Các tính chất của iđêan xuyến

2 Iđêan xuyến

2.3. Các tính chất của iđêan xuyến

Một nhị thức trong vành đa thứcn biếnk[x] là một hiệu của hai đơn thức. Một iđêan trong vành đa thức k[x] được gọi là iđêan nhị thức nếu nó có một hệ sinh gồm những nhị thức. Dưới đây chúng ta thấy rằng iđêan xuyến IA là iđêan nhị thức.

2.3.1 Định lí. Iđêan xuyến IA là k-không gian véc tơ sinh bởi tập các nhị thức có dạng xu−xu0 với u, u0 ∈ Nn sao cho

π(u) = π(u0).

Chứng minh. Rõ ràng một nhị thức xu−xu0 ∈ IA khi và chỉ khi π(u) =π(u0). Hơn nữa, nếu đưa hết thừa số chung lớn nhất m của đơn thức này ra ngoài, sẽ được

xu−xu0 = m(xv+ −xv−),

trong đó v ∈ ker(π). Do đó chỉ cần chứng tỏ mỗi đa thức của IA là tổ hợp tuyến tính trên k của các nhị thức này. Cố định một thứ tự từ ≺ trên k[x]. Giả sử f ∈ IA không viết được thành tổ hợp tuyến tính của các nhị thức đó. Chọn trong số những đa thức như vậy một đa thức f sao cho in(f) = xu bé nhất có thể có đối với thứ tự từ ≺. Đương nhiên khi khai triển f(ta1, ..., tan)

ta phải được 0. Nói riêng, đơn thức tπ(u) = eπ(xu) phải bị triệt tiêu khi đơn giản biểu thức khai triển đó. Thế thì phải có một từ khác chứa đơn thức xv xuất hiện trong f với π(u) = π(v). Hơn nữa, xv ≺ xu theo định nghĩa của từ khởi đầu. Khi đó đa thức f0 := f −xu+xv lại là phần tử thuộc IA và không thuộc tổ hợp tuyến tính của các nhị thức kiểu trên. Nhưng điều đó vô lý, vì in(f) ≺in(f). Vì vậy không tồn tại đa thức f như trên. Định lí được chứng minh.

2.3.2 Hệ quả. IA là iđêan sinh bởi các nhị thức có dạng xu+ − xu− với

u ∈ ker(π). Vì vậy có một tương ứng 1−1 giữa các phần tử u ∈ ker(π) với các nhị thức trong IA.

Chứng minh. Lấy f ∈ IA. Khi đó theo Định lí 2.3.1, f là tổ hợp tuyến tính của các nhị thức dạng xv −xv0 với π(v) = π(v0). Đặt wi = min{vi, vi}; i = 1, ..., n, trong đóv = (v1, ..., vn) vàv0 = (v10, ..., vn0). Khi đó với mỗi u = v−v0, ta có u ∈ ker(π) và xv−xv0 = xw1

1 ...xwn

n (xu+−xu−). Như vậy tập các nhị thức có dạng xu+ −xu− với u ∈ ker(π) sinh ra iđêan xuyến IA. Còn sự tương ứng 1−1 giữa các phần tử của ker(π) với các nhị thức trong IA là rõ ràng.

2.3.3 Hệ quả. Với mọi thứ tự từ ≺ luôn có tập hữu hạn các véc tơ G≺ ⊂

ker(π) sao cho cơ sở Gr¨obner rút gọn của IA đối với ≺ là

{xu+ −xu− : u ∈ G≺}.

