Câu chuyện mũi tên không bao giờ trúng đích: Ta bắn một mũi tên
đến bia. Neu đặt vị trí chỗ xuất phát là A0, bia là B thì mũi tên muốn đến được
bia phải qua trung điểm Aj của A0B. Từ Aj muốn đến được B phải qua trung
điếm A2 của A]B. Từ A2 muốn đến B phải qua trung điểm A3 của A2B,...
Cứ tiếp tục như vậy, mũi tên phải lần lượt qua trung điểm của các đoạn thẳng chia nhỏ, mà số điểm trong một đoạn thẳng là vô hạn nghĩa là mũi tên phải đi qua vô hạn điểm, đồng nghĩa với việc không bao giờ đến được đích.
Trong thực tế, mũi tên không có chuyện bay mãi mà không ghim vào bia, nó chắc chắn sẽ đến được đích. Vậy vấn đề ở đây là gì?Khái niệm giới hạn mà chúng ta học sau đây sẽ cho các em câu trả lời.
Bài toán mở đầu: Cho dãy số (un) với u = tỉí- ; n=l,2,...
n
(?1) Viết một số các số hạng dạng khai triển của dãy số đó ? (!):_,! _I 1...11...1 _L
’2’ 3 ’ 4 ’ ’ 10 ’ 11 ’ ’ 23 ’ 24
(-1)"
(?2) Thông qua biêu diên các sô hạng của dãy u n = trên trục
số nhận xét vị trí tương đối của các điểm đó với điểm 0?
(!) Khi n tăng điểm biểu diễn “chụm lại” quanh điểm 0( ở hình vẽ)
__________ n (dãy số có giới hạn 0)
un+2 ►u-* ụn+i (?3) Khi n -> +00 thì khoảng cách từ điếm un tới điếm 0 tức Iu -0| = |un| = ?
Nhận xét?
(!) Khoảng cách từ điểm (un) đếm điểm 0 trở nhên nhỏ bao nhiêu tuỳ ý
(nhưng không thế bằng 0), khi n càng lớn (?4) Hãy minh hoạ rõ qua lập bảng ?
(!)
giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương ( g) là --- ? Vì sao? 1000000
(!) Với số dương —ỉ— tức là |ỉ/J= — < —ỉ—<^n> 1000000, 1000000 1,1 n 1000000
nghĩa là bắt đầu từ số hạng thứ 1000001 trở đi;
Vì khi đó thì |«J< --- ! ---- <=> --- ỉ < -- - u < --- ỉ ---- tức là
1 1
1000000 1000000 " 1000000khoảng 1 --- ì ---- ; --- ỉ ---- 1 trên trục số thực , chứa tất cả các số hạng khoảng 1 --- ì ---- ; --- ỉ ---- 1 trên trục số thực , chứa tất cả các số hạng
^ 1000000 1000000J
của dãy un và bên ngoài khoảng đó chỉ chứa hữu hạn các số hạng từ 1 đến 1000000
của dãy số đã cho
Như vậy mọi số hạng của dãy số đã cho đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn một số thực dưong 8 nhỏ tuỳ ý cho trước ( nhung không thể bằng 0), kế từ 1 số hạng nào đó trở đi, ta nói rằng dãy số Un có giới hạn là 0
Phát biếu định nghĩa: ta nói dãy số (un) có giới hạn là 0 nếu với mọi số
n 1 2.... 10 11 ...76 77... 1000000 1000001 100000..T>+00
u
\
rl
\
1 1...1 1. 2 10
11 '76 77 "' 10000001 1 1 1
1000001
1
...-»0
1000002
(?5) Mọi số hạng đã cho, kể từ số hạng thứ mấy trở đi, thì đều có
n> N thì \u I < £ ta viết lim u n = 0
n—►ac
• Hoạt động củng cố Chủ v:
>Từ định nghĩa ta có nhận xét sau:
i) Dãy số (un) có giới hạn 0 khi và chỉ khi dãy số(|wj)có giới
hạn 0
ii) Dãy số không đối (un), với un=0 có giới hạn 0
> ứng với mỗi 8 luôn tồn tại một số N (phụ thuộc 8) thoả mãn kể từ số hạng thứ N
+1 của dãy trở đi \un I < £
Ví dụ 1: Cho dãy số (un) với u= — , n=l, 2, 3,...CMR limw =0
Vì /!->*
(-1)" 1
Cách h ta có limw;) = 0 với un = . Mà «1 = —nên theo nhận xét (i) ta
"-»x n " n
có lim un = 0 với un = —
" n
Cách 2\
♦Với £ = — Ta có I u\<so 1011
Như vậy với £ = — tồn tại số N = 10 thoả mãn với mọi n >
N thì 10
\u_ \ < £
♦Với £ = --—Ta có \u I < G <w > 1000 1 1
Như vậy với £ = —!— tồn tại số N=1000 thoả mãn với
mọi n> N 1000 < — o n > 10 10 < —-— C5> n > 1000 1000 Ta có |w„ ! <£•<=> 1000000<=> n > 1000000 1000000 thì !«„!<£• ♦ Với £
Như vậy với £ =---ỉ----tồn tại số N = 1000000 thoả mãn với
1000000
mọi n >N thì \unI < £
Vậy lim w =0
Ví dụ 2: Cho dãy số (un) với un=—ỉ—, n=l,2,3,.-.CMR limwn =0 2 n +1 1 2n + \ 1 99 < —— C5> 2n + ỉ > 100 <=> n > — 100 ♦ Với £ = —— Ta có \u\<s<^> 10011
Như vậy với £ = —— tồn tại số N = 49 thoả mãn với mọi n> N 1000
thì \u \ <£ 1 ♦ Với £ = 1000000 1 999999 <--- ---<^>2n + \ >1000000 « n > 1000000 2 Ta có |ỉ/.. ! <<£•<=> 2n + \
Như vậy với s=---ỉ----tồn tại số N = 499999 thoả mãn với mọi
1000000
n > N thì \un I < £
Ví dụ 3
Trở lại bài toán mũi tên không bao giờ trúng đích: Nếu ở thời điểm bắt đầu bắn, khoảng cách giữa mũi tên và bia là xữ=a> 0.
Lần 1: Mũi tên đến được trung điếm của A0B, khi ấy khoảng cách
là X = — > 0 ' 2
Lần 2: Mũi tên đến được trung điểm của A]B, khi ấy khoảng cách là x2 = Ar > 0 2 2
Lần thứ n: mũi tên đến được trung điểm của An.ìB, khi ấy khoảng cách làx, =-^-> 0 " 2"
Đen đây bạn nghĩ mũi tên có dừng lại không? Xin thưa là không, nó vẫn cứ tiếp tục bay đi, bay mãi. Ở đây ta xét đến thực tế là khoảng cách giữa người cung thủ và bia không quá xa, vì nếu nó quá xa lực bắn không đủ mạnh thì do trọng lực mũi tên sẽ rơi giữa đường. Thực tế là mũi tên vẫn ghim thẳng vào bia, khi ấy có nghĩa nó cứ qua trung điểm, rồi qua trung điểm mãi như vậy.Hay nói cách khác ta không có lần thứ n cố định, n của ta sẽ lớn mãi, lớn mãi. Các nhà khoa học khi ấy nói rằng n sẽ tiến đến vô tận. và thực tế chứng minh khoáng cách đến một lúc nào
đó sẽ bằng 0 (mũi tên trúng đích) lim(jc) = = 0
