/ (cư) =[ zữ ,r oj ) Từ đó suy ra
q là hai điểm bất kì của X Ta gọi một dây chuyền chỉnh hình 7nố ip và là một tập hợp
3.2. Tính hyperbolic, hyperbolic đầy của miền Har togs trong không gian giải tích Banach.
gian giải tích Banach X được gọi là hyperbolic nếu giả khoảng cách Kobayashi dx là khoảng cách xác định tô pô của X.
Định nghĩa 3.1.3. Giả sử X là không gian giải tích Banach hyperbolic. Không gian (X, dx) được gọi là đầy nếu mọi dãy Cauchy đối với dx đều hội tụ trong X .
Thật vậy, theo s. Kobayashi (xem [3]) đã chứng tỏ rằng nếu X là không gian phức hữu hạn chiều thì X là hyperbolic đầy khi và chỉ khi mọi tập con đóng và bị chặn trong X đều compact.
Trong trường hợp X là vô hạn chiều thì định lí Kobayashi không còn đúng nữa vì không gian giải tích Banach vô hạn chiều không có tính compact địa phương.
3.2. Tính hyperbolic, hyperbolic đầy của miền Har- togs trong không gian giải tích Banach. gian giải tích Banach.
Trong mục này, chúng tôi mở rộng một số kết quả nhận biết tính hyperbolic và hyperbolic đầy của miền Hartogs trong không gian giải tích phức sang không gian giải tích Banach.
Bổ đề 3.2.1. Giả sử 9 : X —»■ Y là ánh xạ chỉnh hình giữa các không
gian giải tích Banach. Nếu Y là hyperbolic (hyperbolic đầy) và với mỗi y G F tồn tại một lãn cận V của y sao cho ớ-1 (V) là hyperbolic
Chứng minh. Với mỗi z £ X, đặt 9z = w. Bởi giả thiết, chúng tatìm được một lân cận V của w sao cho 9~l (V) là hyperbolic. Mặt khác, từ
dY xác định tô pô của Y, nên tồn tại một lân cận w của w sao cho dY(W, dv) > 0. Giả sử lân cận w có dạng
w = u ( w , r) { w £ Y : d y ( w, w ) < r }Đặt w = u (w, r/2). Khi đó tồn tại c, s > 0 sao cho: Đặt w = u (w, r/2). Khi đó tồn tại c, s > 0 sao cho:
(*) d x (p , q) > m i n { s , c d ỹ - 1W (p , g)} với mọi p , q e ớ-1 i y v )
Thật vậy, chúng ta xét một dây chuyền chỉnh hình 7 nối p và ợ là tập hợp {ữi, a2,.. •, ữfc € D\ /i, /2,..., fk & Hol(D, X)
sao cho /1 (0) = p, fi ( d i ) = fi+i (0); fk (ak) = q. Khi đó chúng ta có hai trường hợp sau:
Trường hợp 1. Tồn tại j G {1,..., k} sao cho fj (CLj) ị ớ-1 ịyv). Khi đó:
k k
5~2dD{Q,aị) > 2~2dx(fi(0)Ji{ai))
i= 1 i= 1
> Ỵ]dY(0fi(O)ì0fi(ai))
2—1
> dY{ỡfj{ữj),w) - dy(ớ/i(0),iy) > r — r/2 = r/2
Trường hợp 2. Với mọi j e {1,..., A:} ta có fj (dj) G ớ-1 (W).
Khi đó 6fj (ãj) € với mọi j = 1,..., k. Mặt khác ỡfj (0) € với mọi j = 1,..., k , do đó tồn tại ổ > 0 sao cho 9fj(Dd) c w với mọi j = ĩ,..., k.
Nếu tồn tại j € { 1 , , A;} sao cho cij ị Dd/2, thì
k
Y^đD(0,a i)>dD{0,S/2) ỉ= 1
Giả sử dj G Dd/2 với mọi j G {1,..., £;}. Dễ thấy tồn tại c >0 sao cho íỉd(z,w) > cdos{z,w) với mọi z, w G Dd/ 2
Vì vậy k Ỵ] dD (0, ai) > cX: dD s (0, di) i= 1 i=l k > cỵ^dff-i(w)(fi(0),/i(ai)) i= 1 > cdfl-i(w)(p,qf)
Vậy (*) được chứng minh. □
Bây giờ, chúng ta chứng minh X là hyperbolic.
Trước hết, chúng ta chứng minh dx là khoảng cách trên X.
Cho z, z € X, z Ỷ z- Nếu 9z Ỷ thì dỵ (z, z) > dY(ỡz,0z) > 0. Nếu 9z = 6z = w thì theo giả thiết tồn tại một lân cận V của w sao cho 9~l (V) là hyperbolic. Chọn r đủ
nhỏ sao cho w = u (w, r) c V. Do ớ-1 (V) là không gian con của ớ-1 (V) nên ớ-1
(V) là hyperbolic.
Vì vậy, theo (*) ta có: dx {z, z) > 0 Điều này chứng tỏ X là hyperbolic.
Bây giờ, chúng ta chứng tỏ rằng dx xác định tô pô của X.
dx {zn, Zo) nên dãy {dzn} hội tụ tới 9zữ. Đặt 9zữ = w0,
theo giả thiết, tồn tại lân cận V của w0 sao cho ớ-1 (V) là hyperbolic. Chọn r đủ nhỏ sao cho w = u (wữ, r) c V. Đặt w = u (wữ, r/2). Không giảm tính tổng quát, chúng ta giả sử e ớ'1 iyv) với mọi n > 1. Do dx ( zn, zữ) 0 , nên tồn tại
nữ > 0 sao cho dx ( zn, zữ) < s với mọi n > n0. Theo bất đẳng thức (*) ta có dg
1(W) (zn, z0) 0 vì vậy zn —>
z0.
Điều này có nghĩa dx xác định tô pô của X .
Cuối cùng, chúng ta chứng minh X là hyperbolic đầy.
Giả sử {zn} là dãy Cauchy trong X. Bởi tính chất giảm khoảng cách của giả khoảng cách Kobayashi nên {Qzn} là dãy Cauchy trong Y. Do giả thiết Y là hyperbolic đầy nên dãy {0zn} hội tụ trong Y. Giả sử {Qzn} —»■ w0 G Y. Theo giả thiết, tồn tại lân cận V của w0 sao cho ớ-1 (V) là hyperbolic đầy. Chọn r đủ nhỏ sao cho w = u (wữ, r) c V. Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng zn G 9~l (VK) với mỗi n > 1, trong đó w = u (w0, r/2). Vì {zn} là dãy Cauchy nên tồn tại
nữ > 1 sao cho dỵ (zm, zn) < s với mọi 777,, Ti > nữ.
Theo bất đẳng thức (*), ta suy ra
d x ( Z r m Z n ) ^ c d e - 1 { W ) { z m ì z n ) ^ ^Ớ_1(V) (^m ■ ) % n )
với mọi m, n > n0. Điều này kéo theo {zn} là dãy Cauchy trong không gian hyperbolic đầy ớ-1 (V), do đó dãy {zn} hội tụ trong X. Vậy X là không gian hyperbolic đầy.
Định lý 3.2.2. Giả sử X là không gian giải tích Banach, if : X —¥ [—00,00) là hàm nửa liên tục trên. Khi đó (X) là hyperbolic nếu
và chỉ nếu X là hyperbolic và ip bị chặn địa phương trên X. Chứng minh.
(=>) Giả sử íìp (X) là hyperbolic. Do X đẳng cấu với một không gian giải tích Banach con đóng của (X) nên X là không gian giải tích Banach hyperbolic. Bây giờ, chúng ta cần chứng tỏ rằng íp bị chặn địa phương trên X.
Giả sử ngược lại, tồn tại ZQ G X và một dãy { z ỵ } hội tụ tới Z Q sao cho
íp {zỵ) —»• 00. CỐ định (z0, w0) e dtp (X) ,w0 Ỷ 0- Không mất tính tổng quát, chúng ta giả sử |iu0| < e~(p('Zk\\/k > 1 Khi đó, chúng ta có: d ũv{ x ) { {z0ì 0)5 ( zữ, w0) ) < d n v ( x ) { { z0j 0), ( z k , 0)) + d ũ t f ỉ ( x ) { { z k ì 0)) i z k ì w o ) ) + d n v ( x ) { { z k i w o ) ì (^0) w0)) < dx{z0,zk) + dD k(0,w0) + dn^x )((zk, w0), {z0, Wo)), VA; > 1 ở đây D k = { z G c : \ z \ <
Cho k tiến ra 00, chúng ta thu được dft ((-^05 0), (z0,wữ)) = 0. Điều này mâu thuẫn với tính hyperbolic của Qp (X).
(<=) Ngược lại, giả sử X là hyperbolic và íp bị chặn trên địa phương trên X. Xét phép chiếu 7T : ŨV{X) —»■ X cho bởi 7ĩ(z, w) = z. Do X là
hyperbolic nên tồn tại lân cận hyperbolic u của ZQ trong X sao cho
R = inf ự } ( z ) >Z € U — 00. Khi đó
hyperbolic.
Theo Bổ đề 3.2.1, chúng ta có ngay Qp(x) là hyperbolic.
Định lý 3.2.3. Giả sử X là không gian giải tích B a n a c h , I f : X — > [—oo, +oo) là hàm nửa liên tục trên trên X. Nếu ỉìv(x) là hyperbolic đầy, thì X là hyperbolic và <f là hàm liên tục, nhận giá trị thực trên X.
Chứng minh. Do X đẳng cấu với một không gian giải tích Banach con đóng của rỉv(X) nên X là không gian giải tích Banach hyperbolic đầy. Theo Định lý 2.2.3, thì
tp nhận giá trị thực.
Bây giờ chúng ta chỉ ra rằng liên tục trên X. Giả sử ngược lại ip không liên tục tại z0 e X. Do ip là nửa liên tục trên trên X nên tìm được một dãy {zk} c X hội tụ tới z0 sao cho
e - < p ( z 0 ) < r < g - < p ( z k ) v0ị mọị k > 1 .
e-vM
Giả sử A0 =---, tức là |r Ao I = e~v (-Z o\ Vì vậy (2o,rAo) ị (X). Xét ánh xạ chỉnh hình 9 : B(zữ,ỗ) —> íìy.pí), được cho bởi
6{z) = {z,r\0).
Với mỗi k > 1 thì |rA0| = e~v (-z°} < e~l f^Z k\ điều này suy ra
^(x)((^,rAo),(^,rAo)) = dĩ ì í e [ x ){d{zk),d{zj))
^ dB(z0,5){zkĩ zj)
< d B ( z0,5) { z k i z ữ ) + d B ị Z ữ Ị s ) { z o ,
Z j )
Do đó {(Zk, rAo)} là dãy Cauchy trong miền Hartogs Banach đầy r^(x), nhưng {(zk, rA0)} hội tụ tới (z0, rA0) G íỉy, (^). Điều này vô lý.
Vậy ự) liên tục.
Chú ý. Điều ngược lại trong Định lý 3.2.3 không còn đúng nữa.
Thật vậy, tồn tại một hàm đa điều hòa dưới liên tục trong không gian hyperbolic đầy
D2R = {(21,2:2) e c2 : \zi\ < R, \z2\ < R} với R > 0, nhưng Q,t p{D2R) không là
hyperbolic đầy. Cụ thể như sau:
Theo M. Jarnicki và P. Pflug đã xây dựng được hàm g là logarit - đa điều hòa dưới (tức là logg e PSH (c2)), liên tục trên c2. Ngoài ra, {z € c2 : g ( z ) < 1} là bị chặn và có thành phần liên thông z sao cho z không hyperbolic đầy.
Khi đó ta chọn R > 0 sao cho ịz £ c2 : g(z) < 1} c D2R. Xét miền Hartogs
rĨV(.D^), trong đó íp = logg. Do
nên {(z, 1): 2 e z} c flv(D2R), vì vậy Q,i p{D2R) không là hyperbolic đầy.
Định lý 3.2.4. Giả sử X là không gian giải tích Banach, tp là hàm liên
tục và nhận giá trị thực trên X. Giả sử X là hyperbolic đầy và thỏa mãn điều kiện:
□ Khi
logg{z) _ g- ¥>(*)
Với mỗi z £ X, tồn tại một lân cận V của z sao cho với mỗi £ > 0 ,
tồn tại các hàm hi, . . . , hn chỉnh hình trên V sao cho
a) h j ( z ) ^ 0, V z £ V, V j = 1n ;
b) íf ự) — £ < max {log I hj (2')!} < if ự) ,\/z! e V
1 < j < n
Khi đó ííy, (X) là hyperbolic đầy.
Chứng minh. Xét phép chiếu chính tắc 7r :—> X, được cho bởi 7ĩ(z, X) = z.
Theo giả thiết, với mỗi z € X tồn tại lân cận V của z sao cho với mọi e > 0 , tồn tại
hị, . . . , hn e Hol (V) sao cho: