Trong phần này, ta đưa ra một vài ứng dụng các kết quả trên vào bài toán bất đẳng thức biến phân và phương trình đạo hàm riêng.
Ví dụ 2.2. Cho Ω ⊂ RN là miền mở bị chặn với biên trơn. Cho
ai(x, y, z) : RN × R ×RN → R là một hàm liên tục, i = 1,2, . . . , N, thỏa mãn các điều kiện sau:
(1) |ai(x, y, z)| ≤bi|y|+ci|z|+gi(x), trong đó bi, cj > 0 là các hằng số, hàm gi(x) ∈ L2(Ω), i= 1,2, ...; (2)PN i [ai(x, y, w)−ai(x, y, z)] (wi−zi) ≥0, trong đóy ∈ R, x, w, z ∈ RN, w = (w1, w2, ..., wN), z = (z1, z2, ..., zN) ; (3)PN j ai(x, y, w)wi ≥α|w|2 −β, trong đóy ∈ R, x, w ∈ RN, w = (w1, w2, ..., wN), α > 0, β > 0 là các hằng số.
Cho ψ(x) là hàm đo được trên Ω.
K = {v ∈ W01,2(Ω) : v(x) ≥ψ(x), hầu khắp nơi x ∈ Ω}
trong đó W01,2(Ω) là không gian Sobolev. Cho j : R → (0,+∞] là hàm lồi nửa liên tục dưới. Khi đó ta có:
Định lý 2.16. Giả sử K là tập khác rỗng. Giả thiết j(u) ∈ L1(Ω)
với mọi u ∈ K và các điều kiện (1),(2),(3) thỏa mãn. Khi đó, với f ∈ W−1,2(Ω) tồn tại u0 ∈ K, sao cho
N X i=1 Z Ω ai(x, u0(x), Du0(x))Div(x) + Z Ω [j(u(x))−j(u0(x))]dx ≥ hf, v −u0(x)i, ∀v ∈ K,
trong đó W−1,2(Ω) là không gian đối ngẫu của W01,2(Ω).
Chứng minh. Cho A : W01,2(Ω) × W01,2(Ω) → W−1,2(Ω) được định nghĩa bởi hA(u, v), wi = Z Ω N X i=1 ai(x, u(x), Dv(x))Diw(x)dx, ∀u, v, w ∈ W01,2(Ω)
Theo giả thiết (1) ta có
|hA(u, v), w)i| ≤
Z Ω N X i=1 [bi|u|+ ci|Div|+g(x)]|Diw|dx ≤ (Bkuk+Ckvk+ C0)kwk, ∀u, v, w ∈ W01,2(Ω)
trong đó k·k là chuẩn trong W01,2(Ω), B, C, C0 > 0 là các hằng số, vì
A(u,·) là liên tục với mỗi u ∈ W01,2(Ω). Từ giả thiết (2) có
Vì W01,2(Ω) là được nhúng compact vào L2(Ω), ta có A(·, v) là hoàn toàn liên tục với mỗi v ∈ W01,2(Ω). Do đó, A là toán tử nửa đơn điệu. Hơn nữa, (3) suy ra
hA(u, u), ui ≥ αkDuk2 −c0, ∀u ∈ W01,2(Ω), C0 > 0
là hằng số. Ta đã biết Gu= R Ωj(u(x))dx, nếu j(u) ∈ L1(Ω) +∞, nếu trái lại,
là hàm lồi nửa liên tục dưới. Hơn nữa, tồn tại f0 ∈ W−1,2(Ω) và α > 0
sao cho Gu ≥ (f0, u)−α với mọi u ∈ W01,2(Ω). Từ [8] ta có
lim
kuk→∞inf[hA(u, u), ui+Gu−(f, u)] > G0.
Theo Định lý 2.7, ta suy ra kết luận của Định lý 2.16 là đúng.
Ví dụ 2.3. Ta xét trường hợp đặc biệt Ω = (0,1). Cho
A : W01,2(0,1)×W01,2(0,1)→ W−1,2(0,1) xác định bởi hA(u, v), wi = 1 Z 0 1 (1 +u2(x))12 dv dx dw dx dx.
Dễ dàng thấy rằng hA(u, v)−A(u, w), v −wi ≥ 0và A(·, v) là hoàn toàn liên tục với mỗi v cố định. Vì |u(x)| ≤ ku0k với x ∈ [0,1] và
u ∈ W01,2(0,1), ta có
hA(u, u)−f, ui ≥
q
Giả sử kfk < 1, theo Định lý 2.5, tồn tại u0 ∈ W01,2(0,1) sao cho u0(x) ≥ 0, hầu khắp x ∈ Ω và 1 Z 0 " 1 (1 +u20(x))12 du0 dx −f # d(u0 −v) dx dx ≥ 0 ∀v ∈ W01,2(0,1), v(x) ≥0 với hầu khắp x ∈ (0,1).
Ví dụ 2.4. Cho Ω ⊂ RN là miền mở bị chặn với biên trơn. Cho
ai(x, y, z) : RN × R × RN → R là các hàm liên tục, i = 1,2, ..., N, thỏa mãn các điều kiện sau:
(1) |ai(x, y, z)| ≤ bi|y|p−1 + ci|z|p−1 + gi(x), trong đó bi, ci > 0 là các hằng số, gi(x) ∈ Lq(Ω), i= 1,2, ..., N, p > 1 và 1p + 1q = 1;
(2) PN
i=1[ai(x, y, w)−ai(x, y, z)] (wi −zi) ≥ 0, trong đó
y ∈ R, x, w, z ∈ RN, w = (w1, w2, ..., wN), z = (z1, z2, ..., zN).
Cho f (x, y) : RN ×R→ R là hàm Caratheodory sao cho
|f (x, y)| ≤ L|y|p−1 +g(x),
trong đó g ∈ Lq(Ω). Ta xét phương trình đạo hàm riêng sau
− N P i=1 Diai(x, u, Du) = f(x, u), ∀x ∈ Ω, u(x) = 0, x ∈ Ω. (2.7)
Ta nói u ∈ W01,p(Ω) là một nghiệm suy rộng của (2.7) nếu nó thỏa mãn:
N X i=1 Z Ω ai(x, u, Du)Divdx = Z Ω f (x, u)vdx, ∀v ∈W01,p(Ω).
Định lý 2.17. Giả sử (1) và (2) là đúng và điều kiện sau được thỏa mãn: N X i=1 Z Ω [ai(x, u, Du)Diu−f (x, u)u(x)]dx ≥ a Z Ω |Du|pdx−c, u ∈ W01,p(Ω).
Khi đó (2.7) có một nghiệm suy rộng.
Chứng minh. Cho A : W01,p(Ω) × W01,p(Ω) → W−1,p(Ω) được định nghĩa bởi hA(u, v), wi = Z Ω N X i=1 ai(x, u(x), Dv(x))Diw(x)dx, ∀u, v, w ∈ W01,p(Ω).
Theo điều kiện (1), ta biết rằng A là xác định và A(u,·) liên tục với mỗi u ∈ W01,p(Ω). Theo điều kiện (2) và định lý nhúng compact của
W01,p(Ω) vào Lp(Ω) suy ra rằng A là nửa đơn điệu. Theo giả thiết và Định lý 2.13 thì (2.7) có nghiệm trong W01,p(Ω).
Kết luận
Trong chương này đã trình bày được một số nội dung về toán tử nửa đơn điệu, bài toán bất đẳng thức biến phân với toán tử nửa đơn điệu, sử dụng các kết quả về tính nửa đơn điệu, lí thuyết bậc của toán tử để áp dụng vào một số ứng dụng cụ thể.
Kết luận
Luận văn đã trình bày tổng quan một số nội dung về: - Toán tử nửa đơn điệu;
- Phương trình toán tử nửa đơn điệu;
- Bài toán bất đẳng thức biến phân với toán tử nửa đơn điệu; - Lý thuyết bậc cho các toán tử nửa đơn điệu;
- Một vài ứng dụng.
Vì khả năng và điều kiện có hạn, luận văn sẽ không thể tránh được thiếu sót. Kính mong các thầy cô và các bạn góp ý kiến để luận văn được hoàn thiện tốt hơn.
Tài liệu tham khảo
[A] Tài liệu Tiếng Việt
[1] Đậu Thế Cấp (2002), Giải tích hàm, Nhà xuất bản giáo dục. [B] Tài liệu Tiếng Anh
[2] S. Aizicovici and Y. Q. Chen (1998), Note on the topological degree of the subdifferential of a lower semi-continuous convex function, Proc. Amer. Math. Soc. 126, pp. 2905-2908.
[3] H. Brezis (2010), Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations, Springer.
[4] F. E. Browder (1968), Semicontractive and semiaccretive nonlinear mapping in Banach Spaces, Bull. Amer. Math. Soc. 74, pp. 660-665. [5] F. E. Browder (1983), Fixed point theory and nonlinear problems,
Bull. Amer. Math. Soc. 1, pp. 1-39.
[6] Y. Q. Chen (1996), On accretive operators in cones of Banach spaces, Non. Anal. 27, 1125-1135.
[7] Y. Q. Chen (1999), On the semi-monotone operator theory and ap- plications, J. Math. Anal. Appl. 231, pp. 177-192.
[8] K. Deimling (1984), Nonlinear Functional Analysis, Springer- Verlag, Berlin.
[9] D. O’Regan, Y. J. Cho and Y. Q. Chen (2006), Series in mathemat- ical analysis and applications, volume 10: Topological degree theory and applications.
[10] R. R. Phelps (1993),Lectures on maximal monotone operators, Lec- tures given at Prague/Paseky Summer School, Czech Republic, Au- gust 15-28, 1993.
[11] R. E. Showalter (1997), Monotone operators in Banach space and nonlinear partial differential equations, Mathematical Surveys and Monographs, 49. American Mathematical Society, Providence, RI. [12] M. M. Va˘inberg (1973), Variational method and method of mono-
tone operators in the theory of nonlinear equations, Translated from the Russian by A. Libin. Translation edited by D. Louvish. Hal- sted Press (A division of John Wiley and Sons), New York-Toronto, Ont.; Israel Program for Scientific Translations, Jerusalem-London, xi+356 pp.
[13] Zeidler, Eberhard (1990), Nonlinear functional analysis and its ap- plications. II/A.Linear monotone operators, Translated from the German by the author and Leo F. Boron. Springer-Verlag, New York, xviii+467 pp.
[14] Zeidler, Eberhard (1990), Nonlinear functional analysis and its ap- plications. II/B.Nonlinear monotone operators, Translated from the German by the author and Leo F. Boron.Springer-Verlag, New York.