Chứng minh. Theo Định lí Hilbert về cơ sở chúng ta có thể chọn một tập con hữu hạn của ker(π) sao cho các nhị thức tương ứng là các phần tử sinh củaIA. Áp dụng thuật toán Buchberger đối với các nhị thức này. Phép toán rút gọn và định hình S-cặp bảo toàn cấu trúc nhị thức. Một số đa thức mới xuất hiện trong quá trình chạy thuật toán Buchberger nằm trong{xu+−xu− : u ∈ kerπ}

Thuật toán Buchberger đối với iđêan xuyến chỉ là quá trình tổ hợp các véc tơ nguyên. Xét sự liên kết giữa véc tơ nguyên u và nhị thức tương ứng xu+ −xu−. Đặc biệt, ta xét tập các véc tơ G≺ như là cơ sở Gr¨obner rút gọn của IA đối với ≺. Tập này có thể được tính toán như sau.

2.3.4 Thuật toán. (Tìm một cơ sở Gr¨obner của iđêan xuyến)

1. Cho n+d+ 1 biến t0, t1, ..., td, x1, ..., xn. Cho ≺ là thứ tự từ với {ti} {xj}.

2. Tìm cơ sở Gr¨obner rút gọn G đối với iđêan

D

t0t1...td −1, x1ta−1 −ta+1, ..., xnta−n −ta+n

E

.

3. Output: Tập G ∩k[x] là cơ sở Gr¨obner rút gọn đối với IA đối với ≺. Thông thường các điểm nguyên đã cho ai có các tọa độ không âm. Trong trường hợp này thì biếnt0 là không cần thiết và thay cho kết quả của Hệ quả 2.3.3 ta có thể sử dụng iđêan hxi−tai : i = 1, ..., ni.

Ta định nghĩa cơ sở Gr¨obner phổ dụng UA là hợp của tất cả cơ sở Gr¨obner rút gọn G≺ của iđêan xuyến IA với ≺ chạy trên tất cả các thứ tự từ. Khi đó UA là tập hợp gồm hữu hạn các nhị thức. Chúng ta có thể đồng nhất UA

với một tập hợp hữu hạn các véc tơ trong ker(π). Mục đích là mô tả cơ sở Gr¨obner phổ dụng. Nhị thức xu+ −xu− trong IA được gọi là primitive nếu không tồn tại nhị thức khác xv+ −xv− ∈ IA sao cho xv+ chia hết xu+ và xv− chia hết xu−.

2.3.5 Bổ đề. Mọi nhị thức xu+ −xu− trong cơ sở Gr¨obner phổ dụng UA là primitive.

Chứng minh. Cho xu+ −xu− là một nhị thức tùy ý trong cơ sở Gr¨obner rút gọn G≺, và cho u+ u−. Khi đó xu+ là phần tử tối tiểu trong in≺(IA) và xu−

là đơn thức chuẩn. Giả sử rằng xu+ −xu− không primitive. Chọn v ∈ ker(π) với v 6= u sao cho xv+ chia hết xu+ và xv− chia hết xu−. Nếu u+ u− thì xu+ không phải là phần tử sinh tối tiểu trong in≺(IA), trái với giả thiết. Nếu u+ ≺ u− thì xu− không chuẩn, trái với giả thiết. Bổ đề được chứng minh.

Chiều ngược lại của bổ đề trên là không đúng. Nhị thức primitive có thể không xuất hiện trong UA. Chẳng hạn, với n = 3, d = 1,A = (1,2,4) thì x21x2 − x3 là nhị thức primitive trong IA nhưng không xuất hiện trong

UA = {x21 −x2, x14 −x3, x22 −x3}. Trong trường hợp tổng quát, tập các nhị thức primitive là một xấp xỉ tốt với cơ sở Gr¨obner phổ dụng.

2.3.6 Định lí. Cho dim(A) = d và

D(A) := max{|det(ai1, ..., aid)| : 1 ≤ i1 < ... < id ≤ n}.

Khi đó, bậc tổng thể của các nhị thức primitive trong IA nhỏ hơn (d+ 1) (n−d)D(A).

