Câc cơng thức tính chu vi đường trịn, cung trịn, diện tích hình trịn, quạt trịn:

* Chu vi hình trịn: C = 2R = d * Độ dăi cung trịn: l = 180 Rn  * Diện tích hình trịn: S = R2 * Diện tích hình quạt trịn: S = 2 360 2 R n lR   BĂI TẬP:

Dạng 1: Chứng minh hai gĩc bằng nhau

Cho tứ giâc ABC nhọn nội tiếp đường trịn (O), gọi D lă điểm chính giữa cung nhỏ AC a. Chứng minh DACDBA

b. Hai đường thẳng AB vă CD cắt nhau tại E. Chứng minh ABCADE Dạng 2: Chứng minh tứ giâc nội tiếp

Chơ tam giâc ABC, hai đường cao BD, CE cắt nhau tại H. Chứng minh rằng a. Tứ giâc AEHD nội tiếp.

b. Tứ giâc BCDE nội tiếp.

Dạng 3: Chứng minh đường thẳng lă tiếp tuyến của đường trịn

Cho tam giâc nhọn ABC, đường trịn (O) đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại F, E. Gọi H lă giaơ điểm của BE vă CF, I lă trung điểm của AH. Chứng minh IE, IF lă tiếp tuyến của đường trịn (O).

Dạng 4: Chứng minh ba điểm thẳng hăng, ba đường thẳng đồng qui, hai đường thẳng song sơng, hai đơạn thẳng bằng nhau,...

Chơ hai đường trịn (O) vă (O’) cắt nhau tại hai điểm A vă B, kẻ đường kính AOC cắt đường trịn (O’) tại E vă đường kính AO’D cắt đường trịn (O) tại F.

a. Chứng minh ba điểm C, B, D thẳng hăng.

b. Chứng minh ba đường thẳng CE, DF, AB đồng quy. Dạng 5: Chứng minh đẳng thức

Từ điểm M nằm ngơăi đường trịn (O; R) vẽ hai tiếp tuyến MA; MB vă cât tuyến MCD. Gọi I lă trung điểm CD. Gọi E, F, K lần lượt lă giaơ điểm của đường thẳng AB với OM, MD, OI a. Chứng minh: R2 = OE.OM = OI.OK.

b. Chứng minh M, A, B ,O, I nằm trín một đường trịn.

D C C B A O D C B A O

31 c. Khi cung CAD nhỏ hơn cung CBD, hêy chứng minh DEC2DBC

Dạng 6: Băi tôn tổng hợp

Băi 1: Chơ đường trịn (O;R) từ một điểm M nằm ngơăi đường trịn (O) kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với đường trịn (A, B lă câc tiếp điểm).

a. Chứng minh bốn điểm O, A, M, B cùng nằm trín một đường trịn.

b. Kẻ cât tuyến MNP, gọi K lă trung điểm NP. Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B thuộc đường

Băi 2: Cho tam giâc ABC nội tiếp đường (O) vă tia phđn giâc gĩc A cắt đường trịn tại M. Vẽ đường cao AH. Chứng minh rằng:

a. OM đi qua trung điểm của dđy BC. b. AM lă tia phđn giâc của gĩc OAH Băi 3: Cho tam giâc nhọn ABC nội tiếp đường trịn (O). Hai đường cao AM, BN cắt nhau tại H vă cắt đường trịn (O) lần lượt tại D, E. Chứng minh rằng:

a. Tứ giâc HMCN nội tiếp đường trịn. b. CD = CE c. Tam giâc BHD cđn. Băi 4: Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB = 2R. Vẽ bân kính OC vuơng gĩc AB, gọi M lă điểm chính giữa của cung BC, AM cắt OC tại N. Từ C hạ CK vuơng gĩc với AM tại K. Chứng minh rằng:

a. Tứ giâc MNOB nội tiếp. b. Tứ giâc OACK nội tiếp c. Tam giâc OKC cđn. d. AM.AN = 2R2

Băi 5: Cho tam giâc ABC cđn tại A (A < 900), hai đường cao BD vă CE cắt nhau tại H. a. Chứng minh bốn điểm A, D, H, E cùng thuộc đường trịn, Xâc định tđm O vă vẽ đường trịn năy.

b. Gọi K lă giaơ điểm của AO vă BC. Cm: KD lă tiếp tuyến của đường trịn (O) Băi 6: Cho nửa đường trịn đường kính AB = 2R. Từ A vă B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By. Qua điểm M thuộc nửa đường trịn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt câc tiếp tuyến Ax, By lần lượt ở C vă D.

a. Chứng minh AC + BD = CD. b. Chứng minh COD = 900. c. Chứng minh OC // BM

d. Chứng minh AB lă tiếp tuyến của đường trịn đường kính CD.

Băi 7: Cho nửa đường trịn tđm O đường kính AB vă điểm M bất kì trín nửa đường trịn (M khâc A, B). Trín nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường trịn kẻ tiếp tuyến Ax. Tia BM cắt Ax tại I; tia phđn giâc của gĩc IAM cắt nửa đường trịn tại E; cắt tia BM tại F tia BE cắt Ax tại H, cắt AM tại K.

a. Chứng minh rằng: EFMK lă tứ giâc nội tiếp. b. Chứng minh BAF lă tam giâc cđn.

c. Chứng minh tứ giâc AKFH lă hình thoi.

d. Xâc định vị trí M để tứ giâc AKFI nội tiếp được một đường trịn. Băi 8: Cho tam giâc nhọn ABC, kẻ đường cao BD vă CE cắt nhau tại H.

a. Chứng minh tứ giâc ADHE nội tiếp. b. Chứng minh tứ giâc BEDC nội tiếp.

32

c. Qua B kẻ đường thẳng vuơng gĩc với AB tại B, qua C kẻ đường thẳng vuơng gĩc với AC tại C hai đường thẳng năy cắt nhau tại K. Gọi M lă trung điểm của BC, chứng minh ba điểm H, M, K thẳng hăng

Băi 9: Chơ đường trịn (O), đường kính AC. Trín bân kính OC lấy điểm B (B khâc O vă C). Gọi M lă trung điểm AB. Qua M kẻ dđy cung DE vuơng gĩc với AB tại M. Đường trịn đường kính BC cắt DC tại I.

a. Chứng minh tứ giâc BMDI nội tiếp. b. Chứng minh ba điểm I, B, M thẳng hăng. c. Chứng minh MI lă tiếp tuyến đường trịn (K).

Băi 10: Chơ hình vuơng ABCD điểm E thuộc cạnh BC (E khâc B vă C). Qua B kẻ đường thẳng vuơng gĩc DE, đường thẳng nay cắt câc đường thẳng DE vă DC theo thứ tự ở H vă K

a. Chứng minh tứ giâc BHCD nội tiếp b. Tính gĩc CHK

c. Chứng minh KC.KD = KH.KB

d. Đường thẳng AE cắt DC tại F, chứng minh 12 12 12 AD AE AF

Băi 11: Cho tam giâc ABC vuơng tại A (AB < AC). Gọi M lă trung điểm AC, kẻ đường trịn đường kính MC cắt BC tại E vă cắt BM kĩo dăi tại D

a. Chứng minh tứ giâc ABCD nội tiếp đường trịn (O). Xâc định tđm O. b. Chứng minh OM lă tiếp tuyến đường trịn đường kính MC.

c. Chứng minh DB lă tia phđn giâc gĩc ADE.

Băi 12: Chơ đường trịn (O), từ điểm A nằm ngơăi đường trịn (O) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (B, C lă câc tiếp điểm).

a. Chứng minh tứ giâc OBAC nội tiếp. b. Chứng minh OA vuơng BC tại H.

c. Trín đơạn thẳng BH lấy điểm D, kẻ đường thẳng vuơng gĩc với OD tại D cắt câc tiếp tuyến AB, AC lần lượt tại E, F. Chứng minh DE = EF.

Băi 13: Chơ đường trịn (O), trín nửa đường trịn lấy điểm D sao cho AD > DB, trín OB lấy điểm C. Kẻ CH vuơng gĩc AD tại H, kẻ tia phđn giâc gĩc DAB cắt đường trịn (O) tại điểm E vă cắt CH tại F; đường thẳng DF cắt đường trịn (O) tại N. Chứng minh rằng:

a. ANFACF

b. Tứ giâc AFCN nội tiếp. c. Ba điểm N, C, E thẳng hăng.

Băi 14: Cho tam giâc ABC (AB < AC) nội tiếp đường trịn (O). Hai tiếp tuyến tại B vă C cắt nhau ở D; Đường thẳng qua D vă song song với AB cắt AC ở I vă cắt đường trịn (O) tại E vă F. Chứng minh rằng: Tứ giâc OICD nội tiếp.

Băi 15: Cho tam giâc ABC nội tiếp đường trịn (O). Tia phđn giâc của câc gĩc A, B, C cắt đường trịn (O) lần lượt tại D, E, F. Chứng minh rằng:

a. AD >AB + AC 2

b. AD + BE + CF lớn hơn chu vi tam giâc ABC.

Băi 16: Cho nửa đường trịn tđm O, đường kính AB=2R.Trín nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường trịn, kẻ 2 tiếp tuyến Ax vă By với nửa đường trịn.Gọi M lă điểm tùy ý

33 trín nửa đường trịn khơng trùng với A vă B.Qua M kẻ tiếp tuyến với nửa đường trịn cắt Ax vă By lần lượt tại C vă D.

a) Chứng minh tứ giâc OACM nội tiếp b) Chứng minh CD = AC+BD

c) OC cắt AM tại E, OD cắt BM tại F.Chứng minh FE=R

d) Chứng minh AB lă tiếp tuyến của đường trịn ngoại tiếp tam giâc COD

Băi 17: Chơ đường trịn tđm O, bân kính R=3 vă A lă điểm nằm ngơăi đường trịn sao cho OA=5.Kẻ câc tiếp tuyến AB, AC với đường trịn (O) (B, C lă câc tiếp điểm)

a) Chứng minh OABC

b) Đường thẳng CO cắt đường trịn (O) tại D.Chứng minh BD//AO c) Tính chu vi tam giâc ABC

Băi 18: Cho hình vuơng OABC.Dựng đường trịn tđm O, bân kính OA. M lă 1 điểm trín cung nhỏ AC của đường trịn (O) ( M khâc A, C).Dựng MH  AB (H AB ),

( )

MI  AC IAC vă MK BC K( BC) . Chứng minh rằng: a) AB, BC lă câc tiếp tuyến của đường trịn (O) a) AB, BC lă câc tiếp tuyến của đường trịn (O)

b) Câc tứ giâc AHMI vă CKMI nội tiếp c) BH.BK = 2

MI

Băi 19: Cho tam giâc ABC cĩ 3 gĩc nhọn (AB<AC) nộit tiếp đường trịn (O). Vẽ 2 đường cao BH vă CK . Chứng minh:

a) Tứ giâc BKHC nội tiếp một đường trịn. Xâc đình tđm của đường trịn năy b) Gĩc AKH bằng gĩc ACB

c)OA KH

Băi 20: Cho tam giâc cđn ABC (A gĩc nhọn vă AB=AC). Câc đường cao BE, CF, AD cắt nhau tại H. Chứng minh

a) Tứ giâc ĂHE nội tiếp 1 đường trịn. Xâc định tđm vă vẽ đường trịn năy b) Gĩc HFD bằng AFI

c)DF lă tiếp tuyến của đường trịn tđm I

Băi 21: Cho tam giâc ABC vuơng ở A cĩ AB<AC, kẻ đường cao AH. Trín BC lấy điểm D sao cho HD=HB vă từ C kẻ CE Vuơng gĩc với AD kĩo dăi. Chứng minh:

a)Tứ giâc AHEC nội tiếp, Xâc định tđm vă vẽ đường trịn b) Tam giâc ABD lă tam giâc cđn.

c) AH=HE

d) Tam giâc HBA vă ABC đồng dang e.BH.BC=AB2

Băi 22:Cho tam giâc ABC vuơng tại A cĩ AB<AC. Gọi M lă trung điểm của AC, đường trịn đường kính MC cắt BC ở E vă cắt BM kĩo dăi tại D.

a) Chứng minh tứ giâc ABCD nội tiếp được một đường trịn (O). Xâc định tđm O vă vẽ đường trịn năy.

b)Chứng minh DM lă tia phđn giâc của gĩc ADE

c)Chứng minh OM lă tiếp tuyến của đường trịn đường kính MC. d) Cho gĩc ACB bằng 300. Chứng minh OM=2OE

Băi 23: Cho nửa đường trịn đường kính AB vă một điểm M nằm trín nửa đường trịn sao cho MA>MB. Trín nửa mặt phẳng chứa nửa đường trịn đĩ ta kẻ tiếp tuyến Ax.Kĩo dăi BM cắt Ax tại I. Vẽ tia phđn giâc của gĩc IAM lần lượt cắt nủa đường trịn tại E vă cắt MI tại F. Vẽ tia BE lần lượt cắt AM tại K cắt AI tại H.

a)Chứng minh tứ giâc EKMF nội tiếp b)So sânh 2 gĩc HAE vă EBM

34

c)Chúng minh:Tứ giâc AKFI lă hình thang. Xâc định vị trí điểm M để AKFI nội tiếp một đường trịn

Băi 24: Cho nửa đường trịn đường kính AB=2R vă một điểm M nằm trín nửa đường trịn (M khâc A, B). Trín nửa mặt phẳng chứa nửa đường trịn đĩ ta kẻ tiếp tuyến Ax. Tia BM cắt Ax tại I. Vẽ tia phđn giâc của gĩc IAM lần lượt cắt nủa đường trịn tại E vă cắt BM tại F. Tia BE cắt Ax tại H cắt AM tại K.

a)CM: Tứ giâc AKMF nội tiếp

b)CM: AHE ABE vă E MA EBM c) CM: Tứ giâc AKFH lă hình thoi

Băi 24:Chơ đường trịn tđm O đường kính AB. Đường thẳng qua C vă vuơng gĩc với AB cắt (O) tại P vă Q. Tiếp tuyến của (O) tại điểm D thuộc cung nhỏ BP cắt PQ tại E, AD cắt PQ tại F.

a)CM: Tứ giâc BCFD nội tiếp. b)Chứng minh ED=EF.

c)CM:Tam giâc EDP vă EQD đồng dạng từ đĩ suy ra ED2=EP.EQ

Băi 26:Cho nửa đường trịn tđm O đường kính AB. Gọi C, D lă 2 điểm nằm trín nửa đường trịn (D nằm giữa C vă B). AC cắt BD ở E, AD cắt BC ở F.

a)CM: Tứ giâc ECFD nội tiếp. Xâc định tđm vă vẽ đường trịn đĩ. b)Chứng minh EFAB

c)Chứng minh: AEF ABC

d)Cho biết số đơ cung CD bằng 600, AD=5cm. Tính độ dăi cạnh AE

Băi 27: Chơ đường trịn (O) cĩ 2 đường kính AB vă CD vuơng gĩc với nhau. Trín AB lấy điểm M khâc O. Đường thẳng CM cắt đường trịn tại N. Đường thẳng vuơng gĩc với AB tại M cắt tiếp tuyến với (O) ở N tại P.

a) CM: Tứ giâc OMNP nội tiếp

b) CM: Tứ giâc CMPO lă hình bình hănh c) CM: COM đồng dạng vớiCND

Băi 28: Cho nửa đuịng trịn đường kính AB. Từ A vă B kẻ 2 tiếp tuyến Ax vă By. Qua 1 điểm M(khâc A,B) thuộc nửa đường trịn đê chơ kẻ tiếp tuyến thứ 3 cắt Ax ở C vă cắt By ở D.

a) CM:Tứ giâc ACMO nội tiếp. b) Chứng minh:CD=AC+BD

c) Gọi N lă giaơ điểm của AD vă BC. Chứng minh MN//AC

Băi 29: Cho tam giâc ABC nội tiếp đường trịn (O) vă tia phđn giâc của gĩc A cắt đường trịn tại M. Vẽ đường cao AH. Chứng minh rằng:

a)OM đi qua trung điểm dđy BC, b)AM lă tia phđn giâc của gĩc OAH

Băi 30: Cho tam giâc ABC vuơng ở A.Trín AC lấy 1 điểm M văvẽ đường trịn đường kính MC.Kẻ BM cắt đường trịn tại D. Đường thẳng DA cắt đừơng tại. Chứng minh rằng :

a)ABCD lă một tứ giâc nội tiếp, b)ABD ACD

c)CA lă tia phđn giâc của gĩc SCB

Băi 31: Cho tam giâc ABC vuơng ở A cĩ AC>AB.Kẻ đường cao AH. Trín BC lấy điểm D sao cho HD=HB vă từ C kẻ CE vuơng gĩc với AD. Chứng minh:

a)Tam giâc ADB cđn

35 c)AH=HE

Băi 32:Tam giâc ABC cđn tại A cĩ cạnh đây nhỏ hơn cạnh bín , nội tiếp đường trịn tđm O. Tiếp tuyến tại B,C của đường trịnlần lượt cắt tia AC vă tia AB ở D vă E. Chứng minh:

a) 2

D D. D

B  A C

b)Tứ giâc BCDE lă tứ giâc nội tiếp c)BC song song với DE

Băi 33: Chơ 2 đường trịn (O,R) vă (O’,r) tiếp xúc ngoăi (R>r). Hai tiếp tuyến chung AB vă A’B’ của 2 đường trịn cắt tại P (A, A’ Thuộc đường trịn (O’ ), B vă B’ thuộc đường trịn (O)). Biết PA=AB=4cm. Tính diện tích hình trịn (O’)

Băi 34:Cho tam giâc ABC cđn tại A, cĩ A lă gĩc nhọn. Đường vuơng gĩc với AB tại A cắt đường thẳng BC ở E.Kẻ EN vuơng gĩc với AC.Gọi M lă trung điểm của BC.Hai đường thẳng AM vă EN cắt nhau ở F.CMR:

a)Tứ giâc AMNE vă MCNF nội tiếp một đường trịn b)BAM A BE vă EB lă tia phđn giâc của gĩc AEF

Băi 35:Chơ tam giâc đều ABC. Trín nửa mp bờBC khơng chứa đỉnh A, lấy điểm D sao cho DB=DC vă 1

2A

DCB CB

a)Chứng minh ABDC lă tứ giâc nội tiếp