2 Môđun Cohen-Macaulay dãy
2.3 Đặc trưng tham số
Trong phần này ta sẽ trả lời cho những câu hỏi đã nêu trong phần đầu luận văn. Đầu tiên ta có bổ đề bổ trợ quan trọng sau.
Bổ đề 2.3.1. Cho F : M0 ⊂ M1 ⊂ ... ⊂ Mt = M là một lọc thỏa mãn điều kiện chiều và x= (x1, ..., xd) là một hệ tham số của tốt ứng với lọc F. Giả sử rằng IF,M(x(n)) = 0 với mọi số nguyên dương n1, ..., nd. Khi đó (x1, ..., xi)M :M x2j = (x1, ..., xi)M + 0 :M xj với mọi 06 i < j 6d.
Chứng minh. Ta chứng minh bổ đề bằng quy nạp theo chiều của M. Vì IF,M(x(n)) = 0 với mọi số nguyên dương n1, ..., nd nên theo Bổ để 2.2.3 x là dd-dãy trên M. Suy ra (x1, ..., xi)M : x2j = (x1, ..., xi)M : xj với mọi 0 6 i < j 6 d. Trường hợp d = 1 là hiển nhiên đúng. Bây giờ giả sử d > 1 và trước tiên xét dimM1 > 1. Với bất kì số nguyên dương n1 ta có lọc sau F xn1 1 F : M0 +xn1 1 M xn1 1 M ⊂ M1 + x n1 1 M xn1 1 M ⊂ ... ⊂ Mt−1 +x n1 1 M xn1 1 M ⊂ M xn1 1 M,
trong đó dim(Mi + xn1
1 )/xn1
1 M = di −1 với mọi i > 0. Suy ra lọc xnF1
1 F
thỏa mãn điều kiện chiều. Do IF,M(x(n)) = 0 suy ra x là dd-dãy trên M. Từ đó suy ra (x2, ..., xd) là dd-dãy trên M/xn1
1 M do đó theo Hệ quả 2.2.7 và Chú ý 2.1.3 (iv) thì (x2, ..., xd) là hệ tham số tốt của M/xn1
1 M
ứng với lọc xnF1
1 F. Lý luận tương tự như trong chứng minh Bổ đề 2.1.8 ta được IF/xn1 1 F,M/xn1 1 M(xn2 2 , ..., xnd d ) 6 IF,M(x(n)). Suy raIF/xn1 1 F,M/xn1 1 M(xn2 2 , ..., xnd
d ) = 0với mọi số nguyên dương n1, ..., nd. Mặt khác theo giả thiết quy nạp ta có
(x2, ..., xi)(M/xn1
1 M) : xj = (x2, ..., xi)(M/xn1
1 M) + xn1
1 M :xj/xn1
1 M
với mọi 16 i < j 6 d. Suy ra (xn1
1 , x2, ..., xi)M : xj = (xn1
1 , x2, ..., xi)M +xn1
1 M : xj.
Lấy n1 = 1, ta chứng minh x1M : xj = x1M + 0 :M xj. Vì dimM1 > 2 nên khi đổi chỗ x1 và x2 trong x ta thu được hệ tham số vẫn thỏa mãn các điều kiện của giả thiết. Do đó ta có
(xn2
2 , x1, x3, ..., xi)M : xj = (xn2
2 , x1, x3, ..., xi)M +xn2
2 M : xj. Với i = 1, áp dụng Định lý giao Krull ta có
x1M : xj = \ n2 (x1, xn2 2 )M : xj = \ n2 ((x1, xn2 2 )M +xn2 2 M : xj) = x1M + 0 :M xj.
Như vậy bổ đề đúng khi dimM1 >2.
