2 Môđun Cohen-Macaulay dãy
2.2 Tính chất của môđun Cohen-Macaulay dãy
Trong phần này ta sẽ nghiên cứu một số tính chất của môđun Cohen-Macaulay dãy. Trước tiên ta có định nghĩa sau:
Định nghĩa 2.2.1. Một môđun M được gọi là môđun Cohen-Macaulay dãy nếu đối với lọc chiều D : D0 ⊂ D1 ⊂ ... ⊂ Dt = M của M mỗi môđun Di/Di−1 là Cohen-Macaulay với mọi i = 1,2, ..., t.
Định nghĩa 2.2.2. Một dãy (x1, ..., xs) các phần tử của m được gọi là d-dãy trên M nếu (x1, ..., xi−1)M : xj = (x1, ..., xi−1)M : xixj với i = 1,2, ..., s và j >i. Dãy (x1, x2, ..., xs) là một d-dãy mạnh trên M nếu (xn1
1 , xn2
2 , ..., xns
s ) là d-dãy với mọi số nguyên dương n1, ..., ns.
Dãy (x1, ..., xs) các phần tử của m được gọi là dd-dãy trên M nếu (x1, ..., xs) là một d-dãy mạnh trên M và (x1, ..., xi) là một d-dãy mạnh trên môđun M/(xni+1
i+1 , ..., xns
s )M với mọi i = 1, ..., s −1, n1, ..., ns > 0. Một dd-dãy có nhiều tính chất tốt, đặc biệt khi x là hệ tham số ta có kết quả sau.
Bổ đề 2.2.3. ([8], Hệ quả 3.6) Cho x = (x1, ..., xd) là một hệ tham số của M. Khi đó x là một dd-dãy trên M nếu và chỉ nếu tồn tại những số nguyên a0, a1, ..., ad sao cho `(M/x(n)M) = Pd
i=0ain1...ni, với mọi số nguyên dương n1, ..., nd. Trong trường hợp này
ai = e(x1, ..., xi; (xi+2, ..., xd)M : xi+1/(xi+2, ..., xd)M).
Mệnh đề sau chỉ ra một số tính chất của môđun Cohen-Macaulay dãy.
Mệnh đề 2.2.4. Cho M là môđun Cohen-Macaulay dãy và D : D0 ⊂
D1 ⊂ ...⊂ Dt = M là lọc chiều với di = dimDi và x = (x1, ..., xd) là hệ tham số tốt của M. Khi đó
(i) ID,M(x(n)) = 0 với mọi số nguyên dương n1, ..., nd. Đặc biệt, x là một dd-dãy trên M.
(ii) (x1, ..., xdi) là một dãy chính quy trên M/Di−1 với mỗi i = 1, ..., t.
(iii) depth(M/Di−1) = di với mỗi i = 1, ..., t.
(iv) (x1, ..., xi)M : x2j = (x1, ..., xi)M + 0 :M xj với mọi 06 i < j 6d.
(v) (xn1
1 , ..., xni
i )M : xni+1
i+1 = (xn1
1 , ..., xni
i )M+ 0 :M xi+1 với mọi số nguyên dương n1, ..., nd và i = 0,1, ..., d−1.
Chứng minh. (i) Từ Bổ đề 2.1.4 suy ra (x1, ..., xdi) là hệ tham số tốt của Di = Di/Di−1. Vì Di là Cohen-Macaulay nên IF i,Di(x1, ..., xdi) = 0, với F là lọc chiều của Di. Do 06 ID,M(x) 6 t X i=1 IF i,Di(x1, ..., xdi)
nên ID,M(x) = 0. Do x(n) cũng là hệ tham số tốt của M với mọi số nguyên dương n1, ..., nd. Từ đó ta có ID,M(x(n)) = 0, suy ra
`(M/x(n)M) =
t
X
i=0
n1...ndie(x1, ..., xdi;Di).
Theo Bổ đề 2.2.3, x là một dd-dãy trên M .
(ii) Do Di là Cohen-Macaulay nên hệ tham số (x1, ..., xdi) của Di là một dãy chính quy trên Di với mỗi i = 1, ..., t. Nói riêng, x là dãy chính quy trên M/Dt−1. Ta chứng minh khẳng định bằng quy nạp lùi theo i. Giả sử (x1, ..., xdi+1) là dãy chính quy trên M/Di. Từ dãy khớp ngắn
0→ Di/Di−1 → M/Di−1 → M/Di →0 ta có dãy khớp dài đồng điều Koszul
... −→ Hj(x1, ..., xdi, Di/Di−1) −→ Hj(x1, ..., xdi, M/Di−1)
Theo Định lý 1.4.8 ta có
Hj(x1, ..., xdi, Di/Di−1) = Hj(x1, ..., xdi, M/Di) = 0
với mọi j > 0, suy ra Hj(x1, ..., xdi, M/Di−1) = 0 với mọi j > 0, theo Định lý 1.4.11, (x1, ..., xdi) là dãy chính quy trên M/Di−1.
(iii) Từ (ii) ta có depth(M/Di−1) > di với mỗi i = 1, ..., t. Mặt khác ta có dãy khớp dài các môđun đối đồng điều địa phương
... →Hmj−1(M/Di) →Hmj(Di/Di−1) →Hmj(M/Di−1) →Hmj(M/Di) → ... Theo Định lý 1.4.5 thì Hmj−1(M/Di) = 0 và Hm(M/Dj i) = 0 với j < di+1 suy ra Hm(Dj i/Di−1) ∼= Hj m(M/Di−1) với j < di+1. Đặc biệt Hdi m(Di/Di−1) ∼= Hdi m(M/Di−1)
và chúng luôn khác 0. Do depthDi/Di−1 = dimDi/Di−1 = di nên Hdi
m(Di/Di−1) 6= 0, suy ra Hdi
m(M/Di−1) 6= 0. Vậy depth(M/Di−1) = di với mỗi i = 1, ..., t.
(iv) Giả sử ds < j 6 ds+1. Từ (ii) suy ra (x1, ..., xds+1) là dãy chính quy trên M/Ds nên ta có
(x1, ..., xi)(M/Ds) : x2j = (x1, ..., xi)(M/Ds). Suy ra
[(x1, ..., xi)M +Ds] : x2j = (x1, ..., xi)M +Ds. Theo Bổ đề 2.1.4 thì Ds = 0 :M xj. Khi đó từ bao hàm
[(x1, ..., xi)M +Ds] : x2j ⊇ (x1, ..., xi)M : x2j ⊇ (x1, ..., xi)M + 0 :M xj ta có được (x1, ..., xi)M : x2j = (x1, ..., xi)M + 0 :M xj.
(v) Do x(n) cũng là hệ tham số tốt của M với mọi số nguyên dương n1, ..., nd nên (v) được suy ra trực tiếp từ (iv).
Bổ đề 2.2.5. Cho x = (x1, ..., xd) là hệ tham số của M và D : D0 ⊂
D1 ⊂ ... ⊂ Dt = M là lọc chiều của M với di = dimDi. Giả sử x là dd-dãy trên M. Khi đó Di = 0 :M xdi+1 với mỗi i = 0,1, ..., t−1.
Chứng minh. Ta chứng minh quy nạp theo chiều của M. Vì D0 = Hm0(M) = 0 :M x1 nên trường hợp d = 1 được suy ra trực tiếp từ [4, Bổ đề 6.3]. Bây giờ giả sử d > 1. Khi x là dd-dãy thì x(n) =xn1
1 , ..., xnd
d cũng là dd-dãy với mọi số nguyên dương n1, ..., nd nên theo [4, Bổ đề 6.3] ta có Dt−1 = 0 :M xd = 0 :M xnd
d với mọi nd > 0. Suy ra Dt−1 ∩xnd
d M = 0. Khi đó (Di +xnd d M)/xnd d M ∼= D i/Di ∩xnd d M = Di nên ta có dim(Di +xnd d M) = di với mọi nd >1.
Xéti 6 t−1nếudt−1 < d−1hoặci < t−1nếudt−1 = d−1. Từ Chú ý 2.1.3 (ii) tồn tại mộtR−môđunD trong lọc chiều củaM/xnd
d M sao cho (Di+xnd
d M)/xnd
d M ⊆ D và dimD = di. Vì hệ tham số x0 = (x1, ..., xd−1) cũng là một dd-dãy trên M/xnd
d M và dimD = di nên từ giả thiết quy nạp ta có D = (0 : xdi+1)M/xnd
d M. Suy ra Di+xnd
d M ⊆ xnd
d M :M xdi+1 với mọi nd > 0. Áp dụng Định lý giao Krull ta được Di ⊆ 0 :M xdi+1. Mặt khác, vì x là d-dãy nên
(xdi+1, ..., xd)(0 :M xdi+1) = 0.
