Gramian điều khiển và quan sát của hệ tuyến tính

2. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

2.1.2 Gramian điều khiển và quan sát của hệ tuyến tính

Xét một hệ tuyến tính, liên tục, tham số bất biến theo thời gian, ổn định tiệm cận có dạng biểu diễn tối thiểu như sau:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x t Ax t Bu t y t Cx t = + = & (2.1) trong đó, x Rn , u R^p, y R^q, A R^nxn, B R^nxp, C R^qxn.

Do A là ma trận ổn định (tất cả các giá trị riêng của A đều có phần thực âm) và hệ mô tả bởi phương trình trong (2.1) có khả năng điều khiển và quan sát hoàn toàn. Khi đó Gramian đặc trưng cho khả năng điều khiển và cho khả năng quan sát của hệ được định nghĩa như sau:

0 T At T A t

P e BB e dt

.

Q e C C e dt

Các tính chất của gramian điều khiển và gramian quan sát là

(i) Gramian điều khiển P và Gramian quan sát Q thỏa mãn hai phương trình Lyapunov sau đây:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/

AP + PA^T = -BB^T (2.4)

A^TQ + QA = -C^TC (2.5)

(ii) Gramian là đại lượng dùng để đo năng lượng điều khiển và năng lượng quan sát của hệ. Do đó:

- Năng lượng nhỏ nhất để điều khiển hệ từ trạng thái 0 tại thời điểm t = 0 tới trạng thái x_r tại thời điểm t = là * 1

r

x

r

x P .

- Năng lượng lớn nhất để quan sát trạng thái ban đầu x₀ của hệ là

*

0 x0

x Q

(iii) Các giá trị riêng của tích các Gramian P và Q là dương và bất biến đối với các phép biến đổi không suy biến.

Nhận xét: Tính chất (ii) của gramian điều khiển và quan sát cho chúng ta biết

biến trạng thái nào là khó điều khiển hoặc dễ điều khiển (cũng như khó quan sát hay dễ quan sát). Cụ thể, những biến trạng thái nằm trong vùng các vector riêng của P tương ứng với giá trị riêng lớn nhất sẽ là dễ điều khiển nhất vì chỉ cần năng lượng nhỏ để điều khiển những biến này. Tương tự, những biến trạng thái nằm trong vùng các vector riêng của Q tương ứng với giá trị riêng lớn nhất sẽ dễ quan sát nhất vì chỉ cần năng lượng nhỏ để quan sát những biến này.

Tính chất (ii) cho chúng ta ý tưởng về khái niệm cân bằng, tức là dùng một phép đổi biến để sắp xếp lại các biến trạng thái từ theo thứ tự dễ điều khiển/dễ quan sát đến khó điều khiển/khó quan sát.