/ (cư) =[ zữ ,r oj ) Từ đó suy ra
a) hj(z) Ỷ 0,Vz G V,Vj = 1ra;
b) i p ( z ) £ < max {log \ h j ( z ) \ : ĩ < j < n } < ( f ( z), V2 € V.
Không mất tính tổng quát, chúng ta giả sử lân cận V = B(z,ỏ),ỗ> 0. Theo Bổ đề 3.2.1, để chứng minh fl<p{x) là hyperbolic đầy, ta chỉ cần chứng tỏ rằng 7T_1 (V) là hyperbolic đầy.
Thật vậy, giả sử {(-ZjfcjAfc) c 7T-1 (V) là dãy Cauchy đối với d^-iịyy Chọn £(. ị 0. Theo giả thiết, với mỗi k > 1, chúng ta tìm được hj € Hol(V),j = 1, 2 , . . . , rik, sao cho hj(z) Ỷ 0 v<3i mọi -2 € V và
ip (z) — £k < max {log Ihj (z) I : 1 < j < n} < If (z), Mz e V Với mỗi k , tồn tại 1 < jk < Tiỵ sao cho
v > ( z k ) - £ k < log\ h k j k ( z k ) \ < í f ( z k ) điều này tương đương với
e v { z k ) - e k < ị h k <e V ( z k )
Đặt
fk(z, À) = hh
j k(z)X, với (z, À) G 7T_1 (y). Rõ ràng fỵ chỉnh hình trên 7T_1 (V) và /fc (z, 0) = 0 với mỗi 2 € y và
> 1.
Vì
tT1^) c {{z, A) : |AỊ < e ~ ^z\ z £ V } nên chúng ta có
\ỉk{z, A)| = |A‘ (z)A| = ịhl{z)M < < e'We-»W = 1 ,Vz 6 V. Do đó sup |/fc| < 1 với mọi /c > 1.
»-I(V)
Dễ thấy, dãy {zki^k) (^oj^o) £ 7T 1(V).
Giả sử (z0, A0) G Ô7T_(y), tức là |A0| = ẽ-v(Z ữ\ Khi đó ta có limd^-ịv^k, Xk), (zk,0)) > lim C„-I{ v )((zk, xk), (zk, 0))
Kết luận
Luận văn đã trình bày một số kiến thức sau đây:
• Chương 1. Hệ thống một số khái niệm về giả khoảng cách Kobayashi, biểu diễn tích phân của giả khoảng cách Kobayashi. Sau đó đưa ra định nghĩa về không gian phức hyperbolic và không gian phức hyperbolic đầy. Định nghĩa hàm điều
• Chương 2. Nghiên cứu các dấu hiệu nhận biết về tính hyperbolic và hyperbolic đầy của không gian phức và nghiên cứu tính hyperbolic và hyperbolic đầy của miền Hartogs trong không gian phức.
• Chương 3. Mở rộng một số dấu hiệu nhận biết tính hyperbolic và hyperbolic đầy của miền Hartogs trong không gian giải tích phức sang không gian giải tích Banach.
Nhiều dấu hiệu nhận biết tính hyperbolic, hyperbolic đầy, giả lồi, siêu lồi, taut, ... của miền Hartogs trong không gian phức còn có thể mở rộng được sang không gian giải tích Banach.
Việc nghiên cứu về dấu hiệu nhận biết tính hình học của miền Hartogs Banach chắc chắn đòi hỏi nhiều công sức. Với năng lực còn hạn chế, chắc chắn luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong quý thầy cô và các bạn cùng góp ý để luận văn được hoàn thiện hơn.
Chúng tôi xin chân thành cảm ơn!
Tài liệu tham khảo
[1] p. K. Ban (1991), Banach hyperbolicity and existense of holomor- phic
maps in infinite dimension, Acta Math. Vietnam, 16, 187 - 199.
[2] S. Kobayashi (1976), Intrinsic distances, measures and geometric
function theory, Bull. Amer. Math. Soc. 82, 357 - 416.
[3] S. Kobayashi (1970), Hyperbolic Manifolds and Holomorphic
[4] Jean- Pierre demailly (2012), Hyperbolic algebraic varieties and
holomophic differential equations, Acta Mathematica Vietnamica. Volum 37, number 4, 441 - 512.
[5] H. L. Royden (1974), Holomophic fiber bundles with hyperbolic fiber, Proc. Amer. Math. Soc. 43, 311 - 312.
[6] S. Venturini (1996), The Kobayashi metric on complex space, Math. Ann. 305, 24 - 44.
[7] D. D. Thai and p. V. Due (2000), On the complete hyperbolic and the
tautness of the Hartogs domains, Inter. Jour. Math. 11, 103 - 111.
[8] D. D. Thai and N. Q. Dieu (2003), Complete h y p e r b o l i c of Hartogs domains, Manuscripta. Math. 112, 171 - 178.