(d) có hệ số góc là k => a = k. Ta có phương trình: y = kx + b (d) đi qua điểm A(x0; y0) ⇔ y0 = kx0 + b
⇔ b = y0 – kx0
Vậy phương trình cần tìm là: y = kx+ y 0 – kx0
b) Gọi phương trình của đường thẳng (d) cần tìm có dạng: y = ax + b
( ) ( )d // d ' a k b m = ⇔ ≠ . Ta có phương trình y = kx + b
(d) đi qua điểm A(x0; y0) ⇔ y0 = kx0 + b
⇔ b = y0 – kx0
Vậy phương trình cần tìm là: y = kx+ y 0 – kx0
c) Gọi phương trình của đường thẳng (d) cần tìm có dạng: y = ax + b
( ) ( )d ⊥ d ' ⇔a.a '=−1 => Hệ số a suy ra phương trình đường thẳng (d) (d) đi qua điểm A(x0; y0) => Hệ số b
Kết luận: Phương trình cần tìm
Dạng 11: Tìm điểm cố định (chứng minh đường thẳng đi qua điểm cố định)(d):
y = ax + b.
Phương pháp giải:
Giả sử A(x0; y0) là điểm cố định mà (d) luôn đi qua với mọi giá trị của tham số. Ta có y0 = ax0 + b với mọi giá trị của tham số
Từ đó suy ra x0 và y0 = ? Kết luận:
Dạng 12: Toán về đồ thị hàm số có liên quan đến nội dung hình học: Tính khoảng cách, tính diện tích, tính chu vi, tìm điều kiện của tham số thoả mãn điều kiện cho trước.
Phương pháp giải:
Công thức tính khoảng cách giữa hai điểm A(x1; y1) và B(x2; y2)
( ) (2 )22 1 2 1 2 1 2 1
AB= x −x + y −y
Công thức tính toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB:
1 2 1 2 M M x x y y x ; y 2 2 + + = =
Công thức tính diện tích tam giác, tam giác vuông.
( 0 0)
M x ; y cách gốc toạ độ một khoảng bằng a ⇔OM = a ⇔ 2 2
0 0
x + =y a
( 0 0)
M x ; y cách đều hai trục toạ độ ⇔ x0 = y0
( 0 0)
M x ; y thuộc trục hoành Ox ⇔ y0 = 0
( 0 0)
M x ; y thuộc trục tung Oy ⇔ x0 = 0
Dạng 13: Tìm điều kiện của tham để toạ độ giao điểm của hai đường thẳng (d): y = ax + b cắt (d’): y = a’x + b’ thoả mãn điều kiện cho trước (nằm trong các góc phần tư, thuộc các trục toạ độ, đối xứng với M(x0; y0) qua các trục toạ độ hoặc qua gốc toạ độ; cách đều hai trục toạ độ, cách gốc toạ độ một khoảng a , thuộc đồ thị hàm số cho trước, thoả mãn hệ thức cho trước …)
Phương pháp giải:
Bước 1: Tìm toạ độ giao điểm của hai đường thẳng
Bước 2: Sử dụng điều kiện nằm trong các góc phần tư, trên các trục toạ độ, đối xứng qua các trục toạ độ, gốc toạ độ …. Từ đó suy ra giá trị của tham số.
Bài 1: Cho hàm số bậc nhất: y= −(3 2 x 2) + ( )d
a) Hàm số trên là hàm số đồng biến hay nghịch biến trên R ? Vì sao ? b) Tính giá trị của y khi x 3= + 2;
c) Tính giá trị của x khi y 8 2 2= − ;
d) Xác định hàm số bậc nhất y = ax + b (d’) để đồ thị của nó song song với (d) và đi qua điểm A 1;3 2(− ).
Bài 2: Cho hàm số y 2x 2 ( )1 3
= +
a) Vẽ đồ thị hàm số (1)
b) Gọi A và B thứ tự là giao điểm của đồ thị hàm số (1) với Ox và Oy. Tính diện tích tam giác OAB
c) Tính khoảng cách từ gốc toạ độ O đến AB
Bài 3: Cho hàm số y= m 1x 2n 3− + − (1) ( với m, n là các tham số) a) Với giá trị nào của m thì hàm số (1) là hàm số bậc nhất.
b) Với điều kiện của m ở câu a, tìm giá trị của m và n để đồ thị hàm số (1) trùng với đường thẳng y = 2x – 1.
c) Cho n = 0, hãy tìm m để đồ thị hàm số (1) đi qua điểm A(2; 0)
Bài 4: Cho hàm số y = (m – 1)x + m + 1 (1) (với m là tham số) 1. Xác định m để đồ thị hàm số (1):
b) Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng – 1; c) Căt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2 d) Song song với đường thẳng (d’): y = 2 x + 2
2. Chứng minh rằng đồ thị hàm số (1) luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m. Tìm điểm cố định đó.
Bài 5: Cho hàm số y = ax + (3a – 1) (d) với a là tham số Xác định a để (d):
a) Đi qua điểm M(1; 2)
b) Cắt đường thẳng (d’): y = ( 2 1 x 2+ ) +
c) Khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng (d) lớn nhất;
Bài 6: Cho đường thẳng (d): y 1 m x m 2= −( ) + − (với m là tham số) Tìm m để:
a) (d) cắt trục tung Oy tại điểm có tung độ bằng 3; b) (d) cắt trục hoành Ox tại điểm có hoành độ bằng – 2; c) (d); (d1): y = 3x – 2 và (d2): y = 2x + 1 đồng quy d) (d) tạo với trục Ox một góc nhọn.
Bài 7: Cho hàm số bậc nhất y = (2 – m)x + m – 1 (d) (với m là tham số) Xác định m để:
a) Hàm số đồng biến trên R; b) (d)//(d’): y = 3x + 2;
c) (d) cắt (d’’): y = – x + 4 tại một điểm trên trục hoành; d) (d) cắt (d’’): y = – x + 4 tại một điểm trên trục tung.
Bài 8: Cho đường thẳng: y= +(k 1 x k) + ( )d (với k là tham số) 1.Tìm k để đường thẳng (d):
a) Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1− 2
b) Cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2 c) Song song với đường thẳng (d’): y=( 3 1 x 3+ ) +
d) Cắt đường thẳng (d1): y = 2x – 1 tại điểm A có hoành độ bằng 3
2. Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của k.
Bài 9: Cho đường thẳng (d): y = x + 3a + 5 (với a là tham số) Tìm a để đường thẳng (d):
a) Đi qua điểm A 2;10( )
b) Cắt đường thẳng ( )∆ : y = 2 – 2x tại điểm B(x; y) thoả mãn: x2 + y2 = 40
Bài 10: Cho đường thẳng (d): y=(m 2 x n− ) + (với m, n là các tham số m ≠ 2) Tìm các giá trị của m và n trong mỗi trường hợp sau:
a) Đường thẳng (d) đi qua hai điểm A(– 1; 2) và B(3; – 4)
b) Đường thẳng (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2 + 2 và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1 – 2 .
c) Đường thẳng (d) cắt đường thẳng (d’): y 1x 3
2 2
d) Đường thẳng (d) song song với đường thẳng (d1): y 3x 1
2 2
=− +
e) Đường thẳng (d) trùng với đường thẳng (d2): y = 2x – 3
Bài 11: Cho hai đường thẳng (d): y = – x + 2m và (d’): y = 2x – (m + 6) với m là tham số
1. Tìm m để (d) và (d’):
a) Cắt nhau tại một điểm trên trục tung; b) Cắt nhau tại một điểm trên trục hoành;
c) Cắt nhau tại một điểm thuộc đường thẳng y = 2x + 1;
2. Tìm m để (d) cắt đường thẳng ( )∆ :y x 2= − tại điểm M(x; y) thoả mãn:
x2 + y2 = 6.
3. Chứng minh rằng (d) và (d’) luôn cắt nhau tại một điểm thuộc một đường thẳng cố định với mọi m.
Bài 12: a) Cho hai điểm A(1; – 2) và B(– 4; 3). Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A; B.
b) Viết phương trình của đường thẳng đi qua điểm C(– 1; – 4) và song song với đường thẳng AB.
Bài 13: Cho hàm số: y 1 k x k= −( ) + ( )d với k là tham số 1. Tìm k để (d):
a) Đi qua điểm A(2; 2014)
b) Song song với (d’): x – y + 3 = 0
c) Cắt hai trục toạ độ tạo thành tam giác có diện tích bằng 2; 2. Cho k = – 2, tìm toạ độ giao điểm của (d) và (d1): y = – 2x + 3
Bài 14: Cho hai hàm số bậc nhất:
( )2 2 y m x 1 d 3 = − ÷ + vày= −(2 m x 3) − ( )d ' với m là tham số Tìm m để: a) (d) và (d’) cắt nhau; b) (d)//(d’);
c) (d) và (d’) cắt nhau tại một điểm có hoành độ bằng 4.
Bài 15: Cho hai đường thẳng (d): y kx= +(m 2− ) và (d’): y= −(5 k x) (+ −4 m) với m, k là các tham số
Với điều kiện nào của m và k thì (d) và (d’): a) Cắt nhau;
b) Song song với nhau; c) Trùng nhau
d) Vuông góc với nhau.
Bài 16: Xác định hàm số bậc nhất y = ax + b, biết đồ thị của nó: a) Có hệ số góc bằng 2 và đi qua điểm A(3; 5);
b) Có hệ số góc bằng – 3 và cắt đường thẳng (d’): y 1x 2
3
= − tại điểm có hoành độ
bằng 3;
c) Song song với đường thẳng (d1): y 1x 7
2
=− + và cắt đường thẳng (d2): y = 2x – 3
d) Có tung độ gốc bằng – 3 và đi qua điểm M(1; 2)
Bài 17: Cho hàm số bậc nhất: y = (m – 2)x + m + 1 (m là tham số) 1. Với giá trị nào của m thì hàm số y là hàm số đồng biến trên R; 2. Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số đi qua điểm M(2; 6);
3. Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại A, cắt trục tung tại B (A và B không trùng với gốc toạ độ O). Gọi H là chân đường cao hạ từ O của tam giác OAB. Xác định giá trị
của m, biết OH= 2. Bài 18: Cho hàm số: y = (2m – 3)x + n – 4 (d) m 3 2 ≠ ÷
1. Tìm các giá trị của m và n để đường thẳng (d): a) Đi qua hai điểm A(1; 2) và B(3; 4);
b) Cắt trục tung tại điểm có tung độ y 3 2 1= − và cắt trục hoành tại điểm có hoành
độ x 1= + 2;
2. Cho n = 0, tìm m để đường thẳng (d) cắt đường thẳng (d’): x – y + 2 = 0 tại điểm M(x; y) sao cho biểu thức P = y2 – 2x2 đạt giá trị lớn nhất.
Bài 19: Cho hai đường thẳng (d): y = – x + m + 2 và (d’): y = (m2−2 x 4) + (với m là tham số)
1. Khi m = – 2, hãy tìm toạ độ giao điểm của (d) và (d’); 2. Tìm m để (d) và (d’):
a) Vuông góc với nhau;
b) Cắt nhau tại một điểm trên trục tung. Tìm toạ độ giao điểm khi đó. c) Cắt nhau tại một điểm trên trục hoành.
Bài 20: Cho hàm số: y=(m 2 x m 3− ) + + ( )d với m là tham số 1. Tìm m để (d):
a) Đi qua gốc toạ độ;
b) Cắt đường thẳng (d’): y = 3x + 2 tại điểm A có hoành độ bằng 2; c) Và các đường thẳng (d1): y = – x + 2; (d2): y = 2x – 1 đồng quy; d) Cắt hai trục toạ độ tạo thành tam giác cân;
2. Chứng minh rằng (d) luôn đi qua một điểm cố định khi m thay đổi.
Bài 21: Cho ba đường thẳng (d1): y= −(k 2 x k 3) + + ; (d2): y = – x – 5; (d3): y = 2x + 17
1. Tìm k để
a) (d1) và (d3) song song với nhau; b) (d1) ⊥ (d2)
c) (d1) và (d2) cắt nhau tại điểm M(x; y) đối xứng với I(– 2; 7) qua gốc toạ độ; d) (d1) cắt hai trục toạ độ Ox, Oy tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1;
2. Biết A, B lần lượt thuộc (d2) và (d3) và A, B đối xứng với nhau qua trục hoành Ox.
Tìm toạ độ của các điểm A, B.
Bài 22: Cho hàm số y = (m – 2)x + n (d) với m, n là các tham số 1. Tìm m và n để (d)//(d’): 3x + 2y = 1 và đi qua điểm M(1; 2); 2. Với n = 2, tìm m để:
a) (d) đi qua điểm A(m; 5)
a) Viết phương trình đường thẳng AB; b) Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng; c) Tính AB?;
d) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm C(1; – 1) và song song với đường thẳng OA (với O là gốc toạ độ).
k) Cho điểm D(1; 1). Viết phương trình đường trung tuyến AM của tam giác ABD. e) Tìm điểm M trên Oy: MB + MC ngắn nhất
f) Tìm điểm N trên Ox: NB NC− lớn nhất;
Bài 24: Cho ba điểm A(m; 5); B(– 1; – 7); C(1; – 1) a) Viết phương trình đường thẳng BC;
b) Tìm m để ba điểm A, B, C thẳng hàng; c) Tính BC?
d) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A tìm được ở trên và song song với đường thẳng chứa tia phân giác của góc phần tư thứ nhất.
Bài 25: Cho đường thẳng (d): y = 2x + m – 1 (với m là tham số) a) Khi m = 3, hãy tìm a để điểm A(a; – 4) thuộc đường thẳng (d);
b) Tìm m để đường thẳng (d) cắt hai trục toạ độ Ox, Oy lần lượt tại M, N sao cho tam giác OMN có diện tích bằng 1.
c) Tìm m để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng (d) bằng 2
Bài 26: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = 2x + 6
a) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M (3; 4) và song song với đường thẳng (d).
b) Tính khoảng cách từ gốc toạ O đến đường thẳng (d).
Bài 27: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = 2x + 3m – 4 (với m là tham số)
1. Tìm m để (d) đi qua điểm M(m2; 1);
2. Tìm m để (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ lớn hơn 1;
3. Tìm m để (d) cắt đường thẳng (∆): y = – 3x + 1 – 2m tại K(x; y) nằm trên đường
tròn tâm O, bán kính 5 .
Bài 28: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = (k – 1)x + n và hai điểm A(0; 2); B(– 1; 0).
1. Tìm các giá trị của n và k để:
a) Đường thẳng (d) đi qua hai điểm A và B;
b) Đường thẳng (d) song song với đường thẳng (∆): y = x + 2 – k;
2. Cho n = 2. Tìm k để đường thẳng (d) cắt trục Ox tại điểm C sao cho diện tích tam giác OAC gấp hai lần diện tích tam giác OAB.
Bài 29: Cho đường thẳng (∆): y = (m – 1)x + m2 – 4 (m là tham số). Gọi A, B lần
lượt là giao điểm của (∆) với Ox và Oy. Xác định toạ độ của A, B và tìm m để:
3OA = OB.
Bài 30: Cho hai hàm số bậc nhất y = (1 + 2m)x + 2 và y = (m2 + 3)x + 2. a) Tìm toạ độ giao điểm của hai đồ thị hai hàm số đã cho khi m = – 2;
b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đồ thị của hai hàm số trên luôn cắt nhau tại một điểm nằm trên trục tung.
Bài 31: Cho đường thẳng (d): y = (2m – 1)x + m – 2. 1. Tìm m để đường thẳng (d):
b) Song song với đường thẳng 2x + 3y – 5 = 0 c) Vuông góc với đường thẳng x + 2y + 1 = 0;
d) Không đi qua điểm B 1;1
2
−
÷
2. Chứng minh rằng (d) luôn đi qua một điểm cố định với mọi m
Bài 32: Cho hàm số y = (m2 – 5m)x + 3; a) Tìm m để hàm số là hàm số bậc nhất ?
b) Với điều kiện của m ở câu a, hãy tìm m để hàm số là hàm số nghịch biến ? c) Xác định m để đồ thị hàm số đi qua điểm A(1; – 3) ?
Bài 33: Cho đường thẳng (d): y = 2x + 6
a) Xác định a và b để (d) đi qua hai điểm A(a + 3; b) và B(2; b – 1) b) Tính khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng (d)
Bài 34: Cho đường thẳng (d): y = (m – 1)x + 2m – 3 với m là tham số Tìm m để đường thẳng (d):
a) Đi qua điểm A(1; 3) b) Đi qua gốc toạ độ;
c) Song song với đường thẳng (d’): 2x – y + 1 = 0
d) Trùng với đường thẳng (d1): y = 3x + 5
e) Cắt đường thẳng (d2): y = x + m – 1 tại điểm B(x; y) thoả mãn x2 + y2 = 4;
f) Cắt đường thẳng (d2): y = x + m – 1 tại điểm B(x; y) cách đều hai trục toạ độ
M(x0; y0)
M1 đối xứng với M qua Oy
⇒ M1(– x0; y0)
M2 đối xứng với M qua Ox
⇒ M2(x0; – y0)
M3 đối xứng với M qua O
⇒ M3(– x0; – y0)
M(x0; y0) cách đều hai trục toạ độ ⇔ x0 = y0
y x - y0 - x0 M2 M3 M1 y0 x0 O M
Hình học: