Cho (q, 𝐵) là một không gian vectơ toàn phương. Kí hiệu O(q) là nhóm các ánh xạ trực giao trênq và o(q) là đại số Lie của O(q), tức là đại số Lie chứa các ánh xạ phản xứng trên q
(tương ứng với dạng song tuyến tính 𝐵). Nhắc lại rằng, tác động phụ hợp là tác động của nhóm O(q) lên đại số o(q) bởi phép phụ hợp. Trong trường hợp q=ℂ𝑛, ta dùng kí hiệu O(𝑛) vào(𝑛) thay cho O(q) và o(q). Ta có định lý phân loại các đại số Lie toàn phương kì dị như sau:
Định lý 2.9. Cho (q, 𝐵) là một không gian vectơ toàn phương. Ta kí hiệu g= (ℂ𝑋1⊕ ℂ𝑌1)⊕⊥qvàg' = (ℂ𝑋1′ ⊕ ℂ𝑌1′)⊕⊥qlần lượt là các mở rộng kép củaqbởi𝐶̅ và 𝐶′�. Khi đó:
(1) Tồn tại một đẳng cấu đại số Lie giữagvàg' nếu và chỉ nếu tồn tại một ánh xạ khả nghịch𝑃: q→ qvà một số 𝜆 ∈ ℂ khác 0 sao cho
𝐶�′ =𝜆 𝑃𝐶̅𝑃−1 và𝑃∗𝑃𝐶̅ =𝐶̅,
ở đây𝑃∗là ánh xạ phụ hợp với𝑃tương ứng với 𝐵.
(2) Tồn tại một đẳng cấu đẳng cự giữagvàg' nếu và chỉ nếu 𝐶�′ thuộc O(q)-quỹ đạo phụ hợp đi qua𝜆𝐶̅ với𝜆 ∈ ℂkhác 0.
Ta kí hiệu 𝑆𝑠(𝑛+ 2) là tập hợp chứa tất cả các cấu trúc đại số Lie toàn phương kì dị giải được trên ℂ𝑛+2, 𝑆�𝑠(𝑛+ 2) và 𝑆�𝑠𝑖(𝑛+ 2)tương ứng là tập hợp các lớp đẳng cấu và tập
hợp các lớp đẳng cấu đẳng cự của các phần tử trong 𝑆𝑠(𝑛+ 2). Cho 𝐶̅ ∈ o(𝑛), khi đó sẽ có một mở rộng kép g𝐶̅ liên kết với 𝐶̅ và ta có hệ quả như sau.
Hệ quả 2.10. Ánh xạ 𝐶̅ ↦ g𝐶̅ cảm sinh một song ánh từ tập hợp𝑃1�(o(𝑛)) các O(𝑛)-quỹ đạo trong 𝑃1(o(𝑛)) vào 𝑆�𝑠𝑖(𝑛+ 2), ở đây 𝑃1(o(𝑛)) là không gian xạ ảnh của đại số Lie
o(𝑛).
Chú ý rằng, một dạng yếu hơn của hệ quả trên đã được đưa ra trong [FS], ở đó một số điều kiện không cần thiết có thể bỏ đi. Do đó, Hệ quả 2.10 có thể được xem như là một mở rộng của kết quả trong [9]. Ngoài ra, hệ quả này được phát biểu tổng quát hơn trong Định lý 2.14 dưới đây, ở đó khái niệm đẳng cấu đẳng cự có thể được thay thế bởi khái niệm đẳng cấu. Tuy nhiên để chứng minh được kết quả này đòi hỏi phải xét định lý trong ba trường hợp cụ thể: trường hợp lũy linh, trường hợp chéo hóa và trường hợp khả nghịch.
Kí hiệu 𝑁(𝑛+ 2) là tập hợp các cấu trúc đại số Lie toàn phương kì dị lũy linh trên ℂ𝑛+2, 𝑁�(𝑛+ 2) và 𝑁�𝑖(𝑛+ 2) tương ứng là tập hợp các lớp đẳng cấu và tập hợp các lớp đẳng cấu đẳng cự trong 𝑁(𝑛+ 2). Sử dụng Định lý Jacobson-Morosov, chúng tôi chứng minh được kết quả sau:
Định lý 2.11.
(1) Cho g và g' thuộc 𝑁(𝑛+ 2). Khi đó g đẳng cấu đẳng cự với g' nếu và chỉ nếu chúng đẳng cấu với nhau. Do đó𝑁�(𝑛+ 2) = 𝑁�𝑖(𝑛+ 2).
