Các dạng bài tập liên quan tới căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai

bậc hai

Dạng 1. Xác định căn bậc hai, giải phương trình bậc hai Phương pháp giải

Xác định căn bậc hai của số phức



a bi (x iy )



Hệ thức Vi-ét vẫn đúng cho phương trình bậc hai với hệ số phức

Nếu z₁, z₂ là hai nghiệm của phương trình

Az

BzC0(A0)

1 2

^B;

^C

z z z z

A A

   

Bài toán 8.

a) Tìm căn bậc hai của số phức z = – 5 + 12i và z = – 5 – 12i.

b) Phân tích đa thức sau thành nhân tử với hệ số nguyên

(x

1)

(x3) .

*) Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán

(?) Bài toán yêu cầu gì?

(!) Bài toán yêu cầu tìm căn bậc hai và phân tích đa thức thành nhân tử.

*) Bước 2: Xây dựng chương trình giải

a) (?) Sử dụng i² = –1 hãy biến đổi hai số phức đã cho thành bình phương của một biểu thức.Từ đó kết luận căn bậc hai của chúng.

(!) z = – 5 + 12i = 4 + 12i + 9i² = (2 + 3i)²;

z = – 5 – 12i = 4 – 12i + 9i² = (2 – 3i)² .

b) (?) Đưa tổng hai bình phương đã cho về hiệu hai bình phương để dùng hằng đẳng

thức a² – b².

(?) Đưa biểu thức về tích của hai đa thức bậc hai hệ số phức. Để đưa đa thức đã cho về tích các nhân tử với hệ số nguyên ta có thể sử dụng PP nào?

(!) Sử dụng cách giải của PT bậc hai để phân tích.

*) Bước 3: Thực hiện chương trình giải a) Do z = – 5 + 12i = 4 + 12i + 9i² = (2 + 3i)²

nên căn bậc hai của z là hai số phức 2 + 3i và – 2 – 3i. Do z = – 5 – 12i = 4 – 12i + 9i² = (2 – 3i)²

nên căn bậc hai của z là hai số phức 2 – 3i và –2 + 3i.

b)

(x

1)

(x3)

(x

1)

i x

( 3)

(x

ix 1 3 )(  i x

+ix 1 3 )  i

Bằng cách giải các PT bậc hai

x

ix 1 3  i0

x

+ix 1 3  i0

2

1 3 ( 1 )( 1 2 )

x ix  i x i x  i

1 3 ( 1 )( 1 2 )

x ix  i x i x  i



(x 1) (x3)

(x 1 i x)(  1 2 )i (x 1 i x)(  1 2 )i

(x 1 i x)(  1 i) ( x 1 2 )(i x 1 2 )i 



(x 1) (x3)

(x

2x2)(x

2x5).

*) Bước 4: Kiểm tra, nghiên cứu lời giải

- Qua bài toán trên HS được rèn luyện cách tìm căn bậc hai của một số phức bằng cách đưa số phức về bình phương của một biểu thức. Và rèn cho HS sử dụng thành

thạo công thức i² = – 1 vào biến đổi các biểu thức.

-Tương tự cách giải bài toán trên HS có thể làm các bài tương tự như Phân tích đa thức sau thành nhân tử với hệ số nguyên:

a)

(3x

5x4)

(5x3) ;

(x1)

(x

 x 1) .

Bài toán 9. Giải phương trình sau trên tập số phức z² + (i – 5)z + 8 – i = 0.

*) Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán

(?) Bài toán yêu cầu gi? (!) Yêu cầu giải phương trình.

(?) Nêu lại cách giải của phương trình bậc hai az² + bz + c = 0?

Áp dụng để giải PT đã cho.

*) Bước 3: Thực hiện chương trình giải a) z² + (i – 5)z + 8 – i = 0. Ta có  = – 8 – 6i.

Gọi w = x + yi (x, y  ) là một căn bậc hai của . Khi đó ta phải có –8–6i = (x + yi)² 2 2 1 8 3 2 6 x x y y xy              _  

Vậy các nghiệm của phương trình là: z1 = 2+i ; z2 =3–2i; *) Bước 4: Kiểm tra, nghiên cứu lời giải

(?) Hãy nêu cách giải khác cho bài toán.

(!) z² + (i – 5)z + 8 – i = 0. Ta có:  = – 8 – 6i. Ta tìm căn bậc hai của  bằng cách phân tích  = 9i² – 2.3i.1 + 1 = (3i – 1)².

Khi đó các nghiệm của (1) là z1 = 2 + i, z2 = 3 - 2i.

(?) GV có thể đưa ra dạng toán: Cho phương trình có chứa tham số và yêu cầu xác định tham số đó khi biết các điều kiện về nghiệm của PT.

Dạng 2. Phương trình quy về phương trình bậc hai, hệ phương trình

Phương pháp giải

Việc giải các hệ phương trình trên tập số phức tương tự trên tập số thực, ta thường sử dụng phương pháp thế, phương pháp cộng , đặt ẩn phụ...

