Phép vị tự

Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.

2.1.7. Phép vị tự - Định nghĩa - Định nghĩa

Cho điểm O và số k ≠ 0. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho OM’ = k. OM được gọi là phép vị tự tâm O, tỉ số k (h.2.16). 

M’ M P’ P O N N’ Hình 2.16.

Phép vị tự tâm O, tỉ số k thường được kí hiệu là V(O,k) .

- Nhận xét

+ Phép vị tự biến tâm vị tự thành chính nó. + Khi k = 1, phép vị tự là phép đồng nhất.

+ Khi k = -1, phép vị tự là phép đối xứng qua tâm vị tự. + M’ = V(O,k) (M)  M = V

(O,1k) (M’).

- Tính chất + Tính chất 1

Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M, N tùy ý theo thứ tự thành M’, N’ thì 

M’N’ = k.MN và M’N’ = |k|.MN. 

+ Tính chất 2

Phép vị tự tỉ số k:

- Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm ấy (h.2.17).

- Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.

- Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc bằng nó (h.2.18).

- Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính |k|R (h.2.19). A A’ B B’ I C’ C Hình 2.17 A’ A C’ A’ C A R’ I R B B’ I O O’ Hình 2.18 Hình 2.19

+ Định lí: Với hai đường tròn bất kì luôn có một phép vị tự biến đường tròn này thành đường tròn kia.

Tâm của phép vị tự nói trên được gọi là tâm vị tự của hai đường tròn. Cho hai đường tròn (I ; R) và (I’ ; R’). Có ba trường hợp xảy ra:

- Nếu I trùng với I’ thì phép vị tự tâm I tỉ số R’R và phép vị tự tâm I tỉ số - R’

R biến đường tròn (I ; R) thành đường tròn (I ; R’) (h.2.20). M’ R’ M R I Hình 2.20

Nếu I khác I’ và R ≠ R’ thì phép vị tự tâm O tỉ số k = R’R và phép vị tự tâm O1 tỉ số k1 = - R’R sẽ biến đường tròn (I ; R) thành đường tròn

(I’ ; R’) (h.2.21). Ta gọi O là tâm vị tự ngoài còn O1 là tâm vị tự trong của hai đường tròn nói trên.

M’ Hình 2.21 M

R R’ O I O1 I’

M’’

Nếu I khác I’ và R = R’ thì chỉ có phép vị tự tâm O1 tỉ số k = - RR = -1 biến đường tròn (I ; R) thành đường tròn (I’ ; R’). Đó là phép đối xứng tâm O1 (h.2.22). M M’ I O1 I’ M’’ Hình 2.22 2.1.8. Phép đồng dạng - Định nghĩa Phép biến hình F được gọi là phép đồng dạng tỉ số k ( k >0), nếu với hai điểm M, N bất kì và ảnh M’, N’ tương ứng của chúng ta luôn có M’N’ = kMN (h.2.23). B M B’ M’ A N C C’ N’ A’ Hình 2.23 - Nhận xét + Phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số 1.

+ Phép vị tự tỉ số k là phép đồng dạng tỉ số |k|.

+ Nếu thực hiện liên tiếp phép đồng dạng tỉ số k vầ phép đồng dạng tỉ số p ta được phép đồng dạng tỉ số pk.

- Tính chất

Phép đồng dạng tỉ số k:

a. Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm ấy.

b. Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.

c. Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc bằng nó.

d. Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính kR.

 Chú ý.

a. Nếu một phép đồng dạng biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’ thì nó cũng biến trọng tâm, trực tâm, tâm các đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác ABC tương ứng thành trọng tâm, trực tâm, tâm các đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác A’B’C’ (h.2.24).

C’ A O C B A’ B’ Hình 2.24.

b.Phép đồng dạng biến đa giác n cạnh thành đa giác n cạnh, biến đỉnh thành đỉnh, biến cạnh thành cạnh.

* Hình đồng dạng - Định nghĩa

Hai hình được gọi là đồng dạng với nhau nếu có một phép đồng dạng biến hình này thành hình kia.

2.2. Những lỗi sai trong sách giáo khoa và sách bài tập hình học 11

cơ bản chương 1 và cách khắc phục.

Tìm hiểu rất kỹ, nhưng tác giả không tìm thấy lỗi trong sách bài tập hình học lớp 11 (cơ bản). Chỉ thấy những lỗi trong sách giáo khoa Hình học 11. Vì vậy, khóa luận tập trung nêu và cách khắc phục các lỗi trong sách giáo khoa Hình học 11.

