2 Một số phương pháp xây dựng borno cơ bản
2.11. Tập đóng borno: Tính chất tách của thương borno
được gọi là đóng borno hoặc Mackey - đóng (viết tắt: b - đóng, hoặc M- đóng) nếu, ∀(xn)n∈N ⊂ A mà xn
M
→ x trong E thì ta có x ∈ A.
Nhận xét 2.9. Nếu E là không gian borno lồi thì tập A ⊂ E là b - đóng khi và chỉ khi với mỗi đĩa bị chặn B ⊂E thì A∩EB là đóng trong EB.
Nhận xét này được chỉ ra trực tiếp từ đặc trưng của dãy hội tụ theo borno trong không gian lồi địa phương (theo Mệnh đề 1.3).
Nhận xét 2.10. Ta có thể chỉ ra rằng: Tồn tại một topo trên E có các tập đóng chính là các tập con b - đóng của E.
Nhận xét 2.11. Giả sử E, F là các không gian véctơ borno và giả sử u : E −→ F là ánh xạ tuyến tính bị chặn. Khi đó nghịch ảnh qua u của các tập con b - đóng của F là tập con b - đóng của E.
Vì xn M
→ x trong E nên u(xn) →M u(x) trong F.
Mệnh đề 2.11. Một không gian véctơ borno E là tách khi và chỉ khi không gian véctơ con {0} là b - đóng trong E.
Chứng minh. Điều kiện cần: Giả sử E là không gian véctơ borno tách và đặt A = {0}. Giả sử (xn) là một dãy trong A hội tụ tới một phần tử x trong E. Mặt khác, vì xn = 0,∀ n nên dãy này cũng hội tụ tới 0 trong E. Do đó theo Mệnh đề 1.4 về sự tồn tại duy nhất của giới hạn borno trong không gian tách thì ta có: x = 0 ⇒x ∈ A.
Như vậy, ∀(xn) ⊂A : xn M
→x trong E thì ta có x ∈ A. Do đó không gian véctơ con {0} là b - đóng trong E.
Điều kiện đủ: Giả sử rằng {0} là b - đóng trong E và (xn) là một dãy hội tụ theo borno tới phần tử x và y trong E. Tức là, xn
M
→ x và xn M
→ y trong E.
Khi đó dãy xn −xn = 0 hội tụ tới x−y theo borno. Mặt khác, vì {0} là
b - đóng trong E nên x− y = 0 ⇒ x = y. Tức là giới hạn của mọi dãy hội tụ theo borno trong E đều là duy nhất. Do đó theo Mệnh đề 1.4 thì không gian véctơ borno E là tách.
Tiếp theo chúng ta đưa ra tiêu chuẩn tách đối với borno thương. Mệnh đề 2.12. Giả sử E là một không gian véctơ borno và M là một không gian con của E. Khi đó thương E/M là tách khi và chỉ khi M là đóng borno trên E.
Chứng minh. Nếu E/M tách thì {0} là b - đóng trong E/M.
Nếu ϕ : E →E/M là ánh xạ chính tắc thì M = ϕ−1(0) là b - đóng trong E.
Ngược lại, giả sửM là b - đóng trongEvàH là một không gian con bị chặn của E/M. Để chứng minh E/M là tách ta phải chứng minh: H = {0}.
Thật vậy, giả sử ϕ(x) ∈ H, x ∈ E khi đó tồn tại một tập tròn, bị chặn A ⊂E sao cho Kϕ(x) ⊂ϕ(A) ⇒ Kx ⊂ A+M. Do đó với mỗi n∈ N, nx ∈ A+M ⇒ ∃ (xn) ⊂M : nx−xn ∈ A ⇒ (x−yn) ∈ 1 n A trong đó yn = xn n ∈ M ⇒ yn M −→ x. Vì M là b - đóng nên x∈ M ⇒ ϕ(x) = 0.