Nghiên cứu các đại số trên đó được trang bị một dạng song tuyến tính bất biến không suy biến là một hướng nghiên cứu mới và còn nhiều vấn đề chưa giải quyết được. Hướng tập trung sắp tới của nhóm thực hiện đề tài là tìm cách tổng quát các kết quả đạt được cho lớp các super-đại số Lie toàn phương. Các super-đại số Lie toàn phương là lớp đại số tổng quát hơn lớp đại số Lie toàn phương và có nhiều ứng dụng trong Vật lý. Để làm được điều này, đòi hỏi phải mô tả không gian chứa 3-dạng tuyến tính 𝐼, lúc này không còn là một 3- dạng phản xứng mà có thể là một 3-dạng super-phản xứng. Đồng thời phải xây dựng được tích super-Poisson trong trường hợp super-đại số Lie. Công việc này phức tạp hơn vì có thể phải sử dụng nhiều công cụ sâu sắc trong lý thuyết các đại số Lie phân bậc. Tuy nhiên, dựa trên những kết quả bước đầu, nhóm những người thực hiện đề tài đã giải quyết được một phần và hi vọng sẽ giải quyết trọn vẹn bài toán được đặt ra trong những đề tài sắp tới.
Một hướng nghiên cứu thứ hai có thể làm được đó là áp dụng mở rộng kép cho những đại số khác trong Vật lý, ví dụ đại số Jordan, đại số Novikov mà tổng quát hơn là đại số đối xứng trái, …. Trường hợp tổng quát đã được S. Benayadi và các cộng sự giải quyết trong nhiều bài báo, chẳng hạn trong [1] và [2], tuy nhiên trường hợp đặc biệt là mở rộng kép một chiều của một không vectơ toàn phương vẫn là một trường hợp cần nghiên cứu thêm vì chúng có thể phân loại được. Mở rộng kép là một công cụ mạnh để mô tả cấu trúc các đại số toàn phương, tức là trên đó có trang bị một dạng song tuyến tính bất biến không suy biến nhưng đáng tiếc là sự mô tả đó khá định tính và rất khó phân loại. Do đó nhóm thực hiện đề tài sẽ tập trung vào việc tìm những kiểu mở rộng kép sao cho chúng có thể phân loại được. Đây là một vấn đề sẽ được quan tâm nghiên cứu trong tương lai.
Hướng nghiên cứu cuối cùng được đề cập ở đây chính là nghiên cứu cấu trúc các đại số toàn phương kèm thêm một hoặc một số cấu trúc khác, ví dụ cấu trúc symplectic, cấu trúc bialgebra hoặc cấu trúc Manin. Nói một cách khác, đó là trả lời câu hỏi rằng liệu có tồn tại nhiều cấu trúc trên một đại số cho trước hay không và các cấu trúc này có tương thích với nhau không. Đây là những câu hỏi khó, thuần túy đại số nhưng khá lý thú. Nhóm thực hiện đề tài hi vọng sẽ đưa ra được một vài câu trả lời trong thời gian tới.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. I. Ayadi and S. Benayadi (2010), Symmetric Novikov superalgebras, J. Math. Phys.
51, no. 2, 023501.
2. A. Baklouti and S. Benayadi (2008), Pseudo-Euclidean Jordan algebras, arXiv:0811.3702v1.
3. H. Benamor and S. Benayadi (1999), Double extension of quadratic Lie superalgebras, Comm. in Algebra 27, no. 1, 67 – 88.
4. S. Benayadi (2003), Socle and some invariants of quadratic Lie superalgebras, J. of Algebra 261, no. 2, 245 – 291.
5. M. Bordemann (1997), Nondegenerate invariant bilinear forms on nonassociative algebras, Acta Math. Univ. Comenianac LXVI, no. 2, 151 – 201.
6. N. Bourbaki (1959), Éléments de Mathématiques, Algèbre, Formes sesquilinéaires, Vol. Fasc. XXIV, Livre II, Hermann, Paris.
7. D. H. Collingwood and W. M. McGovern (1993), Nilpotent Orbits in Semisimple Lie algebras, Van Nostrand Reihnhold Mathematics Series, New York.
8. M. T. Duong, G. Pinczon and R. Ushirobira, A new invariant of quadratic Lie algebras, Alg. Rep. Theory (to appear).
9. G. Favre and L. J. Santharoubane (1987), Symmetric, invariant, non-degenerate bilinear form on a Lie algebra, J. of Algebra 105, 451 – 464.
10. J. M. Figueroa-O’Farrill and S. Stanciu (1996), On the structure of symmetric selt- dual Lie algebras, J. Math. Phys. 37 (8), 4121 – 4134.
11. V. Kac (1985), Infinite-dimensional Lie algebras, Cambrigde University Press, New York.
12. A. Medina and P. Revoy (1985), Algèbres de Lie et produit scalaire invariant, Ann. Sci. École Norm. Sup. 4, 533 – 561.
13. G. Pinczon and R. Ushirobira (2007), New applications of graded Lie algebras to Lie algebras, generalized Lie algebras and Cohomology, J. Lie Theory 17, no. 3, 633 – 668.
14. F. Zhu and Z. Chen (2007), Novikov algebras with associative bilinear forms, J. Phys. A: Math. Theor. 40, no. 47, 14243 – 14251.