Từ đó suy ra dim 0 :M xdi+1 6di, vì vậy Di = 0 :M xdi+1 do tính cực đại của Di.
Bổ đề 2.2.6. Cho(x1, ..., xs) là một d-dãy trên M. Khi đó với i = 1, ..., s
ta có
(0 :M xi)∩(x1, ..., xs)M = (0 :M xi)∩(x1, ..., xi−1)M.
Chứng minh. Trong trường hợp i = s ta chứng minh
(0 :M xs)∩(x1, ..., xs)M ⊆ (0 :M xs)∩(x1, ..., xs−1)M.
Lấy a ∈ (0 :M xs)∩(x1, ..., xs)M, khi đó xsa = 0 và a = x1a1+...+xsas với a1, ..., as ∈ M. Suy ra as ∈ (x1, ..., xs−1)M : x2s = (x1, ..., xs−1)M : xs do đó a ∈ (0 :M xs)∩(x1, ..., xs−1)M.
Trường hợp i < s được chứng minh bằng quy nạp lùi. Giả sử rằng (0 :M xi+1)∩ (x1, ..., xs)M = (0 :M xi+1)∩ (x1, ..., xi)M. Từ giả thiết x là d-dãy trên M suy ra 0 :M xi+1 = 0 :M xi+1xi ⊇ 0 :M xi, nên ta có (0 :M xi)∩(x1, ..., xs)M = (0 :M xi)∩(0 :M xi+1)∩(x1, ..., xi)M. Từ chứng minh cho trường hợp i = s ở trên ta suy ra (0 :M xi)∩ (x1, ..., xs)M = (0 :M xi)∩(x1, ..., xi−1)M.
Đặc biệt khii = 2 ta có(0 :M x2)∩(x1, ..., xs)M = (0 :M x2)∩x1M. Dễ thấy x1(0 :M x2) ⊆ (0 :M x2)∩ x1M. Ngược lại, lấy bất kỳ ε ∈ (0 :M x2)∩x1M thìε = x1a với a nào đó thuộc M và x2ε = 0. Suy ra a ∈ 0 :M x1x2 = 0 :M x2 do x là d-dãy. Vậy (0 :M x2)∩x1M = x1(0 :M x2).
Hệ quả 2.2.7. Cho x = (x1, ..., xd) là một hệ tham số của M. Giả sử rằng x là dd-dãy trên M. Khi đó x là hệ tham số tốt của M.
Chứng minh. Giả sử D : D0 ⊂ D1 ⊂ ... ⊂ Dt = M là lọc chiều của M với dimDi = di. Theo Bổ đề 2.2.5 ta có Di = 0 :M xdi+1 với mọi i = 0,1, ..., t − 1. Vì x là dd-dãy trên M nên x là d-dãy trên M, suy ra (xdi+1, ..., xd) cũng là d-dãy trên M. Theo Bổ đề 2.2.6 ta có Di ∩
(xdi+1, ..., xd)M = 0 với mọi 0 6 i < t. Vậy x là hệ tham số tốt của M.
Từ Mệnh đề 2.2.4 (i) và Hệ quả 2.2.7 ta có hệ quả trực tiếp sau. Hệ quả 2.2.8. ChoM là môđun Cohen-Macaulay dãy và x = (x1, ..., xd)
là hệ tham số của M. Khi đó x là hệ tham số tốt của M nếu và chỉ nếu
Bây giờ ta đi đến một số kết quả chính của luận văn, định lý sau là đặc trưng đầu tiên của môđun Cohen-Macaulay dãy.
Định lý 2.2.9. Giả sử D : D0 ⊂D1 ⊂ ...⊂ Dt = M là lọc chiều của M
với dimDi = di và x = (x1, ..., xd) là hệ tham số tốt của M. Các khẳng định sau là tương đương:
(i) M là môđun Cohen-Macaulay dãy.
(ii) (x1, ..., xdi) là dãy chính quy trên M/Di−1 với i = 1, ..., t. (iii)(xn1
1 , ..., xni
i )M :xni+1
i+1 = (xn1
1 , ..., xni
i )M+0 :M xi+1 với mọi số nguyên dương n1, ..., nd và i = 0,1, ..., d−1.
(iv) (x1, ..., xi)M : x2j = (x1, ..., xi)M + 0 :M xj với mọi 06 i < j 6d. (v) depthM/Di−1 = di với i = 1, ..., t.