Kí hiệu N = 0 :M x2, khi đó M1 ⊆ N và dimN = 1. Đặt M = M/N, ta có dãy khớp sau
trong đó Kerφ = N ∩ x(n)M = xn1
1 M theo Bổ đề 2.2.6. Vì vậy `(M/x(n)M) = `(N/xn1
1 N) +`(M /x(n)M).
Môđun N có lọc thỏa mãn điều kiện chiều F1 : M0 ⊂ N và môđun M có lọc thỏa mãn điều kiện chiều
F2 : 0 ⊂ (M2 + N)/N ⊂ (M3 +N)/N ⊂... ⊂ (Mt−1 +N)/N ⊂ M/N. Vì dimN = 1, dim(Mi + N)/N = di và e(x1, ..., xdi;Mi + N/N) = e(x1, ..., xdi;Mi) với mọi i >1 nên
IF
2,M(x(n)) +IF1,N(xn1
1 ) 6 IF,M(x(n)) = 0, suy ra IF
2,M(x(n)) = 0. Chú ý rằng dim(M2+N)/N > 2 khi đó áp dụng phần đầu chứng minh cho môđun M và lọc F2 ta có
(x1, ..., xi)M : xj = (x1, ..., xi)M + 0 :M xj với mọi 16 i < j 6 d. Vậy suy ra
[(x1, ..., xi)M +N] : xj = (x1, ..., xi)M +N :M xj.
Lại có x là dd-dãy nên khi đó N :M xj = 0 :M x2xj = 0 :M xj. Từ bao bàm
[(x1, ..., xi)M +N] : xj ⊂ (x1, ..., xi)M : xj ⊂(x1, ..., xi)M + 0 :M xj suy ra (x1, ..., xi)M : xj = (x1, ..., xi)M + 0 :M xj với mọi 06 i < j 6 d. Bổ đề được chứng minh.
Định lý 2.3.2. Cho M là một R−môđun hữu hạn sinh chiều d và D : D0 ⊂ D1 ⊂ ... ⊂ Dt = M là lọc chiều của M. Các khẳng định sau là tương đương:
(i) M là môđun Cohen-Macaulay dãy.
(iii) Tồn tại hệ tham số x = (x1, ..., xd) của M sao cho x là dd-dãy trên
M và ID,M(x) = 0.
(iv) Tồn tại hệ tham số tốt x = (x1, ..., xd)của M sao choID,M(x(n)) = 0
với mọi số nguyên dương n1, ..., nd.
Chứng minh. (i) ⇒ (ii): Được suy ra trực tiếp từ Mệnh đề 2.2.4 (i). (ii) ⇒ (iii): Ta có luôn tồn tại hệ tham số tốt của M, giả sử là x = (x1, ..., xd). Khi đó x(n) cũng là hệ tham số tốt với mọi số nguyên dương n1, ..., nd. Vậy từ giả thiết suy ra IF,M(x(n)) = 0 với mọi số nguyên dương n1, ..., nd. Suy ra x là dd-dãy theo Bổ đề 2.2.3.
(iv) ⇒ (i): Được suy ra trực tiếp từ Định lý 2.2.9 (iv) và Bổ đề 2.3.1. (iii) ⇒(iv): Giả sử tồn tại hệ tham số x là dd-dãy và ID,M(x) = 0. Theo Bổ đề 2.2.3 ta có `(M/x(n)M) =Pd
i=0ain1...ni với mọin1, ..., nd nguyên dương, trong đó ai = e(x1, ..., xi; (xi+2, ..., xd)M : xi+1/(xi+2, ..., xd)M). Do đó ID,M(x(n)) =`(M/x(n)M)− t X j=0 n1...ndje(x1, ..., xdj;Dj) = d X i=0 ain1...ni − t X j=0 n1...ndje(x1, ..., xdj;Dj) = d X i=0 bin1...ni.
trong đó bi = ai−e(x1, ..., xi;Dj) nếu i = dimDj với j nào đó và bi = ai trong các trường hợp còn lại. Giả sử i = dimDj. Ta sẽ chứng minh bi > 0 với i = 0,1, ..., d và dễ thấy chỉ cần chứng minh điều này đối với những i = dimDj nào đó. Vì x là hệ tham số nên theo Bổ đề 2.1.4 thì Dj = 0 :M xi+1 và do Dj ∩ (xi+1, ..., xd)M = 0 nên ta có
Dj ∼= (x
Từ đó suy ra
bi = e(x1, ..., xi; (xi+2, ..., xd)M : xi+1/(xi+2, ..., xd)M)
−e(x1, ..., xi; (xi+2, ..., xd)M + 0 :M xi+1/(xi+2, ..., xd)M)
= e(x1, ..., xi; (xi+2, ..., xd)M : xi+1/(xi+2, ..., xd)M + 0 :M xi+1), do đó bi > 0. Hơn nữa theo giả thiết ID,M(x) = Pd
i=0bi = 0suy ra bi = 0 với mọi i = 0,1, ..., d. Vì vậy ID,M(x(n)) = 0 với mọi số nguyên dương n1, ..., nd.
Định lý 2.3.3. Cho x = (x1, ..., xd) là hệ tham số tốt của M. Khi đó
M là môđun Cohen-Macaulay dãy nếu và chỉ nếu tồn tại một lọc F thỏa mãn điều kiện chiều sao cho IF,M(x21, ..., x2d) = 0.
Chứng minh. Giả giử M là môđun Cohen-Macaulay dãy thì theo Mệnh đề 2.2.4 (i) ta có ID,M(x21, ..., xd2) = 0 với (x1, ..., xd) là một hệ tham số tốt của M và D là lọc chiều của M. Ngược lại, giả sử tồn tại lọc thỏa mãn điều kiện chiều F : F0 ⊂ F1 ⊂ ... ⊂ Ft0 = M với dimMj = d0j sao cho IF,M(x21, ..., x2d) = 0 ta chứng minh M là Cohen-Macaulay dãy. Theo Chú ý 2.1.3 (ii), Bổ đề 2.1.8 và Mệnh đề 2.1.4 suy ra
IF,M(x21, ..., x2d) > IF,M(x(n)) > ID,M(x) >0
với mọi n1, ..., nd ∈ {1,2}. Vì IF,M(x21, ..., x2d) = 0 nên IF,M(x(n)) = ID,M(x) = 0 với mọi n1, ..., nd ∈ {1,2}. Từ Định lý 2.3.2, ta chỉ cần chứng minh rằng nếu IF,M(x21, ..., x2d) = 0 thì x là dd-dãy trên M. Trước tiên ta chứng minh IF,M(x(n)) = 0 với mọi n1, ..., nd−1 ∈ {1,2} và nd nguyên dương bất kỳ. Áp dụng [1, Hệ quả 4.3] cho dãy xnd
d , xn1
1 , ..., xnd−1
ta được `(M/x(n)M)−e(x(n);M) = nd d−2 X i=0 e(xd, xn1 1 , ..., xni i ; (0 : xni+1 i+1)M/(xni+2 i+2 ,...,xndd−−11)M) +`((0 : xnd d )M/(xn1 1 ,...,xndd−−11)M)
với mọi số nguyên dương n1, ..., nd. Hơn nữa với n1, ..., nd ∈ {1,2} có IF,M(x(n)) = 0 nên suy ra `(M/x(n)M)−e(x(n);M) =IF,M(x(n)) + t−1 X i=0 n1...ndie(x1, ..., xdi;Mi) = t−1 X i=0 n1...ndie(x1, ..., xdi;Mi)
không phụ thuộc vào nd. Vì vậy
d−2 X i=0 e(xd, xn1 1 , ..., xni i ; (0 : xni+1 i+1 )M/(xni+2 i+2 ,...,xndd−−11)M) = 0 và (0 :x2d)M/(xn1 1 ,...,xndd−−11)M = (0 : xd)M/(xn1 1 ,...,xndd−−11)M, từ đó ta cũng có (0 :xnd d )M/(xn1 1 ,...,xndd−−11)M = (0 : xd)M/(xn1 1 ,...,xndd−−11)M
với mọi nd nguyên dương. Suy ra
`(M/x(n)M)−e(x(n);M) =`((0 : xnd d )M/(xn1 1 ,...,xndd−−11)M) = `((0 : xd)M/(xn1 1 ,...,xndd−−11)M) = t−1 X i=0 n1...ndie(x1, ..., xdi;Mi)
với mọi n1, ..., nd−1 ∈ {1,2} và nd > 1. Suy ra IF,M(x(n)) = 0 với mọi n1, ..., nd−1 ∈ {1,2} và nd > 1. Tiếp theo ta chứng minh bằng quy nạp
theodimM. Trường hợpd = 1 đã được chứng minh ở trên. Giả sửd > 1. Đối với số nguyên dương nd bất kỳ, ta ký hiệu
F xnd d F : M0 +xnd d M xnd d M ⊂ M1 +x nd d M xnd d M ⊂ ... ⊂ Ms +x nd d M xnd d M ⊂ M xnd d M, trong đó s = t−1 nếu dt−1 < d−1 và s = t−2 nếu dt−1 = d−1. Từ Hệ quả 2.1.9 và phần chứng minh ở trên ta có
0 =IF,M(x21, ..., x2d−1, xnd d ) >IF/xnd d F,M/xndd M(x21, ..., x2d−1). Suy ra IF/xnd d F,M/xndd M(x21, ..., x2d−1) = 0 và do dimM/xnd d M = d−1 < d nên theo giả thiết quy nạp suy ra IF/xnd
d F,M/xndd M(xn1
1 , ..., xnd−1
d−1 ) = 0 với mọi số nguyên dương n1, ..., nd−1. Vì vậy ta có
`(M/x(n)M) = n1...nd−1e(x1, ..., xd−1;M/xnd d M) + s X i=0 n1...ndie(x1, ..., xdi; (Mi+ xnd d M)/xnd d M).
Do tính chất của hệ tham số tốt nên Dt−1 = 0 :M xnd
d với mọi nd > 1, do đó e(x1, ..., xd−1;M/xnd d M) = e(x1, ..., xd−1;M) +e(x1, ..., xd−1; 0 :M xnd d ) = nde(x1, ..., xd−1;M/xdM) +e(x1, ..., xd−1; 0 :M xd). Suy ra `(M/x(n)M) = n1...nd−1nde(x;M) +n1...nd−1e(x1, ..., xd−1; 0 :M xd) + s X i=0 n1...ndie(x1, ..., xdi;Mi)
với mọi số nguyên dương n1, ..., nd. Như vậy x là dd-dãy trên M theo Bổ đề 2.2.3.
Trong [7], Goto đã đưa ra khái niệm vành Cohen-Macaulay xấp xỉ. Một vành địa phương (R,m) được gọi là Cohen-Macaulay xấp xỉ nếu R không phải là một vành Cohen-Macaulay và tồn tại một phần tử a ∈ m
sao cho R/anR là vành Cohen-Macaulay chiều d − 1 với mọi n > 0. Tương tự, ta có thể định nghĩa khái niệm môđun Cohen-Macaulay xấp xỉ.
Định nghĩa 2.3.4. Một môđun không Cohen-Macaulay M được gọi là
môđun Cohen-Macaulay xấp xỉ nếu tồn tại một phần tử a ∈ m sao cho M/anM là môđun Cohen-Macaulay chiều d−1 với mọi n > 0.
Ta có đặc trưng sau của môđun Cohen-Macaulay xấp xỉ. Đặc trưng được chứng minh qua Định lý 2.3.3, trong đó mối quan hệ tương đương của (i) và (ii) đã được chứng minh trong [7, Định lý 1] đối với vành địa phương.
Mệnh đề 2.3.5. Cho M là R-môđun không Cohen-Macaulay chiều d. Các khẳng định sau là tương đương:
(i) M là môđun Cohen-Macaulay xấp xỉ.
(ii) Tồn tại một phần tử a ∈ m sao cho 0 :M a = 0 :M a2 và M/a2M là môđun Cohen-Macaulay chiều d−1.
(iii) M là môđun Cohen-Macaulay dãy có lọc chiều D : 0 = D0 ⊂ D1 ⊂
D2 = M, trong đó dimD1 = d−1.
Chứng minh. (i) ⇒ (ii): Do tính Noether của môđun M và do M là môđun Cohen-Macaulay xấp xỉ nên suy ra (ii).
(ii) ⇒(iii): Giả sử tồn tại a ∈ m sao cho 0 :M a = 0 :M a2 và M/a2M là môđun Cohen-Macaulay chiều d−1. Ta có dimM/aM 6 dimM/a2M = d−1, mà a ∈ m nên theo Mệnh đề 1.2.3 ta có dimM/aM >d−1. Suy ra dimM/aM = d−1 và a là phần tử tham số của M. Khi đó tồn tại
một hệ tham số của M là x = (x1, ..., xd) với xd = a. Ta có `(M/(x21, ..., x2d)M) =e(x12, ..., x2d−1;M/x2dM)
= e(x21, ..., x2d−1, x2d;M) + e(x21, ..., x2d−1; 0 :M x2d) = 2de(x;M) + 2d−1e(x1, ..., xd−1; 0 :M xd).
Vì M không Cohen-Macaulay nên e(x1, ..., xd−1; 0 :M xd) > 0, do đó dim 0 :M xd = d −1. Suy ra lọc F : 0 ⊂ 0 :M xd ⊂ M thỏa mãn điều kiện chiều. Từ 0 :M xd = 0 :M x2d ta có (0 :M xd) ∩ xdM = 0, do đó x là hệ tham số tốt ứng với F. Hơn nữa IF,M(x21, ..., x2d) = 0, suy ra M là Cohen-Macaulay dãy theo Định lý 2.3.3 và vì vậy F là lọc chiều của M theo Bổ đề 2.3.1.
(iii) ⇒ (i): Giả sử M là môđun Cohen-Macaulay dãy có lọc chiều D : 0 = D0 ⊂ D1 ⊂ D2 = M, trong đó dimD1 = d −1. Cho x là hệ tham số tốt của M. Theo Mệnh đề 2.2.4, x là dd-dãy và ID,M(x(n)) = 0 với mọi số nguyên dương n1, ..., nd. Ta có D1 = 0 :M xd = 0 :M xnd
d với mọi nd > 0. Suy ra `(M/x(n)M) =e(xn1 1 , ..., xnd−1 d−1 ;M/xnd d M). Suy ra M/xnd
d M là Cohen-Macaulay chiều d −1 với mọi nd > 0 và do đó M là Cohen-Macaulay xấp xỉ.
Chú ý 2.3.6. Một lọc thỏa mãn điều kiện chiều
F : M0 ⊂ M1 ⊂... ⊂ Mt = M
được gọi là lọc Cohen-Macaulay nếuMi/Mi−1 là môđun Cohen-Macaulay với mọi i = 1, ..., t. Khi đó trong [6] đã chỉ ra rằng nếu M có một lọc Cohen-Macaulay F thì M là môđun Cohen-Macaulay dãy và F chính là lọc chiều của M. Ta muốn chỉ ra rằng tồn tại lọc thỏa mãn các điều kiện tương đương của Định lý 2.3.2 mà không là lọc chiều của M. Thật vậy, cho M là môđun Cohen-Macaulay dãy có độ sâu dương và
là lọc chiều của M. Cho x = (x1, ..., xd) là hệ tham số tốt của M. Khi đó lọc
F : 0 = M0 ⊂M1 = xD1 ⊂ ...⊂ Mt−1 = xDt−1 ⊂M
không là lọc chiều của M nhưng vẫn thỏa mãn các điều kiện tương đương của Định lý 2.3.2. Thật vậy, với mọiy = (y1, ..., yd) là hệ tham số tốt của M, do M là Cohen-Macaulay dãy nên theo Mệnh đề 2.2.4, y là dd-dãy trên M và ID,M(y(n)) = 0 với mọi số nguyên dương n1, ..., nd. Với mỗi i = 1, ..., t ta có (y1, ..., ydi) là hệ tham số tốt của Di và dimDi/xDi = dimDi/(x1, ..., xdi)Di < di nên e(y1, ..., ydi;xDi) = e(y1, ..., ydi;Di). Suy ra IF,M(y) = `(M/yM)− t X i=0 e(y1, ..., ydi;xDi) = `(M/yM)− t X i=0 e(y1, ..., ydi;Di) = ID,M(y) = 0.
Ta đã biết một R−môđun M là Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu tồn tại một hệ tham số x của M sao cho `(M/xM) =e(x;M). Câu hỏi đặt ra là nếu tồn tại hệ tham số tốt x của M sao cho ID,M(x) = 0, với
D là lọc chiều của M thì M có là Cohen-Macaulay dãy hay không. Câu trả lời là không, dưới đây là hai ví dụ cho câu hỏi này, ví dụ đầu được trích dẫn từ [7, Chú ý 2.9].
Ví dụ 2.3.7. (1) ChoR = k[[x, y, z, w]]là vành chuỗi lũy thừa hình thức trên trườngkvà P = (xw−yz, x3−z2, w2−xy2, zw−x2y), Q = (y2, z, w). Đặt M = R/P ∩ Q. Khi đó lọc chiều của M là D : 0 = D0 ⊂ D1 ⊂
D2 = M, ở đó D1 = P/P ∩ Q, dimD1 = 1. Vì D1 = 0 :M w = 0 :M
w2 nên (x + y + z + w, w) là hệ tham số tốt của M. Hơn nữa ta có ID,M((x+y+z+w)n1, wn2) = 0 nếu n1 = n2 = 1 và bằng 1 trong trường
hợp còn lại. Như vậy M không là môđun Cohen-Macaulay dãy mặc dù ID,M(x+y +z +w, w) = 0.
(2) Cho R = k[[x, y, z, w]] là vành chuỗi lũy thừa hình thức trên trường k và P = (x, w) ∩(y, z), Q = (x, y2, z). Đặt M = R/P ∩ Q. Khi đó lọc chiều của M là D : 0 = D0 ⊂ D1 ⊂ D2 = M, trong đó D1 = P/P ∩Q, dimD1 = 1. Vì D1 = 0 :M (x + y) = 0 :M (x+ y)2 nên (z + w, x + y) là hệ tham số tốt của M. Hơn nữa ta có ID,M((z + w)n1,(x+y)n2) = 0 nếu n2 = 1 và bằng 1 nếu n2 > 1. Như vậy M không phải là môđun Cohen-Macaulay dãy mặc dù ID,M(z+ w, x+ y) = 0.
Kết luận
Luận văn đã trình bày với chứng minh chi tiết các kết quả của bài báo [5], cụ thể là:
1, Định nghĩa lọc chiều và hệ tham số tốt, chỉ ra sự tồn tại duy nhất của lọc chiều và sự tồn tại của hệ tham số tốt, các tính chất cơ bản của lọc chiều và hệ tham số tốt.
2, Định nghĩa và các tính chất cơ bản của hàm ID,M(x).
3, Định nghĩa môđun Cohen-Macaulay dãy, d-dãy, dd-dãy và các tính chất của môđun Cohen-Macaulay dãy liên quan đến lọc chiều, hệ tham số tốt hàm độ dài, đối đồng điều địa phương.
4, Đặc trưng tính chất Cohen-Macaulay dãy qua tính triệt tiêu của các hàm ID,M(x). Từ đó đi đến các kết quả chính:
• Với D : D0 ⊂ D1 ⊂ ... ⊂ Dt = M là lọc chiều của M, dimDi = di
và xlà hệ tham số tốt của M. Khi đó M là môđun Cohen-Macaulay dãy nếu và chỉ nếu ID,M(x) = 0 với mọi hệ tham số x của M.
• Sự tồn tại hệ tham số tốt x của M thỏa mãn ID,M(x) = 0 không đủ để suy ra M là môđun Cohen-Macaulay dãy.
Tài liệu tham khảo