2 Một số phương pháp xây dựng borno cơ bản
2.12.Không gian véctơ borno tách liên kết
Với mỗi không gian véctơ bornoE chúng ta sẽ liên kết với một không gian véctơ borno tách E˙ và một ánh xạ chính tắc từ E vào trong E˙ sao cho với mỗi ánh xạ tuyến tính bị chặn từE vào một không gian véctơ tách bất kỳ đều có thể phân tích duy nhất. Trước hết chúng ta cần đến khái niệm bao đóng borno.
Định nghĩa 2.17. Giả sử E là một không gian véctơ borno. Khi đó bao đóng borno (viết tắt: b - bao đóng, hoặc M - bao đóng) của một tập A⊂ E được kí hiệu bởi A là giao của tất cả các tập con đóng borno của E chứa A.
Nhận xét 2.12. Rõ ràng E là một tập b - đóng chứa A và giao của các tập b - đóng lại là b - đóng nên b - bao đóng của A là tập b - đóng nhỏ nhất chứa A.
Nhận xét 2.13. b - bao đóng của một tập con của E trùng với bao đóng theo một topo nào đó trên E.
Mệnh đề 2.13. Giả sử E là một không gian véctơ borno. Khi đó b - bao đóng của một không gian con của E cũng là một không gian con.
Chứng minh. Theo định nghĩa, với mỗi tập b - đóng A ⊂ E và với mỗi x ∈ E thì tập AX = {z ∈ E : (x+z) ∈ A} là b - đóng trong E.
Bây giờ giả sử F là một không gian con của E, F là bao đóng của F và x, y ∈ F. Nếu a là một phần tử bất kỳ của F thì tập Fa là b -đóng trong E và chứa F nên nó phải chứa F. Do đó (a+y) ∈ F ,∀a ∈ F.
Tiếp theo ta có tập Fy là b - đóng và chứa F ⇒ Fy ⊃ F ⇒ (x+y) ∈ F. Khi đó, ∀λ ∈ K, vì ánh xạ x → x từ E vào E là ánh xạ tuyến tính bị chặn nên nghịch ảnh của một tập b - đóng qua ánh xạ trên là một tập b - đóng (Nhận xét 2.11). Do đó tập
z ∈ E : λz ∈ F là tập b - đóng trong E chứa F và do đó chứa F. ⇒ λx ∈ F , ∀x ∈ F , λ ∈ K.
Vậy F là một không gian con.
Nhận xét 2.14. Nói chung mỗi phần tử của b - bao đóng của một tập A ⊂ E không phải là giới hạn borno của một dãy trong A kể cả khi A là
một không gian con của E.
Mệnh đề 2.14. Giả sử E là một không gian véctơ borno, {0} là b - bao đóng của {0} trong E, E˙ là thương E/{0} và ϕ : E −→E˙ là ánh xạ chính tắc. Khi đó:
(i) E˙ là một không gian véctơ borno tách.
(ii) Với mỗi ánh xạ tuyến tính bị chặn từ E vào một không gian véctơ borno tách G đều tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính bị chặn u˙ : ˙E −→ G sao cho u = ˙u◦ϕ.
Định nghĩa 2.18. Không gian E˙ trong Mệnh đề 2.14 được gọi là không gian véctơ borno tách liên kết với không gian E và ánh xạ ϕ : E −→E˙ là ánh xạ chính tắc từ E vào E˙.
KẾT LUẬN
Trong khóa luận này em đã tập chung nghiên cứu về "Một số phương pháp xây dựng borno cơ bản". Đóng góp chính của khóa luận là trình bày một cách có hệ thống, chi tiết hóa một số Định lý, Mệnh đề, Nhận xét như: Định lý 2.1, Mệnh đề 1.4, Mệnh đề 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.8, 2.11, Nhận xét 2.5, tìm hiểu thêm một số khái niệm mới và đưa ra các ví dụ minh họa cho các khái niệm đó mà trong chương trình Đại học chưa đề cập tới và mối liên hệ của chúng với các kiến thức có liên quan đến đề tài.
Như vậy có thể nói đề tài đã hoàn thành nhiệm vụ nghiên cứu đặt ra. Để hoàn thành được bài khóa luận tốt nghiệp này, một lần nữa em xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô trong khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 nói chung cũng như các thầy cô trong tổ giải tích nói riêng và đặc biệt là thầy Trần Văn Bằng - Người thầy đã tận tình giúp đỡ, chỉ bảo cho em trong suốt thời gian qua.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng song do hạn chế về mặt thời gian và kiến thức nên khóa luận của em không tránh khỏi những thiếu sót nhất định. Vì vậy em rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và bạn đọc để đề tài của em được hoàn hiện hơn.
Tài liệu tham khảo
[A] Tài liệu tiếng Việt
[1] Nguyễn Phụ Hy - Hoàng Ngọc Tuấn - Nguyễn Văn Tuyên (2007),Giáo trình topo đại cương độ đo tích phân, NXB Đại học Sư phạm Hà Nội. [2] Hoàng Tụy (2002), Hàm thực và giải tích hàm, NXB Đại học Quốc
Gia Hà Nội.
[B] Tài liệu tiếng Anh
[3] Leopoldo Nachbin (1977), Bornologies and Function Analysis, North - Holland.