2 Iđêan xuyến
2.2. Định nghĩa iđêan xuyến
Iđêan xuyến là lớp iđêan được nghiên cứu nhiều trong Hình học đại số và Đại số giao hoán. Hơn thế nữa nó còn liên quan chặt chẽ tới các bài toán tổ hợp. Trong tiết này, chúng tôi trình bày về khái niệm và một số ví dụ của iđêan xuyến.
Cho ai = (ai1, ai2, . . . , aid) ∈ Zd, với i = 1,2, ..., n; ai 6= (0, ...,0) và
A = {a1, a2, ..., an} là một tập con của Zd. Với mỗi ai = (ai1, ..., ain) ∈ A
ta đồng nhất với một đơn thức tai = ta1i 1 ...taid
d trong vành đa thức Laurent k[t±1] := k[t1, ..., td, t−11, ..., t−d1].
2.2.1 Định nghĩa. Xét đồng cấu nửa nhóm π : Nn → Zd u = (u1, ..., un) 7→ u1a1 +...+unan. Ảnh của π là nửa nhóm S = {λ1a1 +...+λnan : λ1, ..., λn ∈ N}. Đồng cấu π xác định đồng cấu vành e π : k[x] → k[t±1] xi 7→ tai (i = 1, ..., n),
trong đó k[x] = k[x1, ..., xn] là vành đa thức n biến trên trường k. Ký hiệu IA là hạt nhân của eπ. Khi đó
IA = ker(π)e ⊂ k[x] được gọi là iđêan xuyến của A.
Cho u ∈ Zn. Giá của u là tập hợp
supp(u) = {i| 1 ≤ i ≤n, ui 6= 0}.
Mỗi véc tơ u ∈ Zn có thể viết duy nhất thành hiệu u = u+−u−, trong đó với mỗi i = 1, ..., n, tọa độ thứ i của u+ là ui nếu ui > 0 và bằng 0 nếu ui ≤ 0, còn tọa độ thứ i của véc tơ u− là −ui nếu ui ≤ 0, và bằng 0 nếu ui ≥ 0. Chẳng hạn, nếu u = (2,−3,−4) thì u+ = (2,0,0) và u− = (0,3,4), nghĩa là
(2,−3,−4) = (2,0,0)−(0,3,4).
Khi đó u+, u− ∈ Nn và có giá không giao nhau. Để thuận tiện, đặt
ker(π) ={u ∈ Zn| π(u) = 0}. Rõ ràng nếu u ∈ ker(π) thì nhị thức xu+ −xu− ∈ IA.
2.2.2 Ví dụ. Cho A = {(3,4,5)}. Xét đồng cấu nửa nhóm π :N3 → Z u = (u1, u2, u3) 7→ 3u1 + 4u2 + 5u3. ker(π) ={(u1, u2, u3) ∈ Z3| 3u1 + 4u2 + 5u3 = 0}. Phương trình 3u1+ 4u2+ 5u3 = 0 có thể chọn ra các nghiệm là (3,−1,−1); (−1,2,−1) ; (−2,−1,2). Ta có (3,−1,−1) = (3,0,0)−(0,1,1); (−1,2,−1) = (0,2,0)−(1,0,1); (−2,−1,2) = (0,0,2)−(2,1,0).
Có thể kiểm tra được rằng iđêan IA sinh bởi ba nhị thức sau đây x3 −yz, y2 −xz, z2 −x2y.
Đa tạp afin V(IA) có biểu diễn tham số đa thức như sau x = t3 y = t4 z = t5 .
2.2.3 Nhận xét. i) IA là hạt nhân của πe khi đó k-đại số con k[S] của vành k[t±1] sinh bởi các đơn thức tai, i = 1,2, ..., n được biểu diễn qua đồng cấu πe là k[S] = Imeπ và do đó ta có
k[S]∼= k[x]/I
A.
ii) Vì k[S] là vành con của vành đa thức k[t±1] nên k[S] là một miền nguyên. Do đó, từ đẳng cấu trên, ta suy ra IA là một iđêan nguyên tố của vành k[x].
iii) Ký hiệu V là đa tạp afin trong kn cho bởi hệ tham số hóa bởi xi = uai1
1 ...uaid
d , i = 1, . . . , n; u1, . . . , ud ∈ k. Khi đó mỗi đa thức trong IA rõ ràng bị triệt tiêu trên V. Ngược lại mỗi đa thức triệt tiêu trên V cũng phải nằm trong IA. Do đó IA chính là iđêan định nghĩa của V.
2.2.4 Định nghĩa. Cho IA là một iđêan xuyến. Khi đó đa tạp V(IA) được gọi là đa tạp xuyến afin.
2.2.5 Ví dụ. i) Cho IA = x3 −y2⊆ C[x, y] là iđêan xuyến. Khi đó đa tạp afin V(IA) có biểu diễn tham số đa thức như sau
x = t2 y = t3 , với A = {(2,3)}.
ii) Cho IA = (xz−yw) ⊆C[x, y, z, w] là iđêan xuyến. Đa tạp afin V(IA) có biểu diễn tham số như sau
x = t1 y = t2 z = t3 w = t1t3 t2 ,
với A = {(1,0,0,1); (0,1,0,1); (0,0,1,−1)}.
2.2.6 Mệnh đề. Chiều Krull của vành k[x]/IA bằng dim(A).
Chứng minh. Vành k[x]/IA đẳng cấu với vành con k[ta1, ..., tan] của k[t±1]. Chiều Krull của vành con này là số các đơn thức độc lập đại số tai. Nhưng tập của các đơn thức là độc lập đại số khi và chỉ khi các véc tơ mũ của nó là độc lập tuyến tính.