Ánh xạ tuyến tính

Một phần của tài liệu Bài giảng Đại số tuyến tính Bùi Xuân Diệu ĐHBKHN (Trang 62 - 64)

1.1 Khái niệm

Định nghĩa 4.19. Ánh xạ T : VW từ không gian véctơ V tới không gian véctơW được gọi là ánh xạ tuyến tính nếu

(i) T(u+v) = T(u) +T(v),∀u,vV (ii) T(ku) =kT(u),∀kR,uV

Một số tính chất ban đầu của ánh xạ tuyến tính:

Định lý 4.14. ChoT : VW là ánh xạ tuyến tính từ không gian véctơV tới không gian véctơW. Khi đó

a) T(0) =0.

b) T(−v) = −T(v),∀vV.

c) T(uv) = T(u)−T(v),∀u,vV.

1.2 Bài tập

Bài tập 4.1. Cho V là KGVT, V∗ = Hom(V,R) = {f : VR, f là ánh xạ tuyến tính}. Giả sửV có cơ sở{e1,e2, ...,en}. Xét tập hợp{f1, f2, ...,fn}trong đó fi(ej) =

  

1nếui =j

0 nếui 6= j .

Chứng minh{f1, f2, ...,fn}là cơ sở củaV∗, và được gọi là cơ sở đối ngẫu ứng với{e1,e2, ...,en}. 61

Lời giải. Muốn chứng minh{f1, f2, ...,fn} là một cơ sở củaV∗, ta sẽ chứng minh nó là một hệ sinh củaV∗ và độc lập tuyến tính.

1. Chứng minh {f1, f2, ..., fn} là một hệ véctơ độc lập tuyến tính. Giả sử có ràng buộc tuyến tính

λ1f1+λ2f2+. . .+λnfn =0 (1)

Tác động hai vế lên véctơe1ta được

λ1f1(e1) +λ2f2(e1) +. . .+λnfn(e1) = 0 (2)

Theo định nghĩa thì f1(e1) = 1, f2(e1) = 0, . . . ,fn(e1) = 0 nên từ (2) suy ra λ1 = 0. Tương tự như vậy, nếu tác động hai vế của(1)lêne2ta được λ2 =0, . . ., tác động hai vế của(1) lênen ta được λn =0. Vậyλ1 = λ2 = . . . =λn =0, hệ véctơ đã cho độc lập tuyến tính.

2. Chứng minh{f1, f2, ...,fn}là hệ sinh củaV∗. Giả sử fV∗, khi đó f(e1), f(e2), . . . ,f(en)

là các số thực xác định. Ta sẽ chứng minh

f = f(e1)f1+ f(e2)f2+. . .+ f(en)fn

Thật vậy, với mỗixV,x=λ1e1+λ2e2+. . .+λnen thì

f(x) =λ1f(e1) +λ2f(e2) +. . .+λnf(en) Mặt khác [f(e1)f1+ f(e2)f2+. . .+ f(en)fn] (x) = [f(e1)f1+ f(e2)f2+. . .+ f(en)fn] (λ1e1+λ2e2+. . .+λnen) = ni,j=1 λif(ej)fj(ei) = ni=j=1 λif(ei) =f(x)

Một phần của tài liệu Bài giảng Đại số tuyến tính Bùi Xuân Diệu ĐHBKHN (Trang 62 - 64)