Theo giả thiết của định lý thì ma trận A có hạng lớn nhất là d. Nếu giả thiết này không đúng thì có thể xóa một số hàng từ A = (aij) cho đến khi nó đúng. Để chứng minh Định lý 2.3.6 chúng ta cần giới thiệu tập con được đánh dấu các phần tử primitive. Một véc tơ khác không u trong ker(π) được gọi là circuit nếu giá supp(u) là tối thiểu theo quan hệ bao hàm và các tọa độ của u là đôi một nguyên tố nguyên tố cùng nhau. Một cách tương đương, mỗi circuit là một nhị thức bất khả quy xu+ −xu− trong IA với giá cực tiểu. Do đó dễ thấy rằng mỗi circuit là primitive.

2.3.7 Bổ đề. Nếu u là circuit trong ker(π) thì supp(u) có nhiều nhất d+ 1

phần tử.

Chứng minh. Giả sử u ∈ ker(π) với r ≥ d+ 2 tọa độ khác không. Cho B là ma trận con cỡ d ×r của A được đưa vào bởi chỉ số cột. Hạt nhân của B

ít nhất là 2 chiều và hiển nhiên chứa véc tơ khác không v0 với ít nhất một tọa độ khác không. Mở rộng v0 tới một véc tơ khác không v ∈ ker(π) bằng cách thêm 0 vào n−r tọa độ khác. Khi đó supp(v) là tập con thực sự của supp(u), khi đó u không phải là circuit. Điều đó chỉ ra rằng supp(u) có nhiều nhất là d+ 1 phần tử.

2.3.8 Bổ đề. Nếu u = (u1, ..., un) là circuit trong ker(π) thì |ui| ≤ D(A) với mọi i.

Chứng minh. Giả sử supp(u) = {i1, ..., ir}. Xét ma trận (ai1, ..., air) cỡ d×r có hạng là r−1, bằng lý luận tương tự chứng minh bổ đề trên. Do A có hạng d nên ta có thể tìm thấy các véc tơ cộtair+1, ..., aid+1 sao cho ma trận cỡ d×r

B = (ai1, ..., air, air+1, ..., aid+1) có hạng d.

Gọi ei là véc tơ đơn vị thứ i trong Zd. Áp dụng quy tắc Cramer ta thấy rằng hạt nhân của B được sinh bởi véc tơ

d+1

X

j=1

(−1)jdet(ai1, ..., air, air+1, ..., aid+1).eij. (3)

Sự hạn chế của u tới {i1, ..., id+1} nằm trong hạt nhân của B và do đó là bội số hữu tỉ của (3). Từ (3) là một véc tơ nguyên, và do u là circuit, ta kết luận rằng (3) là một bội nguyên của u.

Cho u, v ∈ Zn. Ta nói rằngulàbảo giác (conformal) tới v nếu supp(u+) ⊂

supp(v+) và supp(u−) ⊂ supp(v−).

2.3.9 Bổ đề. Mọi véc tơ v trong ker(π) có thể viết như là một tổ hợp tuyến tính không âm của n−d circuit bảo giác tới v.

Chứng minh. Cố định d và dùng phương pháp quy nạp theon. Nếun ≤ d+ 1 thì khẳng định đúng. Do đó giả sử n ≥ d+ 2 , và lấy v không là circuit trong ker(π). Ta có thể giả thiết rằng supp(v) ={1, ..., n}, bởi vì ta có thể xóa các cột thừa củaAvà áp dụng giả thiết quy nạp để viếtv như là tổ hợp tuyến tính bảo giác hữu tỷ của card(supp(v))−d ≤ n−d circuit. Cho u = (u1, ..., un) là một circuit sao cho u1v1 > 0. Gọi λ là số nhỏ nhất trong tất cả các tọa độ dương hữu tỷ vi/ui xuất hiện trong đó. Khi đó v−λu là bảo giác tới v và có tọa độ thứ i là 0. Theo giả thiết quy nạp, thì véc tơ v −λu có thể viết như là một tổ hợp tuyến tính bảo giác hữu tỷ của n−d−1 ciricuit. Đồng nhất v = λu+ (v−λu) cho ta điều phải chứng minh.

