Bổ đề 3.2.1 ([1]). Cho p là một số nguyên tố và p > 3. Nếu p|En, thì trong
Fp ta có
γin = 1, γj2n +γjn + 1 = 0, trong đó i∈ {1,2,3} và mọi j ∈ {1,2,3} sao cho j 6= i.
Chứng minh. Nếu p - ∆ và p|Un, không mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng γ1n = 1 trong Fp. Nếu p|∆, không mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng γ1 = 1 (và γn 1 = 1) trong Fp. Ta có Wn =Vn −2Rn =Rn(1 +γ1n)(1 +γ2n)(1 +γ3n)−2Rn = 2Rn(γ2nγ3n+γ2n+γ3n) = 2Rn(1 +γ2n+ 1/γ2n) = 2Rn(1 + 1/γ3n +γ3n), trong đó kết quả cuối cùng được rút ra từ γn
1 = 1 và γn 1γn
2γn
3 = 1. Vì Wn = 0 trong Fp, ta có γ22n +γ2n + 1 =γ32n+γ3n+ 1 = 0.
Bổ đề 3.2.2 ([1]). Nếu p (>3) là số nguyên tố, thì p- gcd(En,Γ).
Chứng minh. Nếu p|Γ, thì theo (1.16) γ1 =γ2, hoặc γ2 = γ3, hoặc γ3 =γ1 trong Kp. Nếu p|En, thì theo Bổ đề 3.2.1 ta có thể giả sử rằng γ1n = 1 và γ22n + γ2n + 1 = 0 trong Kp. Nếu γ1 = γ2, thì γ2n = 1, γ22n = 1, nên 3 = γ2n
2 +γn
2 + 1 = 0 điều này là không thể vì p > 3. Chúng ta cũng có kết quả tương tự nếu γ2 =γ3 hoặc γ3 =γ1.
Bổ đề 3.2.3 ([1]). Nếu p (>3) là số nguyên tố, p|∆ và p|En, thì p ≡(Γ/p) (mod 3).
Chứng minh. Vìp|∆, không mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằngγ1 = 1 và do đó γ2γ3 = 1 trong Kp =Fp2. Hơn nữa, theo Bổ đề 3.2.1 ta có nếu p|En thì
γ22n +γ2n + 1 = 0 trong Kp. Cho nên, γ3n
2 = 1 và γn
2 6= 1 trong Kp. Theo Bổ đề 3.2.2, p- Γ và Γp−12 = (γ1−γ2)p−1(γ2−γ3)p−1(γ3−γ1)p−1
= (1−γ2p)(γ2p−γ3p)(γ3p−1)
(1−γ2)(γ2−γ3)(γ3−1). (3.3) Nếu γ2 ∈ Fp, thì Γp−12 = 1. Ngoài ra, từ γ2pn = γ2n, ta có γ2(p−1)n = 1, vì γ2n 6= 1 điều này có nghĩa 3|p−1 và p ≡ (Γ/p) (mod 3). Nếu γ2 ∈ Fp2\Fp, thì theo (3.3) γ2p = γ3 và γ2(p−1)n = −1. Bởi vì γ2pn = γn
3 = 1/γn
2 và γ2(p+1)n = 1, ta thu được 3|p+ 1 và suy ra p≡ (Γ/p) (mod 3).
Định lý 3.2.4 ([1]). Nếu p là số I-nguyên tố thì p- En.
Chứng minh. Nếu p là số I-nguyên tố, theo Bổ đề 1.2.6 (iii) ta có γ1p = γ2ε, γ2p =γ3ε, γ3p =γ1ε trong Kp. Nếu p|En, thì theo Bổ đề 3.2.1, ta có γ1n = 1 và γ22n+γ2n+ 1 = 0. Từ đó, γ2p2 = γ3εp = γ1ε2 = γ1 và γ2p2n = γ1n. Suy ra, 0 = (γ22n +γ2n + 1)p2 = 3, mâu thuẫn. Bổ đề 3.2.5 ([1]). Nếu p (> 3) là số nguyên tố, p- d, p|S1+ 2R và p|En, thì p ≡(Γ/p) (mod 3). Chứng minh. Vì p|S1+ 2R và S1 + 2R = R(γ1 + 1)(γ2+ 1)(γ3+ 1), ta có thể giả sử rằng γ1 = −1 và γ2γ3 = −1 trong Fp. Ta có (γ1+γ2)(γ2+γ3)(γ3+γ1) = −(γ22 + 1/γ22−2).
