I. Kiến thức cơ bản cần nhớ
9. Vị trí tương đối của hai đường tròn.
Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;r) : R r≥ ; OO’ = d
Vị trí tương đối của (O) và (O’) Số điểmchung Hệ thức giữa d với R và r
(O) cắt (O’) 2 R – r < d < R + r
* (O) và (O’) tiếp xúc nhau
+ Tiếp xúc trong 1 d = R – r
+ Tiếp xúc ngoài 1 d = R + r
* (O) và (O’) không giao nhau
+) (O) và (O’) ở ngoài nhau 0 d > R + r
+) (O) đựng (O’) 0 d < R – r
Bài 1: Cho tam giác ABC có AB = 6cm; AC = 4,5cm; BC = 7,5cm. Đường cao AH
(H ∈ BC).Gọi E, F theo thứ tự là hình chiếu của H trên AB, AC.
a) Chứng minh tam giác ABC vuông tại A. b) Tính AH, BH, CH.
c) Chứng minh EF = AH và AE.AB = AF.AC.
d) Hỏi rằng điểm M mà diện tích tam giác MBC bằng diện tích tam giác ABC nằm trên đường nào ?
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, BC = 5cm; AB = 2AC. Phân giác của BAC·
cắt cạnh BC tại E. Từ E kẻ EM và EN lần lượt vuông góc với AB và AC tại M và N. a) Tính AB, AC;
b) Tính BE, EC;
c) Tứ giác AMEN là hình gì ? Tại sao ? d) Tính chu vi và diện tích tứ giác AMEN.
Bài 3: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a (a > 0). Gọi M là một điểm bất kì thuộc cạnh AB. Tia DM và tia CB cắt nhau tại N. Qua D vẽ tia Dx vuông góc với DN, Dx cắt đường thẳng CB tại E. Gọi F là trung điểm của ME. Chứng minh rằng: a) Tam giác DME vuông cân;
b) Bốn điểm D, E, C, F cùng nằm trên một đường tròn.
c) 1 2 1 2 12
DM +DN =a
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, C 30µ = 0, BC = 10cm. Từ A kẻ AM, AN lần
lượt vuông góc với Bm, Bn là các đường phân giác trong và ngoài của ABC .·
a) Tính AB, AC;
b) Chứng minh: MN//BC và MN = AB;
c) Chứng minh hai tam giác MAB và ABC đồng dạng. Tìm tỉ số đồng dạng.
Bài 5: Cho đường tròn (O; R) đường kính AD. Gọi M là trung điểm của OA, qua M kẻ dây BC vuông góc với AD. Gọi I là giao điểm của OC và BD.
a) Tứ giác ABOC là hình gì ? Tại sao ? b) Chứng minh OC//AB.
c)Chứng minh I thuộc đường tròn đường kính OD. d) Chứng minh O là trực tâm tam giác BCD.
Bài 6: Cho đường tròn (O; R) đường kính AB, điểm M thuộc bán kính OA, dây CD vuông góc với OA tại M. Lấy điểm E thuộc AB (E ≠ A) sao cho ME = MA.
a) Tứ giác ACED là hình gì ? Tại sao ?
b) Đường tròn tâm O’ đường kính EB cắt BC tại I. Chứng minh ba điểm D, E, I thẳng hàng.
c) Cho AM R
3
= . Tính diện tích tứ giác ACBD theo R.
Bài 7: Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Gọi M là một điểm nằm giữa A và B. Qua M vẽ dây CD vuông góc với AB. Lấy điểm E đối xứng với A qua M.
a) Tứ giác ACED là hình gì ? Tại sao ?
b) Cho R = 6,5cm và MA = 4cm, hãy tính CD.
c) Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của M trên CA và CB. Chứng minh rằng:
3
MC MH.MK
2R
Bài 8: Cho tam giác ABC nhọn. Vẽ đường tròn tâm O đường kính BC, nó cắt AB, AC theo thứ tự tại D, E. Gọi K là giao điểm của BE và CD. Chứng minh rằng:
a) CD ⊥ AB; BE ⊥ AC;
b) AK ⊥ BC;
c) AD.AB = AE.AC
Bài 9: Cho đường tròn (O), hai dây AB và AC vuông góc với nhau biết AB = 10; AC = 24.
a) Tính khoảng cách từ tâm O đến mỗi dây AB, AC; b) Chứng minh ba điểm B, O, C thẳng hàng;
c) Tính đường kính của đường tròn (O).
Bài 10: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax và By cùng phía với nửa đường tròn. Qua một điểm M thuộc nửa đường tròn đã cho, kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax và By lần lượt ở C và D. Các đường thẳng AD và BC cắt nhau tại N; MN cắt AB tại K.
1. Chứng minh rằng: a) CD = AC + BD;
b) MN//AC; (MN ⊥ AB)
c) CD.MN = CM.DB; d) COD 90· = 0;
e) Tích AC.BD không đổi khi M di chuyển trên nửa đường tròn; f) MN = NK;
2. Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác ACDB nhỏ nhất.
3. Gọi I là giao điểm của OC và AM, K là giao điểm của OD và BM. Tứ giác MIOK là hình gì ? Tại sao ? 4. Chứng minh: IK = R
4. Xác định vị trí của điểm M để tứ giác MIOK là hình vuông.
5. Gọi E là giao điểm của IK và OM. Khi M di chuyển trên nửa đường tròn thì E di chuyển trên đường nào ?
Bài 11: Cho đường tròn tâm O bán kính OA = R, dây BC vuông góc với OA tại trung điểm M của OA. Kẻ đường kính CD.
a) Tứ giác OCAB là hình gì ? Tại sao ? b) Chứng minh rằng BD//OA;
c) Kẻ tiếp tuyến tại B của (O), nó cắt đường thẳng OA tại E. Tính EB theo R. d) Chứng minh EC là tiếp tuyến của (O).
e) Tam giác ABO đều
f) Kẻ đường kính AE. Chứng minh tam giác BCE đều
Bài 12: Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB, M là một điểm điểm bất kì trên nửa đường tròn đó (M khác A, B). Vẽ đường tròn tâm M tiếp xúc với AB tại H. Từ A và B vẽ hai tiếp tuyến AC và BD với đường tròn (M); (C, D là các tiếp điểm). Chứng minh rằng:
a) MAH MAC· =· ; b) AC//BD;
c) Ba điểm C, M , D thẳng hàng;
d) CD là tiếp tuyến của đường tròn (O);
e) AC + BD không đổi khi M di chuyển trên nửa đường tròn (O; R).
Bài 13: Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Qua A và B vẽ lần lượt hai tiếp tuyến (d) và (d’) với đường tròn (O). Một đường thẳng qua O cắt đường thẳng (d) ở
M và cắt đường thẳng (d’) ở P. Từ O vẽ một tia vuông góc với MP và cắt đường thẳng (d’) tại N.
a) Chứng minh OM = OP và tam giác NMP cân;
a1) Tứ giác AMBP là hình bình hành (AP//MB; AP = MB)
b) Hạ OI vuông góc với MN tại I. Chứng minh OI = R và MN là tiếp tuyến của đường tròn (O);
c) Chứng minh AM.BN = R2;
d) Tìm vị trí của M để diện tích tứ giác AMNB nhỏ nhất. Vẽ hình minh hoạ.
Bài 14: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 4cm. Điểm M thuộc cạnh AB. Vẽ đường tròn (O) đường kính DM.
a) Cho 4AM = 3AB. Tính bán kính đường tròn (O); b) Chứng minh BC là tiếp tuyến của (O);
c) Gọi N là giao điểm của DM và BC. Chứng minh rằng tổng 1 2 1 2
DM +DN không
đổi nếu điểm M di chuyển trên cạnh AB.
Bài 15: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH (H thuộc BC). Gọi O là giao điểm của tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, d là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A. Các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và C cắt d theo thứ tự ở D và E. a) Tính DOE ;·
b) Chứng minh DE = BD + CE;
c) Chứng minh BD.CE = R2 (R là bán kính của đường tròn (O));
d) Chứng minh BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính DE;
Bài 16: Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC, B thuộc (O), C thuộc (O’). Tiếp tuyến chung trong tại A cắt tiếp tuyến chung ngoài BC tại M. Gọi E là giao điểm của OM và AB, F là giao điểm của O’M và AC. 1. Chứng minh rằng: a) BAC 90· = 0; b) OMO' 90· = 0 c) Tứ giác AEMF là hình chữ nhật; d) ME.MO = MF.MO’;
e) OO’ là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là BC; f) BC là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là OO’; 2. Cho OA = 9cm, O’A = 4cm. Tính độ dài BC.
Bài 17: Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ các đường kính AOB, AO’C. Gọi DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn, D thuộc (O), E thuộc (O’). Gọi M là giao điểm của BD và CE.
a) Tính số đo góc DAE;
b) Tứ giác ADME là hình gì ? Vì sao ?
c) Chứng minh rằng MA là tiếp tuyến chung của hai đường tròn.
Bài 18: Cho đường tròn (O), đường kính AB, điểm M thuộc đường tròn. Vẽ điểm N đối xứng với A qua M, BN cắt đường tròn ở C. Gọi E là giao điểm của AC và BM.
a) Chứng minh rằng NE ⊥ AB;
b) Gọi F là điểm đối xứng với E qua M. Chứng minh rằng FA là tiếp tuyến của đường tròn (O);
c) Chứng minh rằng FN là tiếp tuyến của đường tròn (B; BA).
d) Chứng minh BM.BF = BF2 – FN2
Bài 19: Cho đường tròn (O; R) và một điểm A cố định trên đường tròn đó. Qua A vẽ tiếp tuyến xy. Từ một điểm M trên xy vẽ tiếp tuyến MB với đường tròn (O). Hai đường cao AD và BE của tam giác MAB cắt nhau tại H.
a) Chứng minh rằng ba điểm M, H, O thẳng hàng; b) Chứng minh rằng tứ giác AOBH là hình thoi;
c) Khi điểm M di động trên xy thì điểm H di động trên đường nào ?
