3 Không gian Euclide
3.2 Phép trực giao hoá Schmidt
Định lý 5.23. ChoV là một không gian vectơ có tích vô hướng,S ={u1,u2, ...,un} là một họ vectơ độc lập tuyến tính củaV. Ta có thể thay S bởi họ trực chuẩnS0 ={v1,v2, ...,vn}, sao choSpan{u1,u2, ...,uk}=Span{v1,v2, ...,vk}với mọik =1, 2, ...,n.
Bước 1: Đặtv1 = u1
ku1k
Bước 2: Đặtv2 =u2+tv1sao cho<v2,v1 >=0tức làt=−<u2,v1>. Sau đó chọnv2 =
v2
kv2k Giả sử sauk−1bước ta đã xây dựng được họ trực chuẩn S0k−1 ={v1,v2, ...,vk−1} sao cho Span{u1,u2, ...,uk−1} = Span{v1,v2, ...,vk−1}. Ta thực hiện đến bước thứ k sau:
Bước k: Đặtvk =uk+t1v1+...+tk−1vk−1sao cho<vk,vj >=0,j =1, 2, ...,k−1Tức là ta có tj = − <uk,vj >,j = 1, 2, ...,k−1. Sau đó chọn vk = vk
kvkk. Tiếp tục thực hiện đến khik =nta thu được hệ trực chuẩnS0 ={v1,v2, ...,vn}
Nhận xét:Về mặt lý thuyết, chúng ta vừa chuẩn hoá, vừa trực giao các vectơ như ở trên, tuy nhiên trong thực hành nếu gặp phải các phép toán phức tạp khi sau mỗi bước phải chuẩn hoá véctơvk = vk
kvkk , người ta thường chia làm hai phần: trực giao hệ vectơS trước rồi chuẩn hoá các vectơ sau.
Bước 1: Đặtv1 =u1
Bước 2: Đặtv2 =u2+tv1sao cho<v2,v1 >=0, tức là t= −<u2,v1> <v1,v1> .
Giả sử sau k−1bước ta đã xây dựng được họ trực giao S0k−1 = {v1,v2, ...,vk−1} sao choSpan{u1,u2, ...,uk−1} =Span{v1,v2, ...,vk−1}. Ta thực hiện đến bước thứksau:
Bước k: Đặt vk = uk+t1v1+...+tk−1vk−1 sao cho < vk,vj >= 0,j = 1, 2, ...,k−1 Tức là ta có tj = −<uk,vj>
<vj,vj> ,j = 1, 2, ...,k−1. Tiếp tục thực hiện đến khik =n ta thu được hệ trực giaoS0 ={v1,v2, ...,vn}.
Bước n+1: Chuẩn hoá các vectơ trong hệ trực giaoS0 ={v1,v2, ...,vn}ta thu được hệ trực chuẩn cần tìm.