thì ta viết
c ≥ 0.
Nếu số a không lớn hơn số b, thì phải có hoặc a < b, hoặc a = b. Khi đó, ta nói gọn là a nhỏ hơn hoặc bằng b, kí hiệu a ≤ b. Ví dụ - x2≤ 0 với mọi x; Nếu số y không lớn hơn 3 thì ta viết y ≤ 3.
2. Bất đẳng thức
Ta gọi hệ thức a < b (hay a > b, a ≤ b, a ≥ b) là bất đẳng thức và gọi a là vế trái, b là vế trái của bất đẳng thức.
Ví dụ 1. Bất đẳng thức 7 + (-3) > -5 có vế trái là 7 + (-3), còn vế phải là – 5. (SGK 8 – tập 2, tr.36)
Từ đoạn trích trên chúng tôi có các nhận xét như sau:
Trước hết SGK8 nhắc lại quan hệ thứ tự của hai số thực và mô hình quen thuộc là trục số. Sự xuất hiện của hoạt động 1 nhằm củng cố lại bài toán so sánh hai số thực. Đồng thời, SGK8 cũng nhắc lại kí hiệu ≥, ≤ và cho ví dụ. Trên cơ sở đó đi
đến định nghĩa bất đẳng thức. Như vậy khái niệm bất đẳng thức được trình bày hoàn toàn dựa vào quan hệ thứ tự của hai số thực. Trong các kí hiệu a < b (hay a > b, a ≤
b, a ≥ b) thì a, b đại diện cho một số hoặc biểu thức số tùy ý. Sau đó SGK8 đưa vào ví dụ 1, lúc này a, b được lấy nghĩa là “chữ được gán giá trị”, tức là thay bằng một giá trị số, nhằm làm ví dụ minh họa cho định nghĩa. Trong phần giới thiệu kí hiệu
≥, ≤, SGK8 đưa ra ví dụ minh họa:x2≥ 0 với mọi x và - x2≤ 0 với mọi x, lúc này chữ đóng vai trò là biến.. Phân tích trên, đã chỉ ra rằngký hiệu chữ trong bất đẳng thức giữ hai vai trò khác nhau: chữ được gán giá trị, chữ chỉ biến số. Tuy nhiên, vai trò chữ chỉ biến số không nêu tường minh trong định nghĩa mà được nêu trong ví dụ cụ thể.
Sau khi định nghĩa bất đẳng thức, SGK 8 xây dựng tính chất về liên hệ giữa thứ tự với phép cộng như sau:
3. Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng
Hình vẽ sau minh họa kết quả: Khi cộng 3 vào cả 2 vế của bất đẳng thức – 4 < 2 thì được bất đẳng thức – 4 + 3 < 2 + 3.
?2. a) Khi cộng – 3 vào cả hai vế của bất đẳng thức – 4 < 2 thì ta được bất đẳng thức nào?
b) Dự đoán kết quả: Khi cộng số c vào cả hai vế của bất đẳng thức – 4 < 2 thì được bất đẳng thức nào?
Tính chất. Với ba số a, b và c, ta có:
Nếu a < b thì a + c < b + c; nếu a ≤ b thì a + c ≤ b + c; Nếu a > b thì a + c > b + c; nếu a ≥ b thì a + c ≥ b + c.
Hai bất đẳng thức – 2 < 3 và – 4 < 2 (hay 5 > 1 và – 3 > - 7) được gọi là hai bất đẳng thức cùng chiều.
Khi cộng cùng một số vào cả hai vế của một bất đẳng thức ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.
Có thể áp dụng tính chất trên để so sánh hai số, hoặc chứng minh bất đẳng thức. -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Ví dụ. Chứng tỏ 2003 + (-35) < 2004 + (-35). (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Giải
Theo tính chất trên, cộng -35 vào cả hai vế của bất đẳng thức 2003 < 2004, ta suy ra 2003 + (-35) < 2004 + (-35).
?3. So sánh -2004 + (-777) và (-2005) + (-777) mà không tính giá trị biểu thức.
?4. Dựa vào thứ tự 2và 3, hãy so sánh 2 + 2 và 5.