Vì S1 ≡ −2R (mod p), theo (1.10) ta thu được S3 ≡ −2RS2 (mod 0) và g(x) = (x+ 2R)(x2+S2)∈ Fp[x]. Vì ρ1 = R(γ1 + 1/γ1) = −2R, ta thu được ρ22 = ρ23 = −S2 và γ22 + 1/γ22 = ρ2 2/R2−2 = −S2/R2−2∈ Fp. Từ đó suy ra (γ1+γ2)(γ2+γ3)(γ3+γ1)∈Fp và ((γ12−γ22)(γ22−γ32)(γ32−γ12))p−1 = ((γ1−γ2)2(γ2−γ3)2(γ3−γ1)2)p−12 = (Γ/p). (3.4) Vì γ22+ 1/γ22 ∈ Fp, ta có γ22,1/γ22 ∈ Fp2 và γ22p =γ22 hay γ22p = γ32. Vì p- d, theo (3.4) ta thấy (Γ/p) = 1 nếu γ22p =γ2 2 và (Γ/p) =−1 nếu γ22p = γ2 3.
Nếu p|En thì theo Bổ đề 3.2.1, ta có γin = 1 với một vài i ∈ 1,2,3 và γj2n+γjn+ 1 = 0 (j 6= i). Vìγi = −1, ta thấy rằngi = 1và 2|n. Nếu (Γ/p) = 1 thì γ2np = γ2n và γ2n(p−1) = 1. Vì γ23n = 1 và γ2n 6= 1, ta thấy rằng 3|p− 1 và p≡ (Γ/p) (mod 3). Nếu (Γ/p) = −1, thì γ2np = γ3n = 1/γ2n và γ2n(p+1) = 1, cho nên 3|p+ 1 và p≡ (Γ/p) (mod 3).
Định lý 3.2.6 ([1]). Nếu p (>3) là số I-nguyên tố ước của En, thì p ≡(Γ/p) (mod 3).
Chứng minh. Ta đã chứng minh kết quả này trong trường hợp p|d và khi p- d và p|S1+ 2R. Bây giờ, ta xét trường hợp p - d và p - S1 + 2R. Vì p|En, theo Định lý 3.2.4, p chỉ có thể là S-nguyên tố hoặc Q-nguyên tố. Nếu p là S-nguyên tố thì 1 = (d/p) = (∆/p)(Γ/p) và (Γ/p) = ε; nếu p là Q-nguyên tố thì −1 = (d/p) = (∆/p)(Γ/p) và (Γ/p) =−ε.
Giả sử p là S-nguyên tố, theo Bổ đề 1.2.6 (i), ta có γip = γε
i (i = 1,2,3) trong Kp. Theo Bổ đề 3.2.1, ta có γ23n = 1, γ2n 6= 1; ngoài ra γ2np = γ2nε tức là γ2(p−ε)n = 1 và 3|p−ε.
Tương tự, nếu p là Q-nguyên tố, theo Bồ đề 1.2.6 (ii), ta có γ2p =γ3ε, γ3p = γ2ε, γ3p = γ1ε
trong Kp. Trong trường hợp này ta được γ2pn = γ3εn = (1/γ2)εn và γ2n(p+ve) = 1, γ3n
2 = 1 và γn
2 6= 1. Do đó 3|p+ε và trong cả hai trường hợp p ≡ (Γ/p) (mod 3).
Để mở rộng Định lý 3.2.6, ta sẽ chứng minh kết quả sau. Định lý 3.2.7 ([1]). Với bất kỳ n > 0, ta có En|D3n.
Chứng minh. Ta có thể viết (1.19) thành
W3n −6R3n = (Wn−6Rn) ˜Qn + ∆WnUn2, (3.5) trong đó Qn˜ = (Wn −∆Un)/4. Giả sử p là số nguyên tố lẻ bất kỳ và pλkEn, trong đó λ ≥ 1. Vì pλ|Un, ta có pλ|U3n. Ngoài ra, theo (3.5) p2λ|Qn˜ và pλ|W3n −6R3n. Tiếp theo ta giả sử 2λkEn và λ ≥ 1. Ta có 2|Wn − 6Rn và 22λ−2|Q˜n,2λ|Un. Theo (3.5) ta thấy rằng 22λ−1|W3n−6R3n và vì λ ≥ 1, ta có 2λ−1≥ λ và 2λ|D3n. Do đó, En|D2n.
Định lý 3.2.8 ([1]). Nếu p (> 3) là số nguyên tố và p|En thì p ≡ (Γ/p) (mod 3v+1), trong đó 3vkn.
Chứng minh. Vìp|En vàp >3ta cóp- 6Rnênp- Dn. Nhưng theo Định lý 3.2.7, ta biết rằngp|D3n. Do đó, nếuωlà hạng phân bố củaptrong{Dn}, ta có w|3nvà ω - n. Từ đó 3v+1|w. Ngoài ra vì p không là I-nguyên tố và p- 6R, ta cóω =phay ω|p2−1theo các kết quả trong§3. Vì 3|ω ta không thể cóω =p và do đó ω|p2−1và3v+1|p2−1. Vìp- Γ, ta cóp2−1 = (p−(Γ/p))(p+ (Γ/p)) và 3|p−(Γ/p). Do đó 3v+1|p−(Γ/p).
Chương 4