Chứng minh Định lí 2.3.6. Lấy v là véc tơ primitive trong ker(π). Nếu v là ciricuit, thì áp dụng Bổ đề 2.3.8. Nếu không thì áp dụng Bổ đề 2.3.9 các ciricuit u1, ..., un−d, mà mỗi ui bảo giác tới v, và các số hữu tỉ không âm λ1, ..., λn−d sao cho

v = λ1u1 +...+λn−dun−d. (4)

Thật vậy, mỗi ui là bảo giác tới v nghĩa là

v+ = λ1u+1 +...+ λn−du+n−d

và

v− = λ1u−1 +...+λn−du−n−d.

Khi đó mỗiλi nhỏ hơn1, bởi vì nếu ngược lại thì v không là primitive. Chúng ta có thể giả thiết rằng bậc tổng thể của nhị thức xv+−xv− bằng kv+k1, tổng tọa độ dương của v+. Áp dụng quy tắc bất đẳng thức cho phần dương của

(4), ta có v+ 1 ≤ n−d X j=1 λj.u+j 1 < (n−d).(max{ u+j 1 : j = 1, ..., n−d ≤ (n−d)(d+ 1)D(A). (5) (vì u+j

1 ≤(d+ 1)D(A)). Vậy bậc tổng thể của các nhị thức primitive trong IA nhỏ hơn (d+ 1)(n−d)D(A).

Tập các circuit của IA được ký hiệu là CA. Một phương pháp tính toán CA là công thức định thức Cramer (3) với tất cả (d+ 1)-tập con {i1, ..., id+1}

của {1, ..., n}. Tập các nhị thức primitve được gọi là cơ sở Graver của A và ký hiệu là GrA.

2.3.10 Mệnh đề. Với mọi tập hữu hạn A ⊂ Zd ta có CA ⊆ UA ⊆GrA. Chứng minh. Bao hàm thức UA ⊆GrA được suy ra từ Bổ đề 2.3.7. Để chứng minh bao hàm thức UA ⊇GrA ta chứng minh mỗi circuit nằm trong một cơ sở Gr¨obner rút gọn nào đó. Giả sử u ∈ ker(π) là một ciricuit. Cố định một thứ tự từ ≺ sao cho

{xi : i /∈ supp(u)} {xj : j /∈ supp(u)},

và xu+ xu−. Cần khẳng định rằng xu+−xu− xuất hiện trong cơ sở Gr¨obner rút gọn G≺ của IA. Giả sử ngược lại, khi đó tồn tại v ∈ ker(π)\{0, u}sao cho xv+ xv− và xv+ chia hết xu+. Chọn thứ tự từ và bao hàm thức supp(u+) ⊆

supp(u) kéo theo supp(v+) ⊆supp(u), và do đó supp(v) ⊆ supp(u). Từ u là circuit ta suy ra v là một bội nguyên của u. Mặt khác xv+ chia hết xu+. Vậy u = v.

2.3.11 Ví dụ. Nếu n = 3, d = 1 và các số nguyên trong A = {i, j, k} ⊂ N3

là đôi một nguyên tố cùng nhau thì CA = {xj1−xi2, x1k−xi3, xk2 −xj3}. Chúng ta xem các trường hợp sau:

- Nếu A = {1,2,3} thì UA = GrA = CA ∪ {x3 −x1x2, x1x3 −x22}. - Nếu A = {1,2,4} thì UA = CA và GrA\UA = {x3 −x21x2}.

- Nếu A = {1,2,5} thì UA\CA = {x3 − x1x22, x1x3 − x32} và GrA\UA =

{x3 −x31x2}.