Chứng minh. (i) ⇒ (ii) và (i) ⇒ (v) đã được chứng minh trong Mệnh đề 2.2.4.
(ii) ⇒ (iii): Giả sử (x1, ..., xds) là dãy chính quy trên M/Ds−1 với s = 1, ..., t. Theo Bổ đề 2.1.4 ta có Ds−1 = 0 :M xi+1 với mọi ds−1 6 i < ds. Khi đó (xn1 1 , ..., xni i )(M/0 :M xi+1) : xni+1 i+1 = (xn1 1 , ..., xni i )(M/0 :M xi+1) với mọi số nguyên dương n1, ..., nd. Vì vậy
[(xn1 1 , ..., xni i )M + 0 :M xi+1] : xni+1 i+1 = (xn1 1 , ..., xni i )M + 0 :M xi+1. Hơn nữa ta lại có
[(xn1 1 , ..., xni i )M + 0 :M xi+1] : xni+1 i+1 ⊇(xn1 1 , ..., xni i )M : xni+1 i+1 ⊇(xn1 1 , ..., xni i )M + 0 :M xi+1 suy ra (xn1 1 , ..., xni i )M : xni+1 i+1 = (xn1 1 , ..., xni i )M + 0 :M xi+1.
(iii)⇒(iv): Với 0 6i < j 6 d, cho nj = 2 và sử dụng Định lý giao Krull ta có (x1, ..., xi)M : x2j = \ ni+1,...,nj−1 (x1, ..., xi, xni+1 i+1 , ..., xnj−1 j−1 )M : x2j = \ ni+1,...,nj−1 [(x1, ..., xi, xni+1 i+1 , ..., xnj−1 j−1)M + 0 :M xj] = (x1, ..., xi)M + 0 :M xj.
(iv) ⇒ (ii): Ta cần chứng minh rằng [(x1, ..., xi)M + Ds] : xi+1 = (x1, ..., xi)M +Ds với mọi s = 0,1, ..., t−1 và i < ds+1. Ta có (x1, ..., xi)M + 0 :M xi+1 ⊆ (x1, ..., xi)M : xi+1 ⊆ (x1, ..., xi)M : x2i+1. Do đó (x1, ..., xi)M + 0 :M xi+1 = (x1, ..., xi)M + 0 :M xi+1. Theo Bổ đề 2.1.4 ta có Ds = 0 :M xds+1 ⊆0 :M xi+1. Vì vậy [(x1, ..., xi)M +Ds] : xi+1 ⊆(x1, ..., xi)M : xds+1xi+1 = [(x1, ..., xi)M + 0 :M xi+1] : xds+1 ⊆[(x1, ..., xi)M + 0 :M xds+1] : xds+1 = (x1, ..., xi)M : x2d s+1 = (x1, ..., xi)M +Ds. Suy ra [(x1, ..., xi)M +Ds] :xi+1 = (x1, ..., xi)M +Ds.
(ii)⇒(i) và (v) ⇒(i): Cả (ii) và (v) đều suy ra depthM/Di−1 >di nên theo Định lý 1.4.12 ta có Hmj(M/Di−1) = 0 với mọi j < di. Khi đó từ dãy khớp ngắn
0→ Di/Di−1 → M/Di−1 → M/Di →0 ta có dãy khớp dài các môđun đối đồng điều địa phương
... →Hmj−1(M/Di) →Hmj(Di/Di−1) →
Từ đó suy ra Hmj(Di/Di−1) ∼= Hj
m(M/Di−1) với mọi j −1 < di+1. Suy ra Hmj(Di/Di−1) ∼= Hj
m(M/Di−1) với mọi j < di. Vậy ta suy ra được Hm(Dj i/Di−1) = 0 với mọi j < di. Mặt khác do dim(Di/Di−1) = di với mọi i = 1, ..., t nên theo Định lý 1.4.12 ta có được depthDi/Di−1 = dim(Di/Di−1) hay Di/Di−1 là môđun Cohen-Macaulay với mọi i = 1, ..., t.
Từ Định lý 1.4.5 suy ra depth(M/Di−1) = Min{j : Hmj(M/Di−1) 6= 0}, khi đó từ Định lý 2.2.9 ta có hệ quả trực tiếp sau.
Hệ quả 2.2.10. M là môđun Cohen-Macaulay dãy nếu và chỉ nếu
Hmj(M/Di−1) = 0 với mọi i = 1, ..., t và j < di.