Trong phần này, chúng ta xét sự tồn tại nghiệm của phương trình toán tử A(u, u) =g.
Định lý 2.8. Cho E là không gian Banach thực. A : E∗∗ ×E∗∗ → E∗
là toán tử nửa đơn điệu và A(u,·) là liên tục hữu hạn chiều với mỗi
u ∈ E∗∗. Giả sử
limkuk→∞hA(u, u), ui > 0.
Khi đó A(u, u) = 0 có nghiệm trong E∗∗.
Chứng minh. Theo Định lý 2.4, tồn tại w0 ∈ E∗∗, sao cho
hA(w0, w0), u −w0i ≥ 0, ∀u ∈ E∗∗.
Đặt u = v +w0, ta có
hA(w0, w0), vi ≥ 0, ∀v ∈ E∗∗,
hay A(w0, w0) = 0. Điều phải chứng minh.
Hệ quả 2.1. Cho E là không gian Banach thực. A : E∗∗ ×E∗∗ → E∗
là toán tử nửa đơn điệu và A(u,·) là liên tục hữu hạn chiều với mỗi
u ∈ E∗∗. Giả sử điều kiện sau luôn đúng:
lim
kuk→∞
hA(u, u), ui
kuk = +∞,
khi đó A(u, u) : E∗∗ →E∗ là toàn ánh.
Chứng minh. Với mỗi p∗ ∈ E∗, đặt A1(u, v) = A(u, v)−p∗. Khi đó A1 thỏa mãn các điều kiện của Định lý 2.8, vì vậy A1(u, u) = 0 có nghiệm trong E∗∗, nghĩa là A(u, u) = p∗ có nghiệm.
Định lý 2.9. ChoE là không gian Banach phản xạ thực. A: E×E → E∗
là ánh xạ nửa đơn điệu và A(u,·) là liên tục hữu hạn chiều với mỗi
u ∈ E. Giả sử điều kiện sau luôn đúng:
lim
kuk→∞
hA(u, u), ui
kuk = +∞,
khi đó, A(u, u) : E →E∗ là toàn ánh.
Chứng minh. Do E ⊂ E∗∗ nên E ×E ⊂ E∗∗×E∗∗. Áp dụng Định lý 2.5 và Hệ quả 2.1 ta có điều phải chứng minh.
Định lý 2.10. Cho E là không gian Banach thực. A : E∗∗ ×E∗∗ → E∗
là ánh xạ nửa đơn điệu và A(u,·) là liên tục hữu hạn chiều với mỗi
u ∈ E∗∗, f : E → E∗ là ánh xạ hoàn toàn liên tục. Giả sử điều kiện sau đúng:
lim
kuk→∞
hA(u, u) +f (u), ui > 0.
Khi đó, A(u, u) +f (u) = 0 có nghiệm trong E.
Chứng minh. Cho F ⊂ E∗∗ là không gian con hữu hạn chiều. Xét phương trình toán tử
A(u, u) +f (u) = 0
trên F, nghĩa là ta hạn chế A và f trên không gian con F. Theo giả thiết, ta có
lim
kuk→∞, u∈F
hA(u, u) +f (u), ui > 0.
Vì F là không gian hữu hạn chiều, ta có thể giả sử rằng F là không gian Hilbert và coi A và f ánh xạ không gian con F vào chính nó. Thật vậy,
Bậc Brouwerdeg (A+f, B(0, r),0) = 1vớirđủ lớn, trong đó B(0, r)
là hình cầu mở với bán kính r trong F. Do đó, tồn tại u0 ∈ F sao cho
A(u0, u0) + f (u0) = 0, trong F∗. (2.4) Nhân (2.4) với v −u0, ta thu được:
hA(u0, u0) +f (u0), v−u0i = 0, ∀v ∈ F. Do hA(u0, v), v−u0i ≥ hA(u0, u0), v−u0i, ta có hA(u0, v) +f (u0), v−u0i ≥ 0, ∀v ∈ F. (2.5) Kí hiệu
F = {F ⊂ E∗∗ là không gian con hữu hạn chiều}
và
WF = {u ∈ E∗∗, kuk ≤ r và u thỏa mãn (2.5)}.
Với F ∈ F, đặt W∗F là bao đóng yếu* của WF trong E∗∗. Dễ dàng thấy rằng {W∗F, F ∈ F } có giao hữu hạn, vì thế ta có \ F∈F W∗F 6= ∅. Lấy w0 ∈ T F∈F
W∗F, với bất kì v ∈ E, lấy F ∈ F, sao cho v ∈ F, tồn tại
wj ∈ WF sao cho wj * w0. Theo (2.5), ta có
Theo tính chất hoàn toàn liên tục của A(·, v) và f, ta có
A(wjk, v) →A(w0, v), f (wjk) →f (w0) khi jk → ∞
với một dãy con {jk} nào đó. Do đó
hA(w0, w0 + tu) +f (w0), ui ≥ 0, ∀u ∈ E, t > 0.
Cho t →0+, ta được
hA(w0, w0) +f(w0, ui ≥ 0, ∀u ∈ E.
Từ đó A(w0, w0) +f (w0) = 0. Định lý được chứng minh.
Định lý 2.11. Cho E là không gian Banach thực. A : E∗∗ ×E∗∗ → E∗
là ánh xạ nửa đơn điệu và A(u,·) là không gian hữu hạn chiều với mỗi
u ∈ E∗∗, f : E∗∗ → E∗ là ánh xạ hoàn toàn liên tục. Giả sử điều kiện sau được thỏa mãn:
lim
kuk→∞
hA(u, u) + f (u), ui
kuk = +∞.
Khi đó A(u, u) +f (u) = p∗ có nghiệm trong E∗∗ với bất kì p∗ ∈ E∗.
Chứng minh. Với bất kì p∗ ∈ E∗, đặt f1(u) = f (u)−p∗, u ∈ E. Khi đó A, f1 thỏa mãn các điều kiện của Định lý 2.10, vì A(u, u)+f1(u) = 0
có nghiệm trong E nên A(u, u) +f (u) =p∗ có nghiệm trong E∗∗.
Khi E là phản xạ, dùng chứng minh tương tự Định lý 2.10 và Định lý 2.11, ta có được điều sau
Định lý 2.12. Cho E là không gian Banach phản xạ thực. A: E×E → E∗ là một ánh xạ nửa đơn điệu và A(u,·) là liên tục hữu hạn chiều với
mỗi u ∈ E, f : E → E∗ là ánh xạ hoàn toàn liên tục. Giả sử điều kiện sau được thỏa mãn:
lim
kuk→∞
hA(u, u) +f (u), ui > 0,
khi đó A(u, u) +f (u) = 0 có nghiệm trong E.
Định lý 2.13. Cho E là không gian Banach phản xạ thực. A: E×E → E∗ là toán tử nửa đơn điệu và A(u,·) là liên tục hữu hạn chiều với mỗi
u ∈ E, f : E → E∗ là một ánh xạ hoàn toàn liên tục. Giả sử điều kiện sau được thỏa mãn:
lim
kuk→∞
hA(u, u) + f (u), ui
kuk = +∞,
khi đó A(u, u) +f (u) =p∗ có nghiệm trong E với mọi p∗ ∈ E∗.