(SGK 8 – tập 2, tr.36)
Từ đoạn trích trên chúng tôi có nhận xét sau:
SGK8 chỉ đưa ra các tính chất về mối liên hệ giữa thứ tự và phép cộng mà không chứng minh. Trước tiên, SGK8 đưa ra một ví dụ cụ thể cho bất đẳng thức số và minh họa hình học cho việc cộng cùng một số vào hai vế của bất đẳng thức. Sau đó củng cố bằng hoạt động 2 cũng thực hiện trên các số cụ thể. Từ đó khái quát và phát biểu tính chất về mối liên hệ giữa thứ tự với phép cộng ở dạng kí hiệu và lời văn. SGK8 đưa ra ví dụ 2, hoạt động 3, 4 để vận dụng tính chất thì a, b, c được gán cho các số cụ thể. Tính chất này được phát biểu cho cả bất đẳng thức ngặt và bất đẳng thức không ngặt.Và SGK8 xây dựng tính chất về mối liên hệ giữa thứ tự và phép nhân, tính chất bắc cầu với trình tự như trên.
1.Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân với số dương
Hình vẽ sau minh họa kết quả: Khi nhân cả hai vế của bất đẳng thức – 2 < 3 với 2 thì được bất đẳng thức (-2).2 < 3. 2.
?1. a) Nhân cả hai vế của bất đẳng thức – 2 < 3 với 5019 thì được bất đẳng thức nào? b) Dự đoán kết quả: Nhân cả hai vế của bất đẳng thức – 2 < 3 với số dương thì được bất đẳng thức nào?
Tính chất. Với ba số a, b và c mà c > 0, ta có: Nếu a < b thì ac < bc; nếu a ≤ b thì ac ≤ bc; Nếu a > b thì ac >bc; nếu a ≥ b thì ac ≥ bc.
Khi nhân cả hai vế của bất đẳng thức với cùng một số dương ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
(-2).2 3.2
6
?2. Đặt dấu thích hợp (>, <) vào ô trống: a) (-15,2).3,5 (-15,08).3,5;
b) 4,15 (-5,3).2,2.
2. Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân với số âm
Hình vẽ sau minh họa kết quả: Khi nhân cả hai vế của bất đẳng thức – 2 < 3 với – 2 thì được bất đẳng thức (-2).(-2) > 3.(-2).
?3. a) Nhân cả hai vế của bất đẳng thức – 2 < 3 với -245 thì được bất đẳng thức nào? b) Dự đoán kết quả: Nhân cả hai vế của bất đẳng thức – 2 < 3 với số c âm thì được bất đẳng thức nào?
Tính chất. Với ba số a, b và c mà c < 0, ta có: Nếu a < b thì ac > bc; nếu a ≤ b thì ac ≥ bc; Nếu a > b thì ac >bc; nếu a ≥ b thì ac ≤ bc.
Hai bất đẳng thức – 2 < 3 và 4 > -3,5 (hay – 3 > - 5 và 2 < 4) được gọi là hai bất đẳng thức ngược chiều.
Khi nhân cả hai vế của bất đẳng thức với cùng một số âm ta được bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho.
?4. Cho – 4a > - 4b hãy so sánh a, b.
?5. Khi chia cả hai vế của bất đẳng thức cho cùng một số khác 0 thì sao? 3. Tính chất bắc cầu
Với ba số a, b và c ta thấy rằng nếu a < b và b < c thì a < c. Tính chất này gọi là tính chất bắc cầu:
Tương tự, các thứ tự (>), nhỏ hơn hoặc bằng (≤), lớn hơn hoặc bằng cũng có tính chất bắc cầu.
(SGK8 – tập 2, tr.37, 38, 39)
Có thể thấy SGK8 xây dựng các tính chất, phát biểu tính chất, đưa ra ví dụ và hoạt động củng cố các tính chất của bất đẳng thức chứa chữ, tuy nhiên chữ ở đây giữ vai trò được gán giá trị cụ thể . (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
(-2).(-2) -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 3.(-2) 4 4 a b c
* Các tổ chức toán học:
TĐS: “Kiểm tra tính đúng, sai của một bất đẳng thức”
Để có thể phân biệt một cách rõ ràng các kỹ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ này, chúng ta có dựa vào đặc trưng của các đối tượng trong bất đẳng thức.
* Bất đẳng thức chứa số cụ thể
Ví dụ 1 (SGK8 – tập 2, Bài 1/ tr.37)
Mỗi khẳng định sau đúng hay sai? Vì sao? a) (-2) + 3 ≥ 2 b) – 6 ≤ 2.(-3) c) 4 + (-8) < 15 + (-8) d) x2 + 1 ≥ 1 Giải (SGV8, tr.44)
a) Sai b), đúng c), đúng d), đúng.
b) Khẳng định câu b) đúng vì vế trái là – 6, vế phải là 2.(-3) cũng là – 6 và ta có -6 ≤6
c) Câu c) có 2 cách giải thích:
Cách 1: Đúng vì ta có 4 < 15 và cộng cả hai vế của nó với (-8). Cách 2: Đúng vì vế trái là – 4, vế phải là 7, rõ ràng – 4 < 7. d) Từ kết quả x2≥0, ta cộng hai vế với 1, được x2 + 1 > 1.
+ Kỹ thuật τĐS.1: - Tính giá trị từng vế của bất đẳng thức. - So sánh giá trị hai vế. - Kết luận. + Công nghệ θĐS.1: - Các phép toán, thứ tự trên tập số thực. * Bất đẳng thức chứa chữ Ví dụ 2 (SGK8 – tập 2, Bài 1/ tr.37)
Mỗi khẳng định sau đúng hay sai? Vì sao? d) x2 + 1 ≥ 1
Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ TĐS chưa chữ trong SGK8 luôn cho đáp số là “bất đẳng thức đúng”. Như vậy để thực hiện kiểu nhiệm vụ TĐS_Chữ thực ra là đi chứng
minh bất đẳng thức. Hơn nữa, việc chứng minh các bất đẳng thức trong kiểu nhiệm vụ này đều xuất phát từ bất đẳng thức x2 ≥ 0 với mọi số thực x.
+ Kỹ thuật τ ĐS.2:
- Xuất phát từ bất đẳng đúng.
- Thực hiện cộng hoặc nhân với số thích hợp. - Kết luận.
+ Công nghệ θ ĐS.2:
- Liên hệ giữa thứ tự với phép cộng và phép nhân. * Bất đẳng thức trong hình học
Ví dụ 3 (SGK8 – tập 2, Bài 9/ tr.40)
Cho tam giác ABC. Các khẳng định sau đây đúng hay sai? Vì sao?
a) 0 180 A+ + >B C ` b) 0 180 A+ <B c) 0 180 B C+ ≤ d) 0 180 A+ ≥B
SGV8 chỉ đưa ra đáp số là b) đúng, c) đúng và không giải thích thêm.
Nhận xét
- Bất đẳng thức được hiểu là mệnh đề dạng a < b (hay a > b, …). Mệnh đề toán học thì phải hoặc đúng, hoặc sai. SGK thể hiện ý này qua kiểu nhiệm vụ TĐS với yêu cầu bài toán: “khẳng định sau đây đúng hay sai”. Với mức độ THCS, chưa giới thiệu kĩ về mệnh đề nên SGK lựa chọn cách nói có mức độ.
- Khi thực hiện kiểu nhiệm vụ này trên số cụ thể HS có thể sử dụng cả hai kĩ thuật τĐS.1, τĐS.2. Trong đó, công nghệ để giải thích cho kĩ thuật τĐS.1 là quy tắc so sánh hai số cụ thể, công nghệ để giải thích cho τĐS.2 là sử dụng các tính chất của bất đẳng thức để so sánh hai số. Tuy nhiên, kĩ thuật τĐS.1 dễ hiểu và quen thuộc đối với HS.
- Trong ví dụ 3. Chúng tôi nhận thấy: Đối với 1d) x2 + 1 ≥1 dấu “=” xẩy ra khi x = 1
Đối với 9c) 0
180 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Như vậy, trong thể chế dạy học toán lớp 8 xuất hiện cách viết bất đẳng thức không nghiêm ngặt đúng nhưng dấu “=” không xẩy ra. Chúng tôi tự hỏi thể chế có ưu tiên cách viết này hay không? Để tìm câu trả lời cho câu hỏi trên, chúng tôi tham khảo thêm SBT8 và quan tâm đến bài tập sau đây:
Bài 19 (SBT8, tr.52)
Cho a là số bất kì, hãy đặt dấu “<, >, ≤, ≥” vào ô vuông cho đúng: a) a2 0; b) – a2 0;
c) a2 + 1 0; d) – a2
– 2 0.
Câu c) điền dấu > hoăc ≥ đều đúng tuy nhiên SBT8 đưa ra đáp án là >; câu e điền dấu < hoặc ≤ đều đúng tuy nhiên SBT8 đưa ra đáp án là <. Vậy có thể thấy rằng thể chế SGK8 xuất hiện hai cách viết bất đẳng thức không nghiêm ngặt: bất đẳng thức không nghiêm ngặt mà dấu bằng xẩy ra và bất đẳng thức không nghiêm ngặt mà dấu bằng không xẩy ra. Tuy nhiên, thể chế không ưu tiên cách viết bất đẳng thức không nghiêm ngặt mà dấu “=” không xẩy ra.
Kiểu nhiệm vụ TSS: “So sánh”
Ngoài kiểu nhiệm vụ TSS_So , TSS_BT có các kiểu nhiệm vụ con sau đây:
•Kiểu nhiệm vụTSS_BTĐK: “So sánh giá trị hai biểu thức chứa các chữ thỏa điều kiện cho trước”
Ví dụ (SGK8- tập 2, Bài 2/ tr.37) Cho a < b, hãy so sánh: a) a + 1 và b + 1; b) a – 2 và b – 2 Giải (Trích SGV8): a) Ta có a + 1 < b + 1 (vì từ a < b, cộng hai vế với 1). b) Ta có a – 2 < b – 2 (vì từ a < b, cộng hai vế với -2). + Kỹ thuật τ SS_BTĐK:
- Xuất phát từ bất đẳng thức ở giả thiết, nhân và cộng hai vế của bất đẳng thức với một số thích hợp.
+ Công nghệ θ SS_BTĐK:
• Kiểu nhiệm vụ TSS_ĐK : “So sánh hai số thỏa bất đẳng thức cho trước”
Ví dụ (SGK8 – tập 2, bài 13a/ tr.40) So sánh a và b nếu: a + 5 < b + 5. Giải (Trích SGV8)
Cách 1: Thực hiện cộng, nhân với số thích hợp.
Từ a + 5 < b + 5, cộng hai vế với -5, suy ra a < b (Có thể nói là trừ hai vế cho cùng một số).
Cách 2: Trong các khả năng so sánh a và b, ta loại một số khả năng để kết luận khả năng còn lại.
Ta loại a = b (vì khi đố a + 5 = b + 5) và loại a > b (vì khi đó có a + 5 > b + 5). Vậy chỉ còn a < b.
+ Kỹ thuật τ SS_ĐK1:
- Cộng, nhân hai vế của bất đẳng thức với số thích hợp.
+ Kỹ thuật τ SS_ĐK2:
- Trong các khả năng so sánh a và b, ta loại một số khả năng để kết luận khả năng còn lại.
- Kết luận.
+ Công nghệ θ SS_ĐK:
- Liên hệ giữa thứ tự với phép cộng và phép nhân.
Kiểu nhiệm vụ TCM: “Chứng minh bất đẳng thức”
Trong SGK lớp 8 kiểu nhiệm vụ TCMcó các kiểu nhiệm vụ con sau đây:
•Kiểu nhiệm vụ TCM_So “Chứng minh bất đẳng thức số”
Ví dụ (SGK8 – tập 2, Bài 12a/ tr.40) Chứng minh: 4.(-2) + 14 < 4.(-1) + 14. Giải: Cách 1: Ta có VT = 6, VP = 10 và 6 < 10 nên 4.(-2) + 14 < 4.(-1) + 14. Cách 2:
Ta có -2 < -1, nhân 2 vế của bất đẳng thức -2 < 1 với 4 rồi cộng với 14 ta được bất đẳng thức 4.(-2) + 14 < 4.(-1) + 14. + Kỹ thuật τ CM_So1: - Tính giá trị từng vế của bất đẳng thức. - So sánh giá trị hai vế. - Kết luận. + Kỹ thuật τ CM_So2: - Xuất phát từ bất đẳng thức đúng. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
- Thực hiện nhân và cộng với số thích hợp. - Kết luận.
+ Công nghệ θ CM_So:
- Liên hệ giữa thứ tự với phép cộng và phép nhân.
•TCM_Chu “Chứng minh bất đẳng thức chữ”
Ví dụ (SGK8 – tập 2, Bài 11a/ tr.40)
Cho a < b, chứng minh: 3a + 1 < 3b + 1. Giải (Trích SGV8):
Từ a < b suy ra 3a < 3b (nhân hai vế với 3), sau đó có 3a + 1 < 3b + 1 (do cộng 1 vào cả hai vế của bất đẳng thức).
+ Kỹ thuật τ CM_Chu:
- Xuất phát từ bất đẳng thức đúng.
- Thực hiện nhân và cộng với số (biểu thức) thích hợp. - Kết luận.
+ Công nghệ θ CM_Chu: Liên hệ giữa thứ tự với phép cộng và phép nhân.
Kiểu nhiệm vụ TLapBĐT: “Lập bất đẳng thức từ bài toán có lời văn”
Ví dụ (SGK8- tập 2, bài 4/ tr. 37)
Đố. Một biển báo giao thông với nền trắng, số 20 màu đen, viền đỏ cho biết vận tốc tối đa mà các phương tiện giao thông được đi trên quãng