2.3.12 Mệnh đề. Cho B là tập con của A và đặt k[B] := k[xi : ai ∈ B] thì

i) Iđêan xuyến của B là IB = IA∩ k[B];

ii) Các circuit của B là CB = CA∩k[B];

iii) Cơ sở Gr¨obner phổ dụng của B là UB = UA ∩k[B];

iv) Cơ sở Graver của là GrB = GrA∩ k[B].

Một đặc điểm điển hình của nhiều tập A xảy ra trong quá trình áp dụng tính toán là những iđêan xuyến IA của chúng là thuần nhất. “Thuần nhất” chỉ xét với tổng số bậc các số hạng đã cho mà deg (x1) = ...= deg (xn) = 1. Nếu IA là thuần nhất thì đa tạp afin V(IA) trong không gian xạ ảnh Pn−1 là một đa tạp xuyến xạ ảnh. Chiều của nó bằng dim(A)−1 (theo Mệnh đề 2.2.6). Điều quan trọng thứ hai là tính bất biến của đa tạp xạ ảnh là bậc của nó. Ta xác định bậc của đa tạp xạ ảnh V(A).

2.3.13 Bổ đề. Iđêan IA là thuần nhất khi và chỉ khi tồn tại ω ∈ Qd sao cho

ai.ω = 1, với i = 1, ..., n.

Chứng minh. Một nhị thức xu+ − xu− là thuần nhất khi và chỉ khi véc tơ u = u+ − u− có tổng các tọa độ bằng 0. Theo Hệ quả 3.3.2, IA là thuần nhất khi và chỉ khi tất cả các véc tơ u ∈ ker(π) có tổng các tọa độ bằng 0. Điều này chỉ đúng khi và chỉ khi (1,1, ...,1) nằm trong không gian con ker (π)⊥ = image(πT) = image(ω 7→ a1ω, ..., anω) của Rn.

Ta chú ý rằng trong trường hợp thuần nhất thì cận trên của bậc trong Định lý 2.3.6 có thể được thay bằng một thừa số của 2.

2.3.14 Mệnh đề. Cho A như trong Bổ đề 2.3.13. Khi đó bậc tổng thể của nhị thức primitive bất kỳ trong iđêan xuyến thuần nhất IA nhỏ hơn

1

2(d+ 1)(n−d)D(A).

Chứng minh. Trong thường hợp thuần nhất, mỗi circuituj thỏa mãn

u+j 1 = u−j 1 ≤ 12(d+ 1)D(A), theo Bổ đề 2.3.7, và Bổ đề 2.3.8. Do đó sử dụng bất đẳng thức (5) như trong chứng mịnh Định lý 2.3.6 ta có điều cần phải chứng minh.

Trong luận văn này, dựa vào tài liệu tham khảo chính là [4], chúng tôi đã trình bày về khái niệm và một số tính chất của iđêan xuyến, một lớp iđêan được nghiên cứu nhiều trong Hình học đại số Đại số giao hoán và cũng liên quan đến nhiều bài toán tổ hợp. Cụ thể là chúng tôi đã trình bày các vấn đề sau:

1. Thứ tự từ và cơ sở Gr¨obner để làm cơ sở cho việc trình bày nội dung chính của luận văn.

2. Định nghĩa khái niệm iđêan xuyến và ví dụ về iđêan xuyến. 3. Một số tính chất của iđêan xuyến.

Tiếng Việt

[1] Nguyễn Thị Giang (2010), Chiều của đa tạp afin, Luận văn thạc sĩ toán học, Trường Đại học Vinh.

[2] Lê Tuấn Hoa (2003), Đại số máy tính Cơ sở Gr¨obner, Nhà xuất bản ĐHQG Hà Nội.

Tiếng Anh

[3] M. F. Atiyah and I. G. Macdonal (1969), Introdution to commutative Algebra, Addison – Wesley, Reading, Masachusetts.

[4] B. Sturmfels (1995), Gr¨obner bases and convex polytopes, University lecture series, N0. 8, Am. Math. Soc., Providence.