Việc giải các phương trình có bậc lớn hơn 2 thường sử dụng phương pháp phân tích thành nhân tử, đặt ẩn phụ,...để chuyển về dạng bậc hai.

Chú ý cách giải các dạng phương trình với hệ số thực đã biết. Bài toán 10. Giải các phương trình sau trên tập số phức:

a)(z² + 1)(z² + 8iz – 15) = 105 b) (z – 1)⁴ + (z + 3)⁴ + 128 = 0. Đây là tình huống gợi vấn đề bởi vì HS chưa có một qui tắc mang tính chất thuật giải để giải quyết bài toán trên. Tuy nhiên HS đã biết cách giải phương trình bậc hai

có dạng: az² + bz + c = 0.

*) Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán

*) Bước 2: Xây dựng chương trình giải

(?) Phân tích hai biểu thức z² + 1 và z² + 8iz – 15 thành các nhân tử. (!) (z² + 1)(z² + 8iz – 15) = (z – i)(z + i)(z + 3i)(z + 5i).

(?)Ta có bốn nhân tử, ghép thành hai nhóm sao cho ta nhận được một biểu thức mới chứa nhóm chứa biến giống nhau. Từ đó sử dụng PP đặt ẩn phụ để giải PT a). (?) Nêu cách giải phương trình (x – a)⁴ + (x – b)⁴ = c với x .

(!) Đặt

2

a b

t x ^

trình bậc bốn trùng phương.

(?) Tương tự, hãy đưa ra cách giải cho phần b).

(!)Đặt x = z + 1. Đưa về phương trình bậc bốn trùng phương với ẩn x. *) Bước 3: Thực hiện chương trình giải

a) (z² + 1)(z² + 8iz – 15) = 105  (z – i)(z + i)(z + 3i)(z + 5i) = 105

 (z² + 4iz – 3) (z² + 4iz + 5) = 105.

Đặt t = z² + 4iz – 3. PT trở thành t (t + 8) = 105 nên t = – 15 hoặc t = 7

2 ; 6 ; 2 6

z i z i z i

      

Vậy phương trình có bốn nghiệm là:

1 2 ; 1 2 ; 1 2 5 ; 1 2 5 .

z   i z   i z   i z   i

*) Bước 4: Kiểm tra, nghiên cứu lời giải

(?) Hãy lập bài toán tổng quát cho bài toán ở phần b) và nêu cách giải cho bài toán đó.

(!) Cho phương trình: (z – a)⁴ + (z – b)⁴ = c.

Đặt ẩn phụ

2

a b

x z ^

Giải phương trình trùng phương đó tìm x. Từ đó ta tìm được nghiệm z của phương

trình đã cho.

(?) Một số bài toán tương tự. Giải các PT sau

a) z³ + 8 = 0;

b) z³ +2(1 – i)z² + (2 + 3i)z + 1 + 5i = 0; c) (z – i)⁴ + (z + 3i)⁴ = 256.

Bài toán 11. Cho PT az⁴ + bz ³ + cz ² + bz + a = 0 (a, b ≠ 0). (2)

PP giải bài toán 11

+ Chia cả hai vế của PT (2) cho z² ta được

2 2

1 1

( ) ( ) 0

a z b z c

z z

    

1

x z

z

 

(?) Giải các PT sau:

a) z⁴ + 2z³ + z² + 2z +1 = 0 b) (z² + 3z)² – 5(z²+ 3z) – 36 = 0.

Bài toán 12. Cho phương trình 3z³ + az² +bz +c = 0 (4). Tìm các hệ số thực a, b, c biết PT trên có các nghiệm là z = – 1 và z = 1 – i.

Đây là tình huống gợi vấn đề bởi vì HS chưa có một qui tắc mang tính chất thuật giải để giải quyết bài toán trên. Tuy nhiên HS đã biết cách lập một PT nếu biết các

nghiệm của PT đó.

*) Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán

(?) Bài toán yêu cầu gì?

(!) Yêu cầu tìm các hệ số thực a, b, c của một PT bậc ba. *) Bước 2: Xây dựng chương trình giải:

(?) z là một nghiệm của PT (4) khi nào?

(!) Khi z thỏa mãn biểu thức vế trái của PT (4) bằng 0. (?) PT (4) có hai nghiệm z = – 1 và z = 1 – i cho ta điều gì? (!) Hai số – 1 và 1 – i thỏa mãn PT (4)

*) Bước 3: Thực hiện chương trình giải: PT (4) nhận z = – 1 và z = 1 – i làm nghiệm nên ta có hệ 3 0 6 (2 6) 0 a b c b c a b i               3 6 2 6 a b c b c a b      _    _{  } 

a = – 3, b = 0, c = 6.

*) Bước 4: Kiểm tra, nghiên cứu lời giải:

Có thể mở rộng bài toán với việc tìm nghiệm của phương trình không phải là những số cụ thể mà thỏa mãn hệ thức nào đó; như là hệ thức Vi - ét về tổng và tích của phương trình bậc hai.