Trong mục trên, ta đã trình bày quy tắc lặp của số nguyên tố ptrong {Dn}. Ở mục này ta quy tắc phân bố của m trong {Dn} khi m > 1. Theo Mệnh đề 2.1.3, nếu p là số nguyên tố lẻ và p|R, thì p - Dn (n ≥ 0). Do đó, nếu m lẻ, m| Dn thì gcd(m, R) = 1.
Định nghĩa 2.2.1 ([2, tr. 142]). Cho m là một số nguyên. Ký hiệu ω =ω(m) là giá trị dương n nhỏ nhất thỏa mãn m|Dn (nếu nó tồn tại). Khi đó ω được gọi là hạng phân bố của m trong {Dn}.
Cho f(x) = x3−P x2+Qx−R, gọiK là mở rộng tách được (splitting field) của f(x) trong Fp[x].
Định lý 2.2.2 ([2, tr. 142]). Giả sử p là một số nguyên tố, p - 2R∆ và K là mở rộng tách được của f(x) trong Fp[x]. Nếu α, β, γ là các nghiệm của f(x) trong K, thì p| Dn khi và chỉ khi αn =βn =γn trong K.
Chứng minh. (⇒) Nếu p| Dn, thì p| Un, nên không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử αn =βn. Vì
Do p| Wn−6Rn suy ra
2βn(αn −γn)2 ≡ (αn−βn)(βn −γn)(αn +γn) (mod p). Do đó αn = γn.
(⇐) Mặt khác, nếu αn = βn = γn, thì hiển nhiên p| Dn.
Định lý 2.2.3 ([2, tr. 142]). Giả sử p là một số nguyên tố thỏa mãn p- 2R∆ và giả sử tồn tại ω = ω(p) trong {Dn}. Nếu p| Dn, thì ω | n.
Chứng minh. Vì p| Dn và p | Dω, theo định lý trên ta có αn = βn =γn và αω =βω = γω trong K. Nếu ω - n, thì n=ωq +r, trong đó 0< r < ω. Khi đó
αωq+r =βωq+r =γωq+r, kéo theo
αr = βr = γr.
Suy rap | Dr, mâu thuẫn với định nghĩa của ω là số nhỏ nhất thỏa mãn p| Dω. Do đó, ta có r = 0 và ω | n.
Bổ đề 2.2.4 ([1]). Nếu p - 2∆R, thì p|Dn khi và chỉ khi γn 1 = γn
2 = γn 3 = 1 trong Kp.
Chứng minh. Nếu γ1n = γ2n = γ3n = 1 trong Kp, thì theo (1.7) và (1.8) ta có p|Wn − 6Rn và p|Un; cho nên, p|Dn. Nếu p|Dn, theo Định lý 2.2.2, αn =βn =γn. Từ đó γn 1 = α n βn = 1. Tương tự γn 2 = γn 3 = 1.
Hệ quả 2.2.5 ([1]). Nếu p - 2∆R và tồn tại ω = ω(p) của p trong {Dn}, thì p|Dn khi và chỉ khi ω|n.
Chứng minh. Nếu ω|n thì p| Dn bởi vì {Dn} là dãy chia được. Mặt khác, theo Định lý 2.2.3, nếu p| Dn thì ω | n. Suy ra điều phải chứng minh.
Chương 3
Dãy {En}
Khi nghiên cứu dãy {Wn} và {Un}, Roettger phát hiện một số kết quả liên quan dãy{En}, trong đóEn = gcd(Wn, Un). Dãy này có một số tính chất tương tự dãy Lucas{vn}. Nội dung chính của Chương 3 xin được trình bày định nghĩa và các tính chất cơ bản của dãy {En} chủ yếu dựa theo tài liệu tham khảo [1] và [2].