Trong möc n y ta ÷a ra mët sè b i to¡n vªn döng ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy cëng t½nh º gi£i quy¸t. Mët sè b i to¡n l · thi håc sinh giäi c¡c n÷îc, ÷ñc tr½ch tø t i li»u [9] cõa t¡c gi£ Titu Andreescu v Iurie Boreico.
B i to¡n 1.1 (AMM 2001) T¼m t§t c£ c¡c h m sè f : R → R thäa m¢n
f(x2 +y +f(y)) = 2y+f2(x) vîi måi sè thüc x, y ∈ R.
B i to¡n 1.2 T¼m t§t c£ c¡c h m sè f, g, h :R → R sao cho
f(x+y) =f(x)g(y) +h(y) vîi måi sè thüc x, y ∈ R.
B i to¡n 1.3 Chùng minh r¬ng måi h m cëng t½nh f tr¶n R+ bà ch°n d÷îi (tr¶n) tr¶n mët kho£ng R+ câ d¤ng f(x) =f(1)x vîi måi x∈ R+.
B i to¡n 1.4 (Tuymaada 2003) T¼m t§t c£ c¡c h m sè f : R+ → R
thäa m¢n f(x+ 1 x) +f(y+ 1 y) = f(x+ 1 y) +f(y+ 1 x) vîi måi x, y ∈ R+.
B i to¡n 1.5 (Sankt-Petersburg) T¼m måi h m sè f : R → R thäa m¢n
f(f(x+y)) = f(x) +f(y) vîi måi sè thüc x, y ∈ R.
B i to¡n 1.6 T¼m t§t c£ c¡c c°p cõa h m sè f, g :R → R thäa m¢n
f(x) +f(y) = g(x+y)
B i to¡n 1.7 T¼m t§t c£ c¡c h m sè f :N → N thäa m¢n
f(m2+f(n)) = f(m)2 +n
B i to¡n 1.8 T¼m t§t c£ c¡c h m sèf : R →R thäa m¢n
f(f(x) +yz) = x+f(y)f(z)
vîi måi sè thüc x, y, z ∈R.
B i to¡n 1.9 T¼m t§t c£ c¡c h m sè f :R → R sao cho
f(f(x)2 +y) = x2 +f(y)
B i to¡n 1.10 (Bulgaria 2004) T¼m t§t c£ c¡c h m sè f : R → R
thäa m¢n (f(x)−f(y))f x+y x−y = f(x) +f(y) vîi måi sè thüc x, y ∈ R v x 6= y.
B i to¡n 1.11 (India 2003) T¼m t§t c£ c¡c h m sè f : R → R thäa m¢n
f(x+y) +f(x)f(y) = f(x) +f(y) +f(xy) vîi måi sè thüc x, y ∈ R.
Ch֓ng 2
Mët sè ùng döng cõa ph÷ìng tr¼nh h m
Cauchy
Trong ph¦n n y, ta tr¼nh b y mët v i ùng döng cõa ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy ÷ñc tr½ch tø t i li»u [7]. Sû döng ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy cëng t½nh x¡c ành têng lôy thøa k cõa n sè tü nhi¶n ¦u ti¶n vîi
k = 1,2,3. Ta chùng minh r¬ng sè c°p câ thº trong sè n ph¦n tû câ thº ÷ñc x¡c ành sû döng ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy cëng t½nh. Hìn núa, ta sû döng ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy cëng t½nh º t¼m têng cõa chuéi húu h¤n.
2.1. Têng c¡c lôy thøa cõa sè nguy¶n
°t
fk(n) = 1k + 2k+...+nk (2.1) vîi n l sè nguy¶n d÷ìng v k l sè nguy¶n khæng ¥m. fk(n) l kþ hi»u cõa têng lôy thøa thù k cõa n sè tü nhi¶n ¦u ti¶n. T¼m cæng thùc cõa fk(n) ¢ thu hót sü quan t¥m cõa nhi·u nh to¡n håc kho£ng thíi gian hìn 300 n«m, bt ¦u tø thíi cõa James Bernoulli (1655-1705). Câ nhi·u ph÷ìng ph¡p kh¡c nhau ¢ ÷ñc sû döng º t¼m têng fk(n) (ch¯ng h¤n Vakil (1996)). Trong luªn v«n n y, ta s³ vªn döng ph÷ìng
tr¼nh h m Cauchy º t½nh têng fk(n) vîi k = 1,2,3 v vîi k tòy þ. Chó þ r¬ng fk : N→ N l h m sè trong â k = 0,1,2, . . .
2.1.1. Têng cõa n sè tü nhi¶n ¦u ti¶nCho h m f1 thäa m¢n