■ + 4 4 V n + 2 1-3 n 4 n a) l i m Ị b) l i m Lời giải: nên b) li m li m
cực ^Dãy số có giới hạn
+00
• Hình thành khái niệm
hữu hạn vậy có dãy số nào mà giới hạn của nó không phải là số hữu hạn hay không?
Bài toán thực tế:
Cho dãy số (un) với u =2/7-3 ; n = 1, 2,...
(? 1) Biểu diễn 6 số hạng đầu tiên của dãy trên trục số (!) -1 0 1 3 5 7 9 ____ I _____ I ______ I __________ I __________ I ___________ I __________ I _____ u, u2 u3 u4 u5 Uó
(?2) Điền các số thích họp vào bảng sau:
N 1 10 100 100 0 1001 Un (!) N 1 10 100 100 0 1001 Un -1 17 197 199 7 1998
(?3) Có dự đoán gì về un khi n tăng? Chứng minh dãy số un là dãy số tăng
(!) un trở nên lớn tuỳ ý khi n đủ lớn
Ta có i/n+]-u n = 2(tf + l)-3-(2«-3) = 2>0 Vn nên (un) là dãy số tăng
(?4) Các số hạng của dãy số kể tù’ số hạng thứ bao nhiêu trở đi đều lớn hơn số dương lớn tuỳ ý M = 999997 ?
(!) Với số dương M = 999997 ta có un =2/7-3 >999997 <^> n >500000 Như vậy mọi số hạng của dãy kể từ số hạng thứ 500001 trở đi đều lớn hơn số dương 999997
Phát biếu định nghĩa dãy số có giới hạn dương vô cực:
Ta nói rằng dãy số (un) có giới hạn là +00 nếu với mỗi số hạng của
dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó. Khi đó ta viết:
Hay limu = +00<z> VẢ/ >0lớn tuỳ ý,3 NeN* sao cho n>Nthì u > M
• Củng cố khái niệm:
Chú ý: ủng với mỗi dương lớn tuỳ ý M luôn tồn tại một số N (phụ thuộc) thoả mãn kể tù’ số hạng thứ N +1 của dãy trở đi un > M
Ví dụ 1: Chứng minh rằng lim(wn) = +00 với un= n. Tính lim —
un
+) Ta cần chứng minh rằng lim(«n) = +00
♦ Với M = 100 ta có u n > M o n > 100
Như vậy với M = 100 tồn tại số n > N thoả mãn với mọi n > N thì u >100
n
♦ Với M =1000000 Ta có u n > M <=> n >1000000
Như vậy với M = 1000000 tồn tại số N = 1000000 thoả mãn với mọi n>N
thì u >1000000. Vậy lim« = +00 +) lim—= lim — = 0 un n Nhận xét: limu n = +00 thì lim—= 0 un Ví dụ 2: Chứng minh rằng limV2ÃT+4 = +00 ♦ Với M =100 Ta có u a > M o 2n + 4 >10000 <=>/!> 4998
Như vậy với M =100 tồn tại số N = 4998 thoả mãn với mọi« >N thì un >
100
♦ Với M = 1000 Ta có u n > M 2n + 4 > 1000000 <=> n > 499998
Như vậy với M =1000 tồn tại số N = 499998 thoả mãn với mọi n > N thì u n >
1000
Vây lim yỊ2n + 4 = +GO
^ Dãy số có giới hạn -00
Cho dãy số (un) với u n = -2n + 3 ; n= 1, 2,...
trục số?
(!) Xét hiệu u nlị -u = -2(n +1) + 3-(~2n + 3) = -2<0 Vậy (un) là dãy số giảm. Biểu diễn các số hạng của dãy (un) trên trục số
-9
-7 -5 -3 -10 1
_____ I __________ I ___________ I __________ I ___________ I _____ I _____ I ____ u6 u5 u4 u3 u2 u, (?2) Điền các số thích hợp vào bảng sau:
N 1 499 500 501 502 100
0 Un
(!)
(!) Với số dương m =-997 ta có un =-2tf + 3<-997<^>«>500
Như vậy mọi số hạng của dãy kế từ số hạng thứ 501 trở đi đều nhỏ hơn số âm -997
(?5) Tương tự định nghĩa dãy số có giới hạn +00 hãy định nghĩa dãy số có giới
hạn -00?
N 1 499 500 501 502 1000
Un 1 -995 -997 -999 -1001 -1997
(?3) Các sô hạng của dãy sô kể từ sô hạng thứ bao nhiêu trở đi đêu nhỏ hơn số âm tuỳ ý m = -997 ?
Phát biếu định nghĩa:
Ta nói dãy số (un) có giới hạn là -00nếu với mỗi số âm tuỳ ý cho trước, mọi số
hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều nhỏ hơn số âm đó. Khi đó ta viết lim (U u) = -00hoặc lim(u n) = -00hoặc un—► -00
• Củng cố khái niệm Chú ý:
>Với mỗi số âm tuỳ ý m cho trước ta luôn tìm được một số tự nhiên N sao cho V n> N thì UH < m
> limun= -00 <^> lim(-Un)=+oo lim u n = -00 <z> lim{ -u n) = +00
> Dãy số có giới hạn +00 và -00 được gọi chung là dãy số có giới hạn vô cực > +00 và -00 không phải là các số thực nên không được hiểu là các số rất lớn
hay rất bé
> Neu dãy (un) có giới hạn là vô cực thì hình biểu diễn của (un) khi n tăng ra xa mãi theo chiều dương hoặc chiều âm của trục số
Nhận xét: Neu lim|wj = +00thì |wj trở nên lớn bao nhiêu cũng được miễn
là n đủ lớn . Do đó đủ lớn.
= 1^-7 trở nên nhỏ bao nhiêu cũng được, miễn là n
\u\
Từ nhận xét trên ta có thế rút ra thêm một cách đế chứng minh dãy số (un) có giới hạn 0 đó là chứng minh lim|wn| = +00 Ví dụ 1: Chọn đáp án đúng
Dãy số (un)với u n = 2" có giới hạn là:
A.+O0 B. —00