(2) Kí hiệu 𝑁�(𝑛) là tập hợp các O(𝑛)-quỹ đạo lũy linh trong o(𝑛). Khi đó ánh xạ
𝐶̅ ↦ g𝐶̅ cảm sinh một song ánh từ 𝑁�(𝑛)vào𝑁�(𝑛+ 2).
Chúng ta có thể sử dụng khái niệm tích trộn để mô tả chi tiết tập hợp 𝑁�(𝑛+ 2), ở đó mỗi một đại số gthuộc 𝑁(𝑛+ 2) sẽ đẳng cấu đẳng cự một cách duy nhất với tích trộn của các đại số Lie lũy linh dạng Jordan. Chi tiết cách mô tả độc giả có thể xem trong phần Phụ lục.
Trong trường hợp 𝐶̅ chéo hóa được, tương đương với 𝐶̅ nửa đơn thì ta gọi g𝐶̅ là một đại số Lie toàn phương kì dị chéo hóa được. Kí hiệu 𝐷(𝑛+ 2) là tập hợp các cấu trúc như thế trên ℂ𝑛+2, 𝐷�(𝑛+ 2) và 𝐷�𝑖(𝑛+ 2) tương ứng là tập hợp các lớp đẳng cấu và tập hợp các lớp đẳng cấu đẳng cự trong 𝐷(𝑛+ 2), 𝐷�𝑟(𝑛+ 2) và 𝐷�𝑟𝑖(𝑛+ 2) tương ứng là các tập con của 𝐷�(𝑛+ 2) và 𝐷�𝑖(𝑛+ 2)chứa lớp các phần tử rút gọn. Khi đó ta có định lý sau:
(1) Tồn tại một song ánh giữa𝐷�𝑖(𝑛+ 2)và tập hợp các O(𝑛)-quỹ đạo nửa đơn trong 𝑃1(o(𝑛)). Hơn nữa𝐷�𝑟𝑖(𝑛+ 2)song ánh với tập hợpO(𝑛)-quỹ đạo nửa đơn khả nghịch trong 𝑃1(o(𝑛)).
(2) Chogvàg' rút gọn thuộc 𝐷(𝑛+ 2). Khi đó𝑛phải là số chẳn, đồng thờigvàg'
đẳng cấu nếu và chỉ nếu chúng đẳng cấu đẳng cự. Do đó𝐷�𝑟(2𝑝+ 2) = 𝐷�𝑟𝑖(2𝑝+ 2)với mọi𝑝 ≥ 1.
(3) Cho (g, 𝐵) là một đại số Lie toàn phương kì dị chéo hóa rút gọn. Gọi g4 là mở rộng kép của ℂ2 bởi ánh xạ phản xứng𝐶̅ =�01 −10 �. Khi đó g là tích trộn của các đại số Lie toàn phương mà mỗi đại số đó đều đẳng cấu đẳng cự vớig4.
Chúng ta tiếp tục với khái niệm đại số Lie toàn phương kì dị khả nghịch (tức là 𝐶̅ trong định nghĩa mở rộng kép là khả nghịch). Trong trường hợp này số chiều của đại số Lie phải là một số chẳn. Kí hiệu 𝑆𝑖𝑛𝑣(2𝑝+ 2) là tập hợp các cấu trúc như thế trên ℂ2𝑝+2 và
𝑆�𝚤𝑛𝑣(2𝑝+ 2) là tập hợp các lớp đẳng cấu của các phần tử trong 𝑆𝑖𝑛𝑣(2𝑝+ 2). Từ Định lý 2.9, ta dể dàng chứng minh được rằng khái niệm đẳng cấu và khái niệm đẳng cấu đẳng cự là tương đương đối với các phần tử trong tập hợp 𝑆𝑖𝑛𝑣(2𝑝+ 2). Để phân loại các lớp đẳng cấu trong 𝑆𝑖𝑛𝑣(2𝑝+ 2) ta tiến hành như sau: đặt 𝐼(𝑛) là tập hợp các phần tử khả nghịch trong
o(𝑛) và 𝐼̃(𝑛) là tập hợp các quỹ đạo phụ hợp của các phần tử trong 𝐼(𝑛). Chú ý rằng 𝐼(2𝑝+ 1) = ∅, do đó ta xét 𝑛 = 2𝑝.Định nghĩa tập hợp
𝐷 = �{(𝑑1, … ,𝑑𝑟)∈ ℕ𝑟 | 𝑑1 ≥ 𝑑2 ≥ ⋯ ≥ 𝑑𝑟 ≥1}
𝑟∈ℕ∗
và ánh xạ Φ∶ 𝐷 → ℕxác định bởi Φ(𝑑1, … ,𝑑𝑟) = ∑ 𝑑𝑟𝑖=1 𝑖. Ta giới thiệu tập hợp 𝑇𝑝 gồm tất cả các bộ ba (Λ,𝑚,𝑑) sao cho:
(1) Λ là tập con của ℂ\{0} với #Λ ≤2p và 𝜆 ∈Λ nếu và chỉ nếu −𝜆 ∈Λ. (2) 𝑚 ∶ Λ→ ℕ∗ thỏa mãn 𝑚(𝜆) = 𝑚(−𝜆) với mọi 𝜆 ∈ Λ và ∑𝜆∈Λ𝑚(𝜆) = 2𝑝. (3) 𝑑 ∶ Λ → 𝐷thỏa mãn 𝑑(𝜆) = 𝑑(−𝜆) với mọi 𝜆 ∈ Λ và Φ ∘ 𝑑 =𝑚.
Khi đó, với mỗi 𝐶̅ ∈ 𝐼(2𝑝), ta liên kết nó với mỗi bộ ba (Λ,𝑚,𝑑) của 𝑇𝑝 như sau: viết 𝐶̅ =𝑆+𝑁 với 𝑆 và 𝑁 lần lượt là các thành phần nửa đơn và lũy linh trong phân tích Jordan của 𝐶̅. Khi đó Λ là phổ của 𝑆, 𝑚 là bội của các phần tử thuộc Λ và 𝑑 là kích cỡ của khối Jordan của 𝑁. Do đó ta thu được một ánh xạ 𝑖:𝐼(2𝑝) → 𝑇𝑝 và ta có định lý sau:
Định lý 2.13. Ánh xạ 𝑖:𝐼(2𝑝) → 𝑇𝑝 cảm sinh một song ánh từ 𝐼̃(2𝑝)vào𝑇𝑝 và do đó tồn tại một song ánh giữa tập hợp𝑆�𝚤𝑛𝑣(2𝑝+ 2)và tập hợp𝑇𝑝/ℂ∗.
Sử dụng Phân tích Fitting và khái niệm mở rộng kép, ta định nghĩa các thành phần Fitting của một đại số Lie toàn phương kì dị giải được như sau: cho g là một đại số Lie toàn phương kì dị giải được, khi đó g được xem như một mở rộng kép của ℂ𝑛bởi 𝐶̅ ∈o(𝑛). Xét thành phần khả nghịch 𝐶̅𝐼 và thành phần lũy linh 𝐶̅𝑁 của 𝐶̅ trong Phân tích Fitting. Khi đó
g𝐼 =g𝐶̅𝐼 và g𝑁 =g𝐶̅𝑁 được gọi là các thành phần Fitting của g. Chú ý rằng g chính là tích trộn củag𝐼 và g𝑁, đồng thời g cũng được đặc trưng bởi các thành phần Fitting của nó nhờ định lý sau đây.
Định lý 2.14. Cho g và g' là hai đại số Lie toàn phương kì dị giải được. Gọig𝐼, g𝑁 và g'𝐼,
g'𝑁 lần lượt là các thành phần Fitting củagvàg', Khi đó ta có:
(1) gđẳng cấu đẳng cự vớig' nếu và chỉ nếu các thành phần Fitting tương ứng đẳng cấu đẳng cự. Kết quả vẫn còn đúng nếu thay khái niệm đẳng cấu đẳng cự bởi khái niệm đẳng cấu.
(2) g đẳng cấu đẳng cự với g' nếu và chỉ nếu chúng đẳng cấu với nhau. Do đó
𝑆�𝑠(𝑛+ 2) =𝑆�𝑠𝑖(𝑛+ 2).
Như vậy lớp các đại số Lie toàn phương kì dị giải được là lớp các đại số Lie toàn phương khá đặc biệt, ở đó khái niệm đẳng cấu tương đương với khái niệm đẳng cấu đẳng cự. Sự phân loại trong hai trường hợp lũy linh và khả nghịch kết hợp với định lý trên cho ta kết quả phân loại hoàn toàn lớp các đại số Lie toàn phương kì dị.
Chương 3. KẾT LUẬN