Ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy
f(x+y) =f(x) +f(y) vîi x, y ∈ R. (CE) Câ thº ÷ñc têng qu¡t th nh
f(x1 +y1, x2 +y2, ..., xn+yn) =f(x1, x2, ..., xn) +f(y1, y2, ..., yn) vîi (x1, x2...xn) ∈ Rn v (y1, y2...yn) ∈ Rn. Ð ¥y f : Rn → R. Ta c¦n t¼m nghi»m têng qu¡t cõa ph÷ìng tr¼nh h m n y. Vîi ph¤m vi luªn v«n tæi ch¿ x²t tr÷íng hñp n = 2. Tùc l x²t ph÷ìng tr¼nh
f(x1 +y1, x2 +y2) = f(x1, x2) +f(y1, y2) (FE) vîi måi x1, x2, y1, y2 ∈R.
ành lþ 1.15 Nghi»m têng qu¡t f : R2 → R cõa ph÷ìng tr¼nh h m (FE) ÷ñc cho bði
f(x1, x2) = A1(x1) +A2(x2), (1.54) vîi A1, A2 : R →R l cëng t½nh.
Chùng minh. Cho x2 = y2 = 0 thay v o (FE) ta câ
f(x1+y1,0) = f(x1,0) +f(y1,0). (1.55) X²t h m sè A1 : R →R x¡c ành bði
Khi â tø (1.56), (1.55) ta câ
A1(x1 +y1) =A1(x1) +A1(y1).
Do â A1 : R → R l mët h m cëng t½nh. T÷ìng tü cho x1 =y1 = 0 trong (FE) ta câ
f(0, x2 +y2) = f(0, x2) +f(0, y2).
X²t h m sè A2 : R →R x¡c ành bði
A2(x) = f(0, x) (1.57) ta thu ֖c
A2(x2 +y2) =A2(x2) +A2(y2),
v¼ vªy A2 : R → R l mët h m cëng t½nh. Ti¸p theo ta thay th¸ v o (FE) y1 = 0 = x2 ta ÷ñc f(x1, y2) =f(x1,0) +f(0, y2) = A1(x1) +A2(y2). Do vªy f(x, y) = A1(x) +A2(y), khi x, y ∈ R, vîi A1, A2 :R → R l h m cëng t½nh tr¶n R.
ành lþ 1.15 ch¿ ra vîi b§t ký h m cëng t½nh hai bi¸n tr¶nR2 câ thº biºu di¹n th nh têng cõa hai h m sè cëng t½nh mët bi¸n.
Ngh¾a l
f(x, y) = A1(x) +A2(y),
vîi f : R2 →R v A1, A2 :R → R.
ành lþ 1.15 công câ thº ÷ñc ph¡t biºu nh÷ ành lþ sau ¥y.
ành lþ 1.16 N¸u f :R2 → R cëng t½nh tr¶n R2 khi â tçn t¤i c¡c h m cëng t½nh A1, A2 : R →R sao cho
f(x1, x2) =A1(x1) +A2(x2) (1.58) vîi måi x1, x2 ∈R.
ành lþ d÷îi ¥y suy ra tø ành lþ 1.16 v ành lþ 1.1.
ành lþ 1.17 N¸u f : R2 → R l mët h m cëng t½nh li¶n töc tr¶n R2, khi â tçn t¤i c¡c h¬ng sè c1, c2 sao cho
f(x1, x2) = c1x1 +c2x2 (1.59) vîi måi x1, x2 ∈R.
K¸t qu£ n y câ thº trð n¶n m¤nh hìn b¬ng c¡ch thay i·u ki»n y¸u hìn v· t½nh li¶n töc cõa f : R2 →R.
Bê · 1.1 N¸u mët h m cëng t½nh f : R2 → R li¶n töc èi vîi méi bi¸n th¼ nâ li¶n töc.
Chùng minh. V¼ h m sè f : R2 → R cëng t½nh theo ành lþ 1.16 ta câ
f(x, y) = A1(x) +A2(y) vîi måi x, y ∈ R.
V¼ f li¶n töc vîi méi bi¸n n¶n ta th§y r¬ng A1 v A2 li¶n töc do â lim x→x0 A1(x) = A1(x0) v lim y→y0 A2(y) =A2(y0). Ta câ lim (x,y)→(x0,y0)f(x, y) = lim (x,y)→(x0,y0)[A1(x) +A2(y)] = lim x→x0A1(x) + lim y→y0A2(y) = A1(x0) +A2(y0) = f(x0, y0).
i·u n y ch¿ ra r¬ng f li¶n töc.
ành lþ 1.18 N¸u f : R2 → R l mët h m sè cëng t½nh tr¶n R2 v li¶n töc theo méi bi¸n th¼ tçn t¤i c¡c h¬ng sè c1, c2 sao cho
f(x1, x2) = c1x1 +c2x2 (1.60) vîi måi x1, x2 ∈R.
ành lþ 1.15 công óng ¸n n b§t k¼ ngh¾a l n¸u f : Rn → R thäa m¢n f(x1 +y1, x2 +y2, ..., xn+yn) =f(x1, x2, ..., xn) +f(y1, y2, ..., yn) vîi måi (x1, x2, ..., xn),(y1, y2, ..., yn) tr¶n Rn th¼ f(x1, x2, ..., xn) = n X k=1 Ak(xk), trong â Ak : R →R (k = 1,2, ..., n) l c¡c h m cëng t½nh. Ta cè ành a∈ R v f :R2 → R l h m sè cëng t½nh khi â ta câ f(x, y) =f(x, y) + 2f(a, a)−2f(a, a) = f(x+a+a, y +a+a)−2f(a, a) = f((x+a) +a, a+ (y+a))−2f(a, a) = f(x+a, a) +f(a, y +a)−2f(a, a) = f(x+a, a)−f(a, a) +f(a, y+a)−f(a, a) = A1(x) +A2(y), vîi A1(x) := f(x+a, a)−f(a, a) v A2(y) := f(a, y +a)−f(a, a).
Ti¸p theo ta chùng minh r¬ng A1, A2 l c¡c h m cëng t½nh tr¶n R x²t
A1(x+y) = f(x+y+a, a)−f(a, a) = f(x+y+a, a) +f(a, a)−2f(a, a) = f(x+y+a+a, a+a)−2f(a, a) = f(x+a, a) +f(y+a, a)−2f(a, a) = f(x+a, a)−f(a, a) +f(y+a, a)−f(a, a) = A1(x) +A1(y). V¼ vªy A1 l h m sè cëng t½nh t÷ìng tü ta câ A2(x+y) =A2(x) +A2(y),
hay A2 l h m sè cëng t½nh vªy ta câ
f(x, y) = A1(x) +A2(y),