Bài 20: Cho tam giác đều ABC, O là trung điểm của BC. Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm di động D, E sao cho DOE 60· = 0.
a) Chứng minh rằng tích BD.CE không đổi;
b) Chứng minh rằng BOD∆ # OED∆ , từ đó suy ra tia DO là tia phân giác của góc
BDE;
c) Vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với AB. Chứng minh rằng đường tròn này luôn tiếp xúc với DE.
Bài 21: Cho đường tròn (O; R) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB và AC (B; C là tiếp điểm). Kẻ đường kính BD, đường thẳng vuông góc với BD tại O cắt đường thẳng DC tại E.
1. Chứng minh
a) OA ⊥ BC và DC//OA
b) Tứ giác AEDO là hình bình hành c) Tứ giác ABOE là hình chữ nhật d) Tứ giác AECO là hình thang cân
2. Đường thẳng BC cắt OA và OE lần lượt tại I và K. Chứng minh:
IK.IC + OI.IA = R2
Bài 22: Cho đường tròn tâm O đường kính AB, E nằm giữa A và O, vẽ dây MN đi qua E và vuông góc với AB. Gọi C đối xứng với A qua E. Gọi F là giao điểm của NC và MB. Chứng minh:
a) Tứ giác AMCN là hình thoi;
b) NF ⊥ MB;
c) EF là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC.
Bài 23: Cho đường tròn (O; R) và dây BC khác đường kính. Qua O kẻ đường vuông góc với BC tại I, cắt tiếp tuyến tại B của đường tròn ở điểm A, vẽ đường kính BD. a) Chứng minh CD//OA;
b) Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn (O);
c) Đường thẳng vuông góc với BD tại cắt BC tại K. Chứng minh:
IK.IC + OI.IA = R2
Bài 24: Cho đường tròn (O; 5cm), đường kính AB. Lấy điểm E thuộc AB sao cho BE = 2cm. Qua trung điểm H của đoạn AE vẽ dây CD vuông góc với AB.
a) Tứ giác ACED là hình gì ? Vì sao ?
b) Gọi I là giao điểm của DE và BC. Chứng minh rằng: I thuộc đường tròn đường kính EB.
c) Chứng minh HI là tiếp tuyến của đường tròn tâm O’ đường kính EB. d) Tính độ dài HI.
a) Hai đường tròn (O) và (O’) có vị trí tương đối như thế nào đối với nhau ? Giải thích ?
b) Kẻ dây CD của đường tròn (O) vuông góc với AO tại trung điểm H của AO. Tứ giác ACOD là hình gì ? Vì sao ?
c) Tính độ dài AC ? CB ?
d) Tia DO cắt đường tròn (O’) tại K. Chứng minh B, K, C thẳng hàng ?
Bài 26: Cho đường tròn (O; R) và một điểm A nằm ngoài đường tròn (O) sao cho OA = 2R. Từ A vẽ tiếp tuyến AB của đường tròn (O); (B là tiếp điểm).Từ B vẽ dây cung BC của (O) vuông góc với cạnh OA tại H. Từ H vẽ đường thẳng vuông góc với AB tại D. Đường tròn đường kính AC cắt cạnh DC tại E. Gọi F là trung điểm của cạnh OB.
1) Tính độ dài AB theo R
2) Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn (O) 3) Chứng minh tam giác ABC đều
4) Chứng minh ba điểm A, E, F thẳng hàng
Bài 27: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH (H thuộc BC). Đường tròn tâm O đường kính AH cắt AB, AC tại E, F.
a) Chứng minh tứ giác AEHF là hình chữ nhật
b) Chứng minh ∆AEF #∆ACB
c) Đường thẳng qua A và vuông góc với EF cắt BC tại M. Chứng minh MB = MC d) Chứng minh
33 3
AB BE
AC =CF
Bài 28: Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 10cm. Điểm I nằm giữa A và O sao
cho OI = 3
2IA. Vẽ dây cung CD vuông góc với OA tại I. Nối AC; BC.
a) Chứng minh rằng: AC2 = AI.AB.
b) Tính độ dài dây CD.
c) Gọi H là trung điểm của IC. Qua H vẽ đường thẳng vuông góc với CO cắt CO tại M và cắt đường tròn (O) tại E; F. Chứng minh rằng AB là tiếp tuyến của đường tròn tâm C bán kính CE.
Bài 29: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, tia tiếp tuyến Bx. Qua C thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt Bx tại M, cắt tia AC tại N.
a) Chứng minh OM ⊥ BC
b) Chứng minh M là trung điểm của BN