2.2.1. Lỗi sai sót thứ nhất Trong bài 2 : phép tịnh tiến. Trong bài 2 : phép tịnh tiến. Tính chất 1 (SGK/ 6) : Nếu Tv (M) = M’, Tv (N) = N’ thì M’N’ =  MN và từ đó suy ra  M’N’ = MN. Chứng minh: Thật vậy, để ý rằng MM’ =  NN’ =  v và M’M = - v (h.2.25), ta có M’N’ =  M’M +  MN +  NN’ = - v + MN +  v = MN.  Từ đó suy ra M’N’ = MN.

M v M’ v v N N’ Hình 2.25.

Tính chất trên đã mắc phải lỗi sai đó là vẽ thiếu hình vẽ đối với trường hợp điểm M và N nằm trên một đường thẳng. Khắc phục như sau: Ta chỉ cần vẽ thêm hình với trường hợp điểm M và N cùng nằm trên một đường thẳng (h.2.26). v v v M M’ N N’ Hình 2.26

2.2.2. Lỗi sai sót thứ hai Trong bài 4: Phép đối xứng tâm

Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm qua gốc tọa độ trong sách giáo khoa trang 13 có ghi như sau:

Trong hệ tọa độ Oxy cho M = (x ; y), M’ = ĐO(M) = (x’ ; y’), khi đó x’=-x

Nói như trên là sai vì trong hệ tọa độ chỉ là hai trục vuông góc không thể có M (x ; y) được.

Ta khắc phục lại như sau:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho M = (x ; y), M’ = ĐO(M) = (x’ ; y’), khi đó x’=-x

y’=-y .

2.2.3. Lỗi sai sót thứ ba

Trong bài 6: Khái niệm về phép dời hình và hai hình bằng nhau

Phần III. Khái niệm hai hình bằng nhau sách giáo khoa trang 22. Đoạn trích như sau:

“Chúng ta đã biết phép dời hình biến một tam giác thành tam giác bằng nó Người ta cũng chứng minh được rằng với hai tam giác bằng nhau luôn có một phép dời hình biến tam giác này thành tam giác kia. Vậy hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi có một phép dời hình biến tam giác này thành tam giác kia. Người ta dùng tiêu chuẩn đó để định nghĩa hai hình bằng nhau:

Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia”.

Đoạn trích trên là một suy diễn để đi đến định nghĩa về hai hình bằng nhau. Nhưng sự suy diễn đó rất lẩn quẩn (vì lấy khái niệm bằng nhau chưa biết để định nghĩa hai hình bằng nhau) làm cho học sinh sẽ khó hiểu ra vấn đề.

Ta khắc phục lại như sau:

“ Hai tam giác thỏa mãn các dấu hiệu sau: các cạnh tương ứng bằng nhau hoặc các góc tương ứng bằng nhau thì tồn tại phép dời hình biến tam giác này thành tam giác kia. Từ đó ta có thể dễ dàng đi đến định nghĩa hai hình bằng nhau:

Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia”.

2.2.4. Lỗi sai sót thứ tư Ở bài 7: Phép vị tự Ở bài 7: Phép vị tự

Ví dụ 2 sách giáo khoa trang 25.

Gọi A’, B’, C’ theo thứ tự là ảnh của A, B, C qua phép vị tự tỉ số k. Chứng minh rằng AB = t  AC, t   R A’B’ = t  A’C’. 

Giải

Gọi O là tâm của phép vị tự tỉ số k, ta có A’B’ = k  AB,  A’C’ = k  AC.  Do đó:

AB = t  AC   1k A’B’ = t 1k  A’C’  A’B’ = t  A’C’. 

Trong lời giải của ví dụ trên đã mắc phải lỗi sai đó là: không cần thiết phải gọi điểm O là tâm của phép vị tự tỉ số k. Vì như vậy sẽ làm cho bài toán trở nên rối hơn.

Ta sửa lại lời giải đó như sau:

Ta có A’B’ = k  AB,  A’C’ = k  AC. Do đó  AB = t  AC   1k A’B’ = t 1k  A’C’  A’B’ = t  A’C’. 

2.2.5. Lỗi sai sót thứ năm

Trong bài 7 phép vị tự. Ví dụ 3 sách giáo khoa trang 26 :

Cho điểm O và đường tròn ( I ; R). Tìm ảnh của đường tròn đó qua phép vị tự tâm O tỉ số -2.

Ta chỉ cần tìm I’ = V(O,-2) (I) bằng cách lấy tia đối của tia OI điểm I’ sao cho OI’ = 2OI. Khi đó ảnh của (I ; R) là (I’ ; 2R) (h.2.27).

M’ 2R I R O I’ M Hình 2.27

Ví dụ trên mắc phải lỗi sai đó là giải thiếu một trường hợp điểm O trùng với I. Vì khi O trùng I thì không tồn tại tia OI.

Ta khắc phục ví dụ trên như sau: Xét 2 trường hợp:

+ Trường hợp 1: O khác I

Ta chỉ cần tìm I’ = V(O,-2) (I) bằng cách lấy tia đối của tia OI điểm I’ sao cho OI’ = 2OI. Khi đó ảnh của (I ; R) là (I’ ; 2R) (hình 2.28).

M’ 2R I I’ R M Hình 2.28 + Trường hợp 2: O trùng I

Khi đó phép vị tự tâm O tỉ số -2 biến đường tròn (I ; R) thành đường tròn (I’ ; 2R) (h.2.29). M’ 2R R I M Hình 2.29

2.3. Một số bài học kinh nghiệm và kiến nghị. 2.3.1. Bài học kinh nghiệm. 2.3.1. Bài học kinh nghiệm.

Sách giáo khoa là một công trình lớn. Sự chính xác của SGK (cả về kỹ thuật và kiến thức) có ảnh hưởng rất lớn tới cả người dạy và người học. Tuy nhiên trên thực tế vẫn đang có những sai sót do biên soạn sách và in ấn. Đó có thể là những sơ suất về lỗi kỹ thuật hay những thiếu sót về kiến thức. Thực tế này đòi hỏi khi tiếp cận SGK, cả giáo viên, sinh viên, học sinh,... (nói chung là những người sử dụng sách) cần phải quan tâm và lưu ý tới những vấn đề sau đây:

Trước hết, phải bảo đảm sử dụng đúng SGK của Nxb Giáo dục và Đào tạo. SGK của Nxb Giáo dục và Đào tạo là sách mà những kiến thức cơ bản mang tính chính thống được nhà nước lựa chọn đúng quy định về chuẩn kiến thức ở bậc học phổ thông. Người dạy và người học cũng cần lưu ý, tránh mua

phải những cuốn SGK giả, sách ngoài luồng. Loại sách này thường hay tồn tại những lỗi, đặc biệt là lỗi về kỹ thuật, in ấn, có khi mất dòng, mất trang.

Khi tiếp cận SGK, giáo viên với tư cách nhà chuyên môn phải chủ động nghiên cứu để thấu hiểu nội dung và phương pháp của từng bài, mục. Thực tế cho thấy: Trong việc giảng dạy giáo viên cần đảm bảo đúng và đủ dung lượng kiến thức trong SGK, nhưng không nên quá phụ thuộc vào sách. Bản thân mỗi giáo viên cần phát huy tinh thần độc lập và sáng tạo trong giảng dạy. Việc này giúp cho người dạy chủ động kiểm soát những sai sót đáng tiếc của sách. Thông qua đó, họ sẽ hạn chế được tới tới mức thấp nhất những sơ suất trong quá trình giảng dạy và những sai phạm của sách. Với trình độ của học sinh nói chung, các em thường chưa thể phát hiện ra những sai sót của SGK. Khi giáo viên phát hiện ra những thiếu sót nào đó của sách, thì cần phải kịp thời hướng dẫn học sinh nhận thức lại cho đúng và chỉnh sửa.

Học sinh cũng cần phải chủ động trong việc tiếp cận SGK. Trước hết, học sinh cần đọc kỹ từng bài học trong sách. Các em có thể phát hiện những lỗi về kỹ thuật. Trên cơ sở đó, dưới sự hướng dẫn của giáo viên, học sinh sẽ tiến hành sửa chữa những sai sót đó. Trong quá trình làm bài tập (ở SGK và SBT), sau khi giải xong mỗi một bài, học sinh cần phải tham khảo phần đáp án và lời giải có in ở phần cuối của sách. Nếu thấy có sự khác biệt, cần xem lại bài giải của mình, nếu như chắc chắn đáp số của mình mới là đúng, phải cùng với giáo viên nhận ra lý do đã dẫn đến sự sai sót đó. Quá trình tương tác giữa người học và người dạy trong tình huống ấy cũng là một giải pháp tốt để nâng cao chất lượng đào tạo.

2.3.2. Một số kiến nghị

Là sinh viên đại học sư phạm, cũng đã qua 12 năm học phổ thông và tương lai sẽ có thể gắn bó nhiều với SGK, tôi muốn đưa ra một số kiến nghị

với hy vọng những đóng góp của mình có thể góp phần nhỏ bé vào việc hoàn thiện công trình SGK nói chung và SGK môn toán nói riêng.

Trước hết, việc biên soạn và thẩm định hệ thống SGK và SBT cần phải được làm cẩn thận, tỉ mỉ để đảm bảo sự chính xác cao nhất.

Mỗi trường học cần thường xuyên có những buổi thảo luận, trao đổi ý kiến về chuyên môn, kinh nghiệm giảng dạy. Thông qua những buổi trao đổi ý kiến như vậy, nhiều vấn đề sẽ được giải quyết, trong đó có việc tìm ra những thiếu sót của SGK và cách khắc phục những thiếu sót đó.

Trong phần lời giải ở SBT các môn khoa học tự nhiên nói chung và toán học nói riêng nên đưa ra nhiều cách giải cho một bài. Nhờ đó, hiện tượng đáp án sai sẽ được khắc phục. Bên cạnh đó, giáo viên cũng như học sinh sẽ có nhiều cách tiếp cận và giải quyết mỗi bài toán.

Những điều trình bày trên đây càng nói nên rằng: tốt nhất là phải có một cuốn sách, một bộ SGK thật chuẩn mực. Để nói về điều này, tác giả xin được nêu những thông tin mới nhất ở cấp nhà nước trong mối quan tâm về SGK.

Tại hội nghị tham vấn các chuyên gia giáo dục, nhà khoa học về chương trình - sách giáo khoa phổ thông do Ủy ban Văn hóa, giáo dục, thanh niên, thiếu niên và nhi đồng của Quốc hội tổ chức ngày 5/4/2013, có nhiều ý kiến xoay quanh việc tìm giải pháp để khắc phục những bất cập của SGK hiện nay. Một trong những ý kiến được nhiều người quan tâm và nhất trí đó là huy động nhiều tổ chức, cá nhân, các viện nghiên cứu, các trường đại học có chuyên môn tham gia việc biên soạn công trình SGK. Với 200 người tham gia thiết kế chương trình và trên 600 người tham gia biên soạn SGK hiện hành là một đội ngũ khá hùng hậu. Tại hội nghị, có ý kiến cho rằng nên chọn lọc tinh hơn đội ngũ xây dựng chương trình và SGK, nhưng cũng có ý kiến nêu cần mở rộng để nhiều người cùng góp sức. GS Nguyễn Lân Dũng cho rằng cần

tận dụng chất xám các nhà khoa học của các hội chuyên môn như hội sinh học, vật lý, sử học... để thiết kế chương trình - SGK: “Tôi không thấy Bộ GD- ĐT mời chúng tôi tham gia, trong khi ở nhiều nước khác, các viện nghiên cứu, hội nghề nghiệp cũng có thể viết SGK. Trong tay tôi có tới 70 cuốn SGK sinh học của các nước do các nhóm tác giả khác nhau viết, họ viết rất tốt... Vậy thì tại sao chúng ta phải lo ngại? ”. Đây thực sự là những đề xuất hứa hẹn mang lại nhiều hiệu quả. Bản thân tôi rất mong muốn đề xuất này được nhanh chóng thực hiện trong công tác biên soạn SGK trong tương lai.

TS Vũ Văn Dụ - nguyên vụ trưởng Vụ Giáo viên, Bộ GD-ĐT - nhận xét khuyết điểm mãn tính của tất cả các cuộc cải cách giáo dục và đổi mới giáo dục là đội ngũ giáo viên “ngơ ngác” trước các vấn đề đổi mới ở bậc phổ thông. “Đúng ra cần bắt đầu từ các trường sư phạm. Với việc nghiên cứu đổi mới chương trình - SGK phổ thông, Bộ GD-ĐT phải tập hợp các trường ĐH sư phạm mạnh cùng nghiên cứu, cùng thực hiện và đổi mới